從雙圖象獲取信息

于秀坤

從雙圖象獲取信息解決身邊數學問題，是近年中考命題的熱點. 求解此類題目，需要從已知圖象中發掘信息，先求函數解析式，再根據函數解析式得出結論.

例1（2020·遼寧·大連）甲、乙兩個探測氣球分別從海拔5 m和15 m處同時出發，勻速上升60 min.圖1是甲、乙兩個探測氣球所在位置的海拔y（單位：m）與氣球上升時間x（單位：min）的函數圖象.

（1）求這兩個氣球在上升過程中y關于x的函數解析式;

（2）當這兩個氣球的海拔高度相差15 m時，求上升的時間.

分析：（1）從圖象中得到點的坐標，利用待定系數法求函數解析式;

（2）根據分析可知：當x大于20時，兩個氣球的海拔高度可能相差15 m，列出關于x的方程，求解可得到結論.

解：（1）設甲氣球的函數解析式為y = kx + b，

乙氣球的函數解析式為y = mx + n，

觀察圖象可知甲、乙兩個探測氣球分別從海拔5 m和15 m處同時出發，勻速上升60 min.

則甲探測氣球經過點（0，5）和（20，25），乙探測氣球經過點（0，15）和（20，25）.

根據題意得[b=5，20k+b=25，][ n=15，20m+n=25，]

解得[k=1，b=5，][ m=12，n=15.]

則甲氣球的函數解析式為y = x + 5，乙氣球的函數解析式為y = [12]x + 15.

（2）由初始位置可得：

當x大于20時，兩氣球的海拔高度可能相差15 m，且此時甲氣球海拔更高，

可列方程為x + 5 - [12x+15] = 15，解得x = 50，

則當這兩個氣球的海拔高度相差15 m時，上升的時間為50 min.

例2（2020·河南）暑期將至，某健身俱樂部面向學生推出暑期優惠活動，活動方案如下.

方案一：購買一張學生暑期專享卡，每次健身費用按6折優惠;

方案二：不購買學生暑期專享卡，每次健身費用按8折優惠.

設某學生暑期健身x（次），按照方案一所需費用為y1（元），且y1 = k1x + b;

按照方案二所需費用為y2（元），且y2 = k2x. 其函數圖象如圖2所示.

（1）求k1和b的值，并說明它們的實際意義.

（2）求打折前的每次健身費用和k2的值.

（3）八年級學生小華計劃暑期前往該俱樂部健身8次，應選擇哪種方案所需費用更少？說明理由.

分析：（1）從圖象中獲取圖形所過點的坐標，代入y1 = k1x + b，得到關于k1，b的方程組并求解;

（2）根據方案一每次健身費用按6折優惠，可得打折前每次健身費用，再根據方案二每次健身費用按8折優惠，求得k2;

（3）將x = 8分別代入y1和y2關于x的函數解析式，進行比較即可.

解：（1）∵y1 = k1x + b的圖象經過點（0，30），（10，180），

∴ 根據題意可得[b=30，10k1+b=180，][ k1=15，b=30.]

k1 = 15表示購買一張學生暑期專享卡后每次健身費用為15元，

b = 30表示購買一張學生暑期專享卡的費用為30元.

（2）由題意可得，打折前每次健身費用為15 ÷ 0.6 = 25（元），

則k2 = 25 × 0.8 = 20.

（3）選擇方案一所需費用更少.

理由：由題意可知y1 = 15x + 30，y2 = 20x.

當健身8次時，選擇方案一所需費用為y1 = 15 × 8 + 30 = 150（元），

選擇方案二所需費用為y2 = 20 × 8 = 160（元）.

∵150<160，∴選擇方案一所需費用更少.

某生態體驗園推出了甲、乙兩種消費卡，設入園次數為x時所需費用為y元，選擇這兩種卡消費時，y與x的函數關系如圖3所示，解答下列問題：

（1）分別求出選擇這兩種卡消費時，y關于x的函數表達式;

（2）請根據入園次數確定選擇哪種卡消費比較合算.

答案：（1）y甲 = 20x;y乙 = 10x + 100.

（2）當入園次數小于10次時，選擇甲消費卡比較合算;

當入園次數等于10次時，選擇兩種消費卡費用一樣;

當入園次數大于10次時，選擇乙消費卡比較合算.