數值模擬軟件在振動力學教學中的應用1)

馮文杰 李海艷

(石家莊鐵道大學工程力學系，石家莊050043)

振動力學是力學專業本科生的主干課程之一，也是一門與機械、航空航天、土木等工程密切聯系的基礎課。通過本課程的學習，有助于學生認識自然和工程中的振動現象，掌握工程結構的振動規律，提高分析問題、解決問題的能力；有助于培養辯證唯物主義的世界觀和方法論，為解決工程振動問題和從事科學研究工作打下堅實基礎[1]。

數值模擬借助有限元、邊界元等數值方法，依靠計算機，通過數值計算和圖像顯示，達到認識和解決實際問題的目的。由于大多數實際問題難以得到精確解，而數值方法不僅能滿足計算精度要求，且能夠適應各種復雜形狀問題的求解，已成為一種應用廣泛、十分高效的工程分析手段，也成為高校工科畢業生必須掌握的一種技術[2]。

本文基于ANSYS數值分析軟件，將數值模擬手段引入到振動力學教學中，將教學過程中難以理解的概念、現象等采用數值分析手段直觀地模擬出來，在加深學生對知識理解的同時，培養學生數學建模和運用數值手段分析、解決實際問題的能力，為豐富振動力學課程教學手段進行初步探索[3]。

1 振動力學課程教學現狀

“力學類教學質量國家標準”建議振動力學課程理論學時數為48學時。國內力學類專業振動力學課程學時數主要有兩類，一類是64學時，另一類是48學時，總體上力學類專業該課程理論學時多數在48學時以上[4]。我校工程力學本科專業振動力學課程理論授課學時為48學時，主要授課內容包括單自由度系統的振動、多自由度系統的振動、振動問題的實用近似解法、連續系統的振動。單自由度體系的振動是多自由度體系振動和連續系統振動的基礎，多自由度體系振動的核心內容是振型的概念以及振型疊加法，連續系統的振動是多自由度系統振動的延伸。工程中多數振動問題可采用線性振動理論解決，本科階段對振動力學知識的掌握對學生未來解決工程振動問題或從事科學研究意義重大[5]。

振動力學理論抽象，公式推導嚴謹，要求學生具有很好的數學和力學基礎。傳統的教學方法過于偏重理論知識的傳授，普遍存在以下幾方面的問題：(1)教學模式單一，枯燥的理論學習難以活躍課堂氣氛；(2)學生對于振動力學中大量的物理概念缺乏直觀、形象的認識，難以激發學生的學習熱情；(3)理論與工程實踐聯系不夠緊密，學習過程中理論計算與數值模擬的對比分析不夠。針對以上問題，借助于數值模擬軟件將數值分析結果引入到振動力學課程教學中，可以將晦澀難懂的振動力學概念、現象等通過數值手段直觀模擬展示出來，有效激發學生的學習興趣，提高學生運用數值手段解決實際問題的能力，培養具有創新思維和創造能力的高素質創新型力學人才[6-7]。

2 基于數值模擬的振動力學教學實例

我校工程力學專業本科生開設了數值分析軟件ANSYS必修課程。振動力學課程教學中，將一些知識點提取出來，讓學生用ANSYS軟件進行模擬，并與可能的理論結果進行對比，不僅可以加深學生對知識點的領悟，同時對學生實際操作能力和創新能力的培養也大有裨益。下面列舉一些實際教學中利用數值軟件模擬振動力學問題的典型實例。

2.1 單自由度系統分析(固有頻率求解)

單自由度系統是最簡單的振動系統，但其分析方法和結論對多自由度系統和連續系統的分析具有重要的指導意義。單自由度系統固有頻率是系統的固有參數。由公式可知，固有頻率ω0與系統的等效剛度k成正比，與等效質量m成反比。為了說明此問題引入如下例題。

如圖1(a)所示，簡支梁的抗彎剛度EI=3.66×105N·m2，跨中重物固定質量m=30 kg，不計梁自重，試用ANSYS建模計算其自由振動的固有頻率，并試算單獨增大質量或剛度時，系統固有頻率的變化。

本題理論計算等效剛度為k=48EI/43=274.5 kN/m，固有頻率為ω=15.244 Hz。數值建模時需將簡支梁密度設置為零，以實現梁零自重。本題無論建模還是計算都比較簡單，學生容易上手，圖1(b)～圖1(d)為數值模擬結果。從計算結果可知，本題自由振動固有頻率模擬結果為15.244 Hz，與理論解一致；當僅質量增大4倍時，固有頻率由15.244 Hz降低到7.622 Hz，正好減小了一倍；當僅剛度增大4倍時，固有頻率由15.244 Hz提高到30.489 Hz，正好增大了1倍，與固有頻率求解公式結果一致。因此，對一些等效質量和等效剛度不明顯的單自由度系統，采用數值模擬手段確定其固有頻率非常有效。

圖1 單自由度系統固有頻率求解

2.2 有阻尼受迫振動分析(幅頻與相頻曲線)

無阻尼振動是一種理想情況，實際振動系統總是有阻尼的。單自由度系統在簡諧激勵下的受迫振動是動力學中的一個經典內容。下面以質量?彈簧?阻尼系統為例，說明有阻尼單自由度系統受迫振動情況。

如圖2(a)所示，質量?彈簧?阻尼系統受簡諧激勵力F=F0sinωt作用，其中M=1 kg，k=10 kN/m，F0=2 kN，ω為激勵力頻率，c為阻尼系數，試繪制不同阻尼比下系統的幅頻特性曲線與相頻特性曲線。

幅頻特性曲線以幅值為縱坐標、激勵力頻率為橫坐標；相頻特性曲線以相位角為縱坐標、激勵力頻率為橫坐標。本題選用ANSYS中的combin14單元進行建模，將不同阻尼比下對應的幅頻特性曲線和相頻特性曲線繪制在同一張圖內，如圖2(b)和圖2(c)所示。從圖中可以確定系統的共振頻率與固有頻率，清晰看出幅值與相位隨激勵力頻率和阻尼比的變化規律。本例題在培養學生稍復雜系統數值建模思想的同時，借助計算軟件的強大功能，可使得學生更深入理解有阻尼受迫振動現象。

圖2 有阻尼受迫振動分析

2.3 多自由度系統自由振動分析(鞭梢效應)

在振動力學中，若將系統的分布質量及分布彈簧和阻尼簡化為有限個集中質量及有限個無質量的彈簧和阻尼，該系統即可看作多自由度系統。線性多自由度系統存在與自由度數目相等的多個固有頻率，每個固有頻率對應于系統的一種特定振型。多自由度系統固有頻率和振型的求解是振動力學中的重點內容。

“鞭梢效應”是指結構受地震作用時，其頂部質量和剛度突變部分，在每一個來回的轉折瞬間，形成較大速度、產生較大位移的現象。就像農村趕車的鞭子，之所以能夠甩響，很重要的一個原因是鞭子端部有一段很細的尾巴(鞭梢)，當揮動鞭子的時候，由于鞭梢質量突然減小，使得鞭梢的振幅與速度突然加快，從而引發空氣劇烈振動，產生清脆的響聲。

對二層樓房進行固有頻率和振型分析時，可采用如圖3(a)所示簡化模型，假設立柱抗彎剛度EI=1.43×107N·m2，其上等距分布的兩個集中質量m1=m2=100 kg。不計立柱質量，試通過ANSYS軟件計算該系統自由振動的固有頻率和振型。若二層樓房的頂層為小閣樓時，即m2和k2突然減小，假設m2和k2均減小為原來的1/90時，進一步分析系統振型的變化情況。

本題建模時需注意將質點質量施加在垂直于桿軸的水平方向，即只讓質點沿水平方向振動，限定其他兩個方向的振動。由圖3(b)可知，上下層質量、剛度均相等時，一、二階固有頻率分別為f1=58.471 Hz，f2=153.08 Hz。由圖3(c)和圖3(d)知，將m1處水平位移轉換為1，該模型的一階振型為ξ1={1.618,1}T、二階振型為ξ2={?0.618,1}T?？梢?，上下層質量和剛度相同時，兩質點處位移相差不大。

圖3 多自由度系統自由振動求解(續)

圖3 多自由度系統自由振動求解

圖4為上層m2和k2均減小為原來的1/90時，固有頻率與振型的數值求解結果。從圖中可以看出，此時一、二階固有頻率分別為f1=89.754 Hz，f2=99.726 Hz，一階振型為ξ1={10,1}T、二階振型為ξ2={?9,1}T。因此當頂端質點的質量和剛度很小時，頂端水平側移很大。建筑結構中，因頂端質點質量和剛度突變，而導致頂端巨大反應的鞭梢效應現象實際應用很多。如：屋頂消防水池、上人屋面設計的樓電梯間、女兒墻或等屋頂建筑物。本題介紹了工程中的“鞭梢效應”現象，與工程實際結合緊密，可有效激發學生的探索欲望。

圖4 鞭梢效應

2.4 多自由度系統受迫振動(三層剛架)

受迫振動是指系統在振動過程中不斷受到由外界控制的激勵作用。工程中受迫振動的例子很多，比如振動篩、打夯機、醫用振蕩床等，下面以三層剛架受簡諧激勵力作用的受迫振動為例進行說明。

如圖5(a)所示三層剪切型剛架系統，橫梁的彎曲剛度為無窮大，剛架的全部質量都等效集中到橫梁上，分別為m1=m2=m=100 kg，m3=0.2m=20 kg。各層間側移剛度為k1=k2=k=3.093×104kN/m，k3=0.2k=0.618×104kN/m。在第一層橫梁處作用有水平簡諧載荷F(t)=F0sinθt，其中F0=100 kN，θ=556.1 rad。試用ANSYS建模計算該系統自由振動的固有頻率和振型，并求各層梁受迫振動的振幅。

由圖5(b)可知該題前三階固有頻率分別為f1=49.658 Hz，f2=95.748 Hz，f3=145.85 Hz，其所對應的前三階振型由圖5(c)～圖5(e)所示。該題理論求解時需要寫出剛度矩陣、質量矩陣，并求解三元一次方程，求解過程比較繁瑣；采用數值模擬手段可快速求得結果，并將振型圖直觀顯示出來，更便于學生對知識點的理解。

圖5(f)為受迫振動的振幅圖，由圖可知m1，m2，m3處的位移比值為1:0:?5，因此當穩態振動時，頂層橫梁的振幅為底層橫梁振幅的5倍，與前面多自由度系統自由振動問題中的理論結果一致。由于頂層質量和剛度發生了突變，產生了“鞭梢效應”，導致頂層產生較大的位移和內力，因此在建筑抗震設計中應盡量避免質量和剛度發生突變。另一方面，剛架在第二層橫梁處振幅基本為0，處于靜止狀態，即頂層對二層橫梁有消振作用，工程中可利用。

圖5 剛架受迫振動求解

本例題更接近工程實際，學生表現出了極大的興趣。本題的練習不僅加深了學生對多自由度系統固有頻率、振型和受迫振動的理解，還讓學生明白利用所學知識可以切實解決現實工程中的問題，達到了學以致用的效果。

2.5 連續系統自由振動分析(簡支梁)

離散系統質點趨于無窮多時就是連續系統，連續系統的很多概念可以從多自由度系統延伸而來。與多自由度系統相比，連續系統自由振動的固有頻率從有限個變為無限個，主振型也由原來的向量表示演變為函數表示。采用數值模擬手段對連續系統的振動進行分析，可更加凸顯該方法的優越性。

以簡支梁固有頻率和模態計算為例。某簡支鋼梁計算跨度l=8 m，截面為工字型，截面面積A=8.337×10?3m2，截面慣性矩I=2.278×10?4m4。要求學生用振動力學知識計算該簡支梁的固有頻率和模態，同時采用ANSYS軟件進行建模計算，并將理論計算結果與軟件模擬結果進行對比分析。

本題理論求解結果為：固有頻率表達式ωi=模態函數φi(x)=xsin(iπ/l)，其中，階數i=1，2，···，E為鋼的彈性模量，ρ為鋼材密度。采用ANSYS建模計算所得前四階固有頻率與理論結果對比見表1，有限元模擬前四階模態見圖6。

表1 簡支梁固有頻率計算結果對比(單位：Hz)

本題理論求解時需要學生掌握無限自由度體系自由振動方程的求解方法，會寫邊界條件，并能運用數學知識進行方程的推導。由表1對比分析發現，低階頻率誤差較小，高階頻率誤差較大。可見，對于低階頻率，數值分析完全可以滿足精度的要求。同時通過圖6可以更直觀地了解簡支梁前四階模態形式。

圖6 簡支梁模態

課堂教學中，學生對本題的參與度和積極性非常高，課程結束后基本都能掌握有關簡支梁自由振動的知識點，且在建模過程中加深、拓展了學生對所學軟件的應用能力。

3 應用效果分析

將數值模擬應用到振動力學課程教學中，在教師的啟發下，學生可通過理論學習，利用數值模擬軟件實現對振動力學規律的探索。教師在教學過程中可著重引導學生總結規律、提煉結論，由單向知識傳授轉變為基于解決問題的互動式教學，學生可由被動繼承知識為主的學習轉變為對未知事物的主動求索，從“知識本位”上升到“能力本位”。

振動力學課程教學結合數值模擬在力17011-2班共56名學生中進行了實踐，得到了學生的認可。問卷調查顯示：學生總體較滿意的比率占到了約90%；學生認為自己理論聯系實踐能力得到提高的比率為65.5%，分析解決問題能力得到提高的比率為77.6%，自主學習能力得到提高的比率為72.8%，團隊協作能力得到提高的比率為69.3%。將應用前后的2016級與2017級學生成績分析對比列于表2。由表2可知，2017級學生成績總體優秀率提高了1%，良好率提高了21.83%，中等率提高了2.18%，及格率下降了14.28%，不及格率下降了10.72%，學生總體成績明顯提高。

表2 2016級與2017級學生成績對比分析

可見，將數值模擬手段應用到振動力學課程教學中，充分調動了學生學習的積極性與主動性，增加了教師和學生間、學生和學生間的互動性，有效促進了學生發散思維能力和協作交流能力的培養，提高了教學質量，取得了良好的教學效果。通過本課程的學習和訓練，可進一步加強學生的數學建模和利用數值模擬手段解決復雜振動問題的能力。

4 結語

教學方法的革新是一個長期而艱巨的任務，一門課程教學內容和教學方法的完善需要通過教學實踐不斷錘煉、不斷增補。本文探索了數值模擬手段在我校工程力學專業振動力學課程教學中的應用。振動力學課程教學中結合數值模擬，可有效激發學生的學習興趣，活躍課堂氣氛，并充分踐行“以學生為中心”的教育理念，有效培養學生的創新思維和實踐能力。