科學玩具“記憶合金發動機”的動力學分析

李 燦 熊舉峰

(湖南師范大學物理與電子科學學院，長沙410000)

一種名為“記憶合金發動機”的科學玩具最近火了起來，這種“發動機”能在熱水中以較快的速度轉動，其裝置結構簡單，操作方便，且具有很好的觀賞性，通常用來做趣味性物理實驗給觀眾帶來視覺沖擊和激發他們的無限遐想。如圖1所示。

圖1 “記憶合金發動機”展示

但是，為什么這種結構極其簡單的裝置，可以在水中飛快轉動呢？難道真的是有什么超自然的魔力在趨使它轉動嗎？有人認為，可能是這兩個輪子存在蹊蹺；也有人認為可能是圈在兩個輪子上的“絲”在發揮作用。當知道是“絲”在發生作用之后，多數人的理解是這根“絲”放在水中因為熱脹冷縮而發生轉動，這種解釋似乎頗有道理，但是卻僅僅停留在很淺顯的表面現象上。為了揭開“發動機”轉動的奧秘，本文從物理學的角度來定量分析到底有哪些因素影響了“發動機”的轉動。

1 裝置結構及演示方法

“記憶合金發動機”是由兩個大小不同的鋁制輪子以及一根由鎳鈦材料做成的記憶合金絲組成，如圖2所示是將其拆開之后的結構，圖3是其安裝好之后的樣子。

圖2 “發動機”部件

圖3 “發動機”模型

當把這種科學玩具向觀眾進行演示時，只需將玩具傾斜一定角度讓小輪的部分浸入一定溫度的熱水中，就可以驚奇地看到小輪帶動大輪轉動起來；如果玩具是垂直放入熱水中，則需要用手輕輕撥動一下輪子才會使其轉動。其他情況如大輪浸入，則無論如何傾斜與撥動都無法使其轉動。

2 “發動機”的動力學分析

2.1 “發動機”的動力來源

該玩具所采用的記憶合金絲是由鎳和鈦組成的二元合金，這種合金受溫度和機械壓力的改變存在兩種不同的晶體結構相，即奧氏體相和馬氏體相。當高于一定溫度時(本裝置中的轉變溫度為60°C)，鎳鈦合金處于母相奧氏體結構狀態，其立方晶體的各個陣點和中心各有一個原子，鈦原子任意分布在某一陣點上，其他陣點則為鎳原子，這是一種無序的晶體結構，如圖4所示。但當溫度逐漸冷卻至60°C以下時，晶體結構中的鈦原子將回到立方體的中心，從而轉變為一種有序的晶體結構，即為馬氏體結構，如圖5所示。這種從奧氏體向馬氏體轉變的過程即為馬氏體相變。

圖4 奧氏體晶體結構

圖5 馬氏體晶體結構

在馬氏體相變及其逆相變過程中會出現類似彈性似的擴大和縮小[1]，這在宏觀上就表現為記憶合金絲的伸長與收縮。正是合金絲的這種伸長與收縮為轉軸提供了動力矩才使得“發動機”轉動起來。下面，從物理學的角度分別對“記憶合金發動機”小輪垂直放入和傾斜放入熱水中時的動力學參數進行定量分析，并定性說明大輪放入熱水中不動的原因。

2.2 小輪垂直放入

分析“記憶合金發動機”的動力學特征時，把鎳鈦型形狀記憶合金當做彈性材料處理，轉動過程視為理想的帶傳動來構建物理模型。當主動輪部分垂直置于熱水中時，沒入熱水中的記憶合金由馬氏體相轉變為奧氏體相，從而產生拉力而拉伸合金絲，這個拉力將為主動輪提供動力矩，但是由于輪的左右兩邊受力F1=F2(F1為主動力，F2為阻力)，合外力矩為零，如圖6所示，“發動機”將保持平衡。如果記憶合金絲不處在一個“發動機”的循環中時，記憶合金絲將被拉直如圖7所示。

圖6 垂直放入熱水中的受力

圖7 合金絲不構成一個循環時受力

當沿順時針輕輕撥動傳動帶時，被拉伸的一部分合金絲dl將離開熱水且被拉開一些，而另一邊則會有長度同為dl的一段合金進入熱水中，但由于傳熱過程有一定時間間隔，所以，處于奧氏體相的總長度未變，而主動輪的受力不再對稱。如圖8所示。

圖8 輕微撥動之后的受力

A1B1為初始時刻的受熱部分，A2B2為被撥動之后的受熱部分。將B1B2拿出來單獨分析。設主動輪的半徑為R，記憶合金絲的半徑為r，B1B2的長度為dl，該段弧長所對應的角度為θ，這一段被彎曲的圓弧中存在力偶，如圖9(a)所示，現選取DD′和EE′為上下兩個橫斷面，CC′為中性層，當兩個橫斷面比整個dl短很多且形變微小時，記憶合金絲的橫截面依然可以看成是平面，只是相對轉過dθ，DD′和EE′分別發生拉伸形變和壓縮形變，由于彈性體是連續的，其形變也是連續的，故中性層CC′既不拉伸也不壓縮。為計算dθ這一段的力矩，我們選取該段合金絲的一個橫截面如圖9(b)所示。

圖9 彈性體

建立yOz坐標系，Oy軸在中性層內，用σ表示作用于與Oy軸相距z處狹條形面積上的應力[2]，則作用于彈性體上的力矩為

形變前后中性層的長度相同，因為r?R,設R為中性層的曲率半徑，則形變之后，EE′層伸長量為Rzdθ，中性層CC′的長度仍為Rdθ，EE′的絕對伸長量為(R+z)dθ?Rdθ=zdθ[2]，則其拉伸應變為

由胡克定律，相距中性層為z處的應力σ=Eε=Ez/R(其中E為彈性材料的楊氏模量)將其代入到式(1)得

此即為記憶合金絲因受熱而發生馬氏體相變之后所產生的動力矩，再由力矩公式M=RF得

此F即為帶傳動中的動力，亦即緊邊拉力，則F=F1為緊邊拉力，現在我們將“發動機”的轉動過程視為理想的帶傳動，如圖10所示，主動輪半徑為R，主被動輪軸之間的距離為O1O2=a，緊邊和松邊拉力分別為F1和F2，主動輪沿順時針方向以ω的角速度轉動。單獨分析主動輪的受力情況如圖11所示。

圖10 “發動機”帶傳動示意圖

圖11 主動輪的受力情況

在主動輪上取一小段dl，由牛頓第二定律，該dl所受各力的平衡條件為

式中，F為有效拉力；dα為dl對應的中心角，rad；dF為緊邊拉力增量，N；dFN為主動輪給傳送帶的正壓力，N；q為傳送帶單位長度的質量，kg/m；μ為傳送帶與輪之間的摩擦因數。僅保留一階小量可得

對式(6)從0到α積分可得

此即緊邊拉力F1與松邊拉力F2之間的關系，根據這個關系可以求出松邊拉力

又因為有效拉力F=F1?F2，所以可得

其中μ由材料本身決定，α=π?(dd1?dd2)/a，dd1和dd2為主動輪和從動輪的直徑，a為主動輪和從動輪軸之間的距離，因此包角α由“發動機”本身的構造決定，于是可以令1?1/eμα=k，則有效拉力為

有效力矩則為

所以該有效力矩對主動輪轉軸轉動所做的功為

由圖8可知?θ=2θ，又由剛體的定軸轉動動能定理可得

將主動輪近似視為是圓盤，其質量為m，則轉動慣量J=mR2w2/4，由此可得主動輪轉動的角速度為

由此可見，“記憶合金發動機”轉動的角速度與記憶合金絲的截面半徑的二次方成正比，與主動輪半徑的二分之三次方成反比，與合金絲因為受熱而被拉伸的長度所對應的圓心角的二分之一次方成正比。此外，由v=wR可得主動輪轉動的線速度為

進而根據公式p=Fv可以求得主動轉動的功率為

因此“發動機”的功率p1與記憶合金半徑r6成正比，和主動輪半徑R5/2成反比。

2.3 小輪傾斜放入

將“記憶合金發動機”傾斜一定角度放入熱水中，“發動機”可以立即轉動，同樣以前面的思路進行分析，其受力分析如圖12所示。

圖12 傾斜放入熱水時的受力

弧AB是與熱水接觸的部分,其對應的圓心角為θ，OC為對稱軸。當把主動輪與豎直方向成β角放入熱水中時，對稱軸的兩邊明顯不對稱，對稱軸兩邊角度的差值為θ/2+β?(θ/2?β)=2β。由式(10)可知，記憶合金為主動輪所提供的有效轉動力矩只與材料本身的楊氏模量E、半徑r以及主動輪的半徑R有關，故傾斜放入熱水中時，其有效轉動力矩與垂直放入相等，即

所以根據剛體的定軸轉動定理可得

由此可以得到其角速度、線速度和功率分別為

所以，由此可以看出，傾斜放入熱水中與垂直放入熱水中相比，影響其動力參數的是其傾斜角度。

2.4 大輪放入

通過前面對小輪作為主動輪的動力學分析，已經知道了記憶合金對“發動機”所提供的有效動力矩為M有=FR=kEπr4/(4R)，即“發動機”的有效力矩與發動機主動輪的半徑R成反比。因此當使用大輪作為主動輪時，有效力矩將減小，摩擦力矩M摩=Rf增大，記憶合金絲所提供的動力矩將無法超過阻力矩，故而將大輪作為主動輪放入熱水中時，“發動機”總是無法轉動。

3 總結

本文定量分析了科學玩具“記憶合金發動機”的動力學參數。通過彈性體的彎曲原理構建物理模型，計算出了“記憶合金發動機”的有效轉動力矩大??；由帶傳動原理得出了其工作時的角速度、線速度、功率與記憶合金絲的半徑r、撥動角度θ以及傾斜角度β成正相關，與主動輪半徑R成負相關。并分析了一定的有效轉動力矩是“發動機”轉動的首要條件。