相對平衡液體鉛直作用力的簡便計算方法1)

顧 磊 倪福生

(河海大學機電工程學院疏浚技術(shù)教育部工程研究中心，江蘇常州213022)

流體靜力學是流體力學授課的重要內(nèi)容，其研究對象為靜止流體與相對平衡流體[1-2]。在相對平衡液體的鉛直分力計算中，教科書和習題解答中一般采用積分進行求解。許多學生覺得計算困難，尤其是涉及到拋物面方程時，積分式非常復雜，學生普遍會出錯。實際上，在靜止液體作用力求解時，提出了壓力體的概念，通過幾何作圖的方法即可將鉛直分力求解出來，可以規(guī)避積分過程。教學過程中探索發(fā)現(xiàn)，無論是相對平衡液體還是靜止液體，求解其對壁面鉛直作用力的理論基礎和基本方法本質(zhì)上是相同的，只是等壓面形狀發(fā)生了改變。完全可以將壓力體的求解方法引入到相對平衡液體的作用力計算中，以簡化計算過程。

1 壓力體方法

許多教科書在靜水鉛直分力的求解過程中，都介紹了壓力體及其作圖求解方法。壓力體的定義為

式中h為所求面上微元所處的液下深度，Az為曲面沿鉛直方向、在自由液面上的投影面。可以看到，壓力體僅僅是一種數(shù)學上表示的空間體積，該空間由三個面組成，其中所求力的作用壁面已知，故求解關(guān)鍵在于確定其他兩個面：自由液面(或延長線)和投影周界面[3]。其中自由液面指壓強為大氣壓的水平面[4]。

鉛直分力的大小等于壓力體內(nèi)液體的重力，用壓力體體積乘以液體重度即可求得。鉛直分力的方向則由壓力體與作用液體的相對位置來確定，作用液體指所求壁面接觸的液體。當壓力體與作用液體處于壁面同側(cè)時，鉛直分力方向向下，反之則鉛直分力方向向上，可簡單記為“同側(cè)向下，異側(cè)向上”。

2 水平勻加速直線運動液體

水平勻加速直線運動液體與靜止液體的區(qū)別在于，水平加速度產(chǎn)生了水平質(zhì)量力，這導致壓強不僅沿鉛直變化，還會沿水平改變。在一些教科書中，引入鉛直淹沒深度的概念后，其壓強分布規(guī)律就統(tǒng)一為[1]

式中，p0為液面處壓強，ρ為液體密度，g為重力加速度，H為所求壓強點的鉛直淹沒深度，表示該點與向上做鉛垂線與自由液面交點之間的距離。對于靜止液體，其液面為水平面，當液面為自由面時，式(1)中的h就是鉛直淹沒深度H。而勻加速直線運動液體的不同點在于，其液面為傾斜面(圖1)，當運動加速度為a時，傾斜角β滿足

圖1 水平勻加速直線運動液體

式中負號表示液面沿加速度方向傾斜向下。

將靜止液體看作加速度為0的勻加速直線運動的特例，兩種狀態(tài)下液體的壓強分布規(guī)律本質(zhì)上就沒有區(qū)別。而兩者對壁面的鉛直作用力，也同樣是采用壓強與微元面積乘積在整個壁面上的積分來進行計算。總之，求解的理論基礎和基本方法均相同。那么在積分中同樣會出現(xiàn)壓力體項，只是水平勻加速直線運動液體的自由液面變?yōu)榻嵌葹棣碌膬A斜面而已。

當上部空氣為大氣壓時，液面即為自由面，則任意一點m的鉛直淹沒深度即如圖1中H所標識的長度。那么，圖中AB面上的鉛直作用力FABV的大小可采用積分形式計算

3 等角速旋轉(zhuǎn)運動液體

當液體做等角速旋轉(zhuǎn)運動時，其等壓面變?yōu)閽佄锩妫瑨佄锩娣匠虨?/p>

式中，z為距拋物面頂點的鉛直高度，ω為旋轉(zhuǎn)角速度，r為旋轉(zhuǎn)半徑，見圖2。

圖2 等角速旋轉(zhuǎn)運動液體

當采用鉛直淹沒深度作為參數(shù)時，其壓強分布同樣滿足式(2)，那么在求解壁面上的鉛直分力時，其大小同樣可由式(4)計算。只是此時的自由液面為壓強為大氣壓且滿足式(5)的拋物面。

以流體力學教科書中的經(jīng)典題目為例，如圖2所示，當容器以角速度ω旋轉(zhuǎn)時，液體對上頂蓋的作用力，即可采用上述壓力體的方法求解。首先作出自由液面，在這一題中，自由液面并非實際液面，而是過中心點的拋物面(圖中虛線所示)，將頂板面周界沿鉛直方向投影到該拋物面上，所包圍的空間即圖2中陰影部分，那么根據(jù)“拋物體體積是等底同高圓柱體體積的一半”這一數(shù)學結(jié)論，即可方便地求得其體積和鉛直分力。而由于壓力體在頂板上側(cè)，接觸液體在頂板下側(cè)，屬于“異側(cè)”，則鉛直分力方向向上。

上述結(jié)論與教科書中積分獲得的結(jié)果[1]完全一致，說明壓力體的方法也完全適用于等角速旋轉(zhuǎn)運動液體的壁面鉛直分力計算，只是此時自由液面為拋物面而已。而靜止液體可以看作角速度為0的旋轉(zhuǎn)運動的特例。

實際教學中，當涉及這種拋物面方程時，許多學生反映積分存在困難，有的直接放棄計算。上述例題中壁面是較為簡單的平面，如果壁面為曲面，如圖2中的CD半球面，由于拋物面方程與半球面方程都非常復雜，其積分求解會更為困難，而采用壓力體方法則計算會大為簡便，學生很容易就能掌握，這更加體現(xiàn)了壓力體方法的簡便性優(yōu)勢。

4 存在加速度鉛直分量的討論

上述兩種情況屬于加速度僅存在水平分量的情況，當存在加速度鉛直分量時，是否仍然可以采用壓力體的方式進行求解呢？以經(jīng)典的坡面下滑勻加速直線運動為例，將裝有液體的容器沿傾斜角α向下以勻加速度a直線運動，如圖3所示，分析AB曲面受力。

圖3 傾斜面上勻加速直線運動流體

此時，由于流體存在與運動方向相反的虛構(gòu)慣性力，其單位質(zhì)量力分力fx和fz分別為

與圖1相比，容器中液體的單位質(zhì)量力不僅具有x方向分量acosα，在y方向上還增加了一個分量asinα，依據(jù)文獻[1]，其等壓面方程和靜壓強分布規(guī)律分別為

將式(8)進一步變換為式(2)的形式

由圖3可知，式中H同樣是鉛直淹沒深度。與式(2)相比，式(9)增加了(1?asinα/g)的乘項，該項反映了加速度鉛直分量所引起的重力加速度減小比例，其值小于1，被稱為失重系數(shù)[1]。而若加速向上運動，則會引起向下的慣性力，相當于重力加速度增加了，該乘項大于1，被稱為超重系數(shù)。

采用式(9)在AB面上積分即可計算該面的鉛直受力，其結(jié)果為

式中的積分項即圖中陰影部分體積，故該式仍然可以采用壓力體體積的幾何方法進行求解，只是加速度的鉛直分量改變了重力加速度而已。

5 結(jié)語

總之，無論液體作勻加速直線運動還是等角速旋轉(zhuǎn)運動，其壁面鉛直分力都可以像靜止液體一樣采用壓力體內(nèi)液體重量的方法來計算。只是當存在加速度鉛直分量時，等效于重力加速度發(fā)生了改變，這時需乘以失(超)重系數(shù)。力的方向采用“同側(cè)向下，異側(cè)向上”確定。需注意的是，自由液面分別變?yōu)閮A斜面和拋物面，同學們記憶傾斜面和拋物面的表達式即可。這樣計算就變得非常簡便了。

教學中先采用積分方法求解，然后引導學生采用壓力體來計算，再輔以一些復雜壁面的習題，學生普遍能夠領(lǐng)略到壓力體求解方法的精妙之處，并且將靜力學中的鉛直分力計算方法統(tǒng)一記憶，也有助于提高學生的普遍掌握程度。