帶棱角物體于斜面上靜止釋放瞬時將如何運動？1)

瞿立建 任晴晴

(防災科技學院基礎部，河北三河065201)

均質球或圓柱體沿斜面的運動，標準的教科書上都有很充分的講述[1-3]。但是，帶有棱角的物體沿斜面的運動，卻甚少有討論。然而，很多沿斜面運動的現(xiàn)象，比如沿斜面卸家具、人行走于斜坡之上、滑雪運動等，模型化為帶棱角物體沿斜面的運動才更接近實際。很多人有這樣的生活經驗，沿斜面行走時，有時會腳向下滑動但身體向后傾倒，有時會身體向前傾倒但腳向上滑動，這些特點是均質球或圓柱沿斜面運動的模型不能預言出的。本文研究帶棱角物體靜止置于斜面上之后將做何運動，并厘清各運動形式發(fā)生的條件。

1 模型與理論推導

本文討論帶棱角物體一個棱角靜止置于斜面上之后將如何運動。如圖1所示。設物體質量為m，物體質心標記為C，物體與斜面只有一個交點，設交點為A。物體受到支持力N、摩擦力f、重力mg，這里g為重力加速度。設AC連線與支持力N夾角為?，并約定C位于A左側時，?>0，C位于A點右側時，?<0。斜面傾角為θ。建立坐標系xOy，x軸正方向沿斜面向下，y軸正方向垂直于斜面向上。物體如果發(fā)生轉動，即傾倒，設順時針轉動，即物體向斜面下方傾倒，為轉動正方向，反之，為轉動負方向，物體向斜面上方傾倒。設AC長度為R，物體相對質心軸的轉動慣量可寫為IC=mkR2，k由物體具體質量分布而定，比如，對于質量均勻的立方體物體，k=1/3。設物體與斜面之間靜摩擦系數(shù)為μs，動摩擦系數(shù)為μk。

圖1 物體受力示意圖

設A點沿斜面滑動的加速度為a，物體滾動角加速度為α，由圖2易看出，物體質心加速度的x分量aCx和y分量aCy分別為

圖2 物體滑動加速度a和轉動加速度α示意圖

假設物體和斜面都是剛性的，不發(fā)生形變，即不考慮滾動摩擦，物體動力學方程為

物體沿斜面滑動有三種情況：不滑動(a=0)；沿斜面向下滑動(a>0)；沿斜面向上滑動(a<0)。物體傾倒(即物體繞與斜面接觸點轉動)也有三種情況：不傾倒(α=0)；向下傾倒(α>0)；向上傾倒(α<0)。物體運動將是滑動和傾倒的組合，總共有九種可能的運動情況。不同的運動情況下，重力和支持力方向不會變化，而摩擦力則不然，摩擦力有三種情況：靜摩擦力(方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下)；方向沿斜面向上的動摩擦力(物體向下滑動)；方向沿斜面向下的動摩擦力(物體向上滑動)。對此三種情況，下面分別進行討論。每種情況下，對于滑塊的形狀和質量分布，又分?≥0和?<0兩種情形。

1.1 摩擦力為靜摩擦力

物體不滑動，a=0，代入式(4)，由式(3)～式(5)，得

支持力N方向只能垂直斜面向上，即總有N≥0。摩擦力為靜摩擦力，|f|≤μsN，其中μs為最大靜摩擦系數(shù)，方向可沿斜面向上(f>0)也可沿斜面向下(f<0)。

1.1.1 ?≥0

由式(6)可以看出，N≥0自然成立。由式(7)知，f>0，由|f|=f≤μsN，結合式(6)和式(7)，得

由式(8)可知，當θ=?時，α=0，此時物體不滑動也不傾倒，將靜止于斜面上；當θ>?時，α>0，物體將向下傾倒；當θ

1.1.2 ?<0

由式(8)可知，α>0，物體向下傾倒，不可能向上傾倒。由N≥0和式(6)，得

其中

容易證明，tanθ?≤tanθ′。

由式(10)～式(13)可知，物體靜摩擦力方向平行斜面向上(f≥0)或向下(f<0)，體系分別應滿足的條件為

和

1.2 摩擦力為方向沿斜面向上的動摩擦力

摩擦力為f=μkN，代入式(4)，然后由式(3)～式(5)，得

體系應滿足條件a≥0和N≥0。下面對?≥0和?<0兩種情況分別予以討論，并討論α的符號。

1.2.1 ?≥0

由N≥0，結合式(16)，得

由a≥0，結合式(17)，得

易證明函數(shù)

是tanθ的增函數(shù)，并有

所以，只要式(20)成立，式(19)自動成立。

由α=0和式(18)，并結合式(19)和式(20)，得物體不發(fā)生傾倒的條件為

由α>0和式(18)，并結合式(19)和式(20)，得物體向下傾倒的條件為

由α<0和式(18)，并結合式(19)和式(20)，得物體向上傾倒的條件為

1.2.2 ?<0

由式(16)知，N≥0自動成立。由式(18)可知，α>0一定成立，即此時物體只可能向下傾倒。

由a≥0，結合式(17)，得

如果k+cos2?+sin?cos?tanθ≤0，即tanθ≥?k/(sin?cos?)?cot?=tanθ′，a≥0成立。如果tanθ

總之，下滑的物體不會向上傾倒，只可能會向下傾倒，條件是tanθ≥tanθ′或tanθ

1.3 摩擦力為方向沿斜面向下的動摩擦力

摩擦力為f=?μkN，將式(16)～式(18)三式中的μk換成?μk，即是此時動力學方程的解

體系還應滿足條件a≤0和N≥0。

1.3.1 ?≥0

由式(26)，a≤0不可能成立，即物體不可能上滑。

1.3.2 ?<0

由N≥0和式(25)，得

由a≤0和式(26)，得

這里θ′和θ?分別滿足式(12)和式(13)。

由式(12)和式(13)易證明θ?<θ′，所以θ與θ?和θ′的大小關系為θ<θ?<θ′或θ?<θ<θ′或θ?<θ′<θ，但是，第二種情況與式(29)矛盾，如果是第三種情況，根據(jù)式(29)，有

這與式(28)矛盾，因此θ與θ′和θ?二者的大小關系為θ<θ?<θ′。因此，物體做上滑運動的條件是

結合式(31)和式(27)，得α>0，即物體只可能向下傾倒，不會向上傾倒。

2 運動“相圖”

梳理一下上部分的結果，斜面上的帶棱角物體在靜止釋放瞬間的運動是滑動和轉動(即物體發(fā)生傾倒)的組合，共九種情況，各運動形式的發(fā)生條件，列于表1，其中，μs為最大靜摩擦系數(shù)，μk為動摩擦系數(shù)，

θ′和θ?表達式分別見式(12)和式(13)。從表中可以看出，九種運動不是都可以發(fā)生的。不可以發(fā)生的運動，其實是可以預先判斷出來的，基于能量和力矩兩個物理量可做出判斷。物體不會發(fā)生純上滑運動和上滑上滾運動，否則能量將增加。分析物體關于質心的力矩，可知，?≥0的物體不會上滑上傾運動，?<0的物體不會向上無滑傾倒(即繞接觸點的純轉動)或下滑上傾運動。

為更直觀起見，做一下運動“相圖”。從表1可以看出，最方便的作圖方式是，在一定?下，遍歷參數(shù)空間(tanθ,μ)。分兩種情形?≥0和?<0分別作圖。

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表1 物體可能的運動形式及其發(fā)生的條件

2.1 ?≥0

?≥0時，物體可能的運動情況總結在圖3中，摩擦系數(shù)μ在a=0的區(qū)域為最大靜摩擦系數(shù)μs，否則為動摩擦系數(shù)μk。圖中

圖3 ?≥0的物體可能的運動形式與斜面傾角正切值tan θ和摩擦系數(shù)μ的依賴關系

當靜摩擦系數(shù)比較大時，

物體不會沿斜面滑動，但可以傾倒，斜面傾角比較小(即物體“后仰”程度大)時，θ?，物體向下傾倒，θ=?時，物體靜止于斜面上，顯然，這是不穩(wěn)定平衡。

當動摩擦系數(shù)

物體將邊滑邊倒，但只會向下滑動，而不會向上滑動。斜面傾角θ?時，物體可能下傾也可能上傾，分界線是μk=tan?，此線以上，物體下滑下傾，此線以下，物體下滑上傾。

2.2 ?<0

?<0時，圖4總結了物體所有可能的運動情況，摩擦系數(shù)μ在a=0的區(qū)域為最大靜摩擦系數(shù)μs，否則為動摩擦系數(shù)μk。圖中tanθ?=cot?。

圖4 ?<0的物體可能的運動形式與斜面傾角正切值tan θ和摩擦系數(shù)μ的依賴關系

物體不會向上傾倒，這是符合直覺的，物體重心靠前，只會向下傾倒。

當斜面傾角比較大時，tanθ≥tanθ′=?k/(sin?cos?)?cot?，物體必定向下滑動，與摩擦系數(shù)無關。

當斜面傾角比較小，tanθ

當tanθ

時，物體不滑動，靜摩擦力方向沿斜面向下，即物體有向上滑動的趨勢。當tanθ?

時，物體有向下滑動的趨勢，靜摩擦力方向沿斜面向下。

3 結語

帶有棱角的物體靜止置于斜面上之后物體有豐富的運動形式。

就教學而言，斜面上帶棱角物體運動比球或圓柱運動有三個優(yōu)勢：一是，更接近實際；二是，參數(shù)更多，物理內涵更豐富；三是，更具有科研的味道，方便向學生展示科研--至少是理論研究的過程。物理科學研究中，尤其是理論研究中，通常是對整個參數(shù)空間的不同范圍對應的不同物理效應給出預言。

作者將此問題用于教學過程取得了很好的教學效果，學生們，尤其是資優(yōu)學生們，普遍反映深化了對相關知識的理解(剛體動力學)、錘煉了物理直覺(從日常生活經驗猜想物體會如何運動)、感受到了探索的樂趣(下滑上傾情形出乎意料)。將本文拓展一下，研究物體有兩個棱角或一條邊與斜面接觸，物體將做何運動，交由學生來做，取得了很好的效果。

本文只討論了物體被靜止釋放后瞬間會做何運動，沒有討論物體此后具體的運動過程。物體的運動也有豐富的物理內涵，從偏心圓輪的無滑滾動[4]中可見一斑。