Holling-Tanner型捕食模型的穩(wěn)定性和Hopf分岔

孫 春 杰

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

0 引言

為了研究生態(tài)系統(tǒng)中諸如食雀鷹、麻雀、山貓和野兔等具有捕食關(guān)系的物種之間的相互作用,數(shù)學(xué)家和生物學(xué)家May[1]提出了一類(lèi)Holling-Tanner捕食模型.

(1)

其中，H和P分別表示食餌和捕食者的種群密度,V和S分別表示食餌種群和捕食種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率,K為食餌種群的環(huán)境最大容納量,D指的是捕食上限,超過(guò)這個(gè)值捕食者的攻擊能力就開(kāi)始飽和,常數(shù)k和c分別代表捕獲率和維持捕食者平衡所需的食餌數(shù)量.

由于此類(lèi)模型具有獨(dú)特的數(shù)學(xué)性質(zhì)和重要的生態(tài)學(xué)意義,學(xué)者們對(duì)此進(jìn)行了大量的探索,獲得了很多有意義的研究成果.例如，Murray[2]考慮了系統(tǒng)(1)正常數(shù)平衡解的穩(wěn)定性和極限環(huán)的存在性；Hsu等[3]應(yīng)用Dulac準(zhǔn)則和Lyapunov函數(shù)構(gòu)造方法,研究了形如系統(tǒng)(1)這一類(lèi)捕食模型的正平衡解的全局穩(wěn)定性問(wèn)題；Huang等[4]指出,在某些參數(shù)范圍內(nèi),系統(tǒng)(1)的Hopf分岔是亞臨界的；Gasull等[5]計(jì)算出了弱焦點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)Poincaré-Lyapunov常數(shù),并以此構(gòu)造出一個(gè)含有兩個(gè)極限環(huán)的例子.

(2)

1 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性

本節(jié)討論系統(tǒng)(2)解的正性、平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及Hopf分岔的存在性.對(duì)于系統(tǒng)(2),經(jīng)計(jì)算可知,該模型存在唯一一個(gè)正常數(shù)穩(wěn)態(tài)解E=(u*,v*),其中

引理1系統(tǒng)(2)的解都是正的且有界.

證明先證非負(fù)性,即證t>0時(shí),系統(tǒng)(2)的解u(t)>0,v(t)>0.由系統(tǒng)(2)的第一個(gè)方程可知

兩邊同時(shí)積分可得

從而

同理可證v(t)>0.

下面考慮系統(tǒng)(2)的正平衡點(diǎn)E的穩(wěn)定性及Hopf分岔.容易得到系統(tǒng)(2)在E處的雅可比矩陣為

在E處的特征方程為

λ2-(f0-s)λ-s(f0+g0)=0,

(3)

相應(yīng)于雅克比……