Stein矩陣方程的位移型全局Hess方法和CMRH方法

熊 露，張 婷，李勝坤

(成都信息工程大學 應用數學學院，四川 成都 610225)

0 引言

本文討論一般的大型稀疏Stein矩陣方程

X+AXB=C

(1)

的數值解法，其中系數矩陣A∈n×n,Β∈s×s,C∈n×s是給定的矩陣，X∈n×s是待求的未知矩陣．方程(1)存在唯一解的充分必要條件為λi(A)λj(B)≠-1,其中λi(A),λj(B)分別是矩陣A,B的特征值[1]．

Stein矩陣方程是一類特殊的矩陣方程，在離散時間系統、概率、統計、光譜分析，神經網絡和圖象復原等領域有著廣泛應用[2-9]．同時Stein矩陣方程也是控制系統設計的計算工具[10]．因此，求解Stein矩陣方程顯得尤為重要．

對于低階稠密的Stein矩陣方程，通常采用Kronecker積將其轉化為線性方程組后直接求解．由于實際問題產生的Stein矩陣方程通常都是高階稀疏的，因此迭代法[11-13]具有更大的優勢．對Stein矩陣方程而言，系數矩陣間階數的不同對迭代法的構造有著重要的影響．

近年來，一些求解不同類型Stein矩陣方程的迭代方法相繼被提出．當矩陣B的階數遠遠小于矩陣A的階數時，文獻[14]利用塊Arnoldi正交化過程和非對稱塊Lanczos雙正交化過程將Stein方程降階后直接求解，提出了塊Arnoldi型Stein方法和非對稱塊Lanczos型Stein方法．文獻[15]則采用推廣的塊Arnoldi型方法降階求解．對低秩Stein矩陣方程，即矩陣C=EFT的秩很小時，文獻[16-17]利用全局Arnoldi正交化過程對Stein矩陣方程降階求解，提出了Stein全局Arnoldi算法，得到其低秩解．塊Arnoldi型正交化方法[18]，推廣的塊Arnoldi型正交化方法[15]，塊Hessenberg型方法[19]也相繼被提出．對于一般的Stein矩陣方程，文獻[20]提出了Smith型迭代法求解Stein矩陣方程，但是這種方法對系數矩陣有一定的要求，即當ρ(Α)ρ(B)<1時方法才收斂，其中ρ(Α)和ρ(B)分別表示矩陣A和B的譜半徑．文獻[21]利用全局Arnoldi正交化過程提出了全局FOM(the global full orthogonalization method)和全局GMRES算法(the global generalized minimal residual)．文獻[22]利用矩陣Krylov子空間的位移不變性，提出了位移型全局FOM和位移型全局GMRES算法，降低了全局FOM和全局GMRES算法的計算量．

Hessenberg過程[23]是另外一種構造Krylov子……