文化視野下的單元整體教學路徑
——以青島版數(shù)學五年級下冊“圓的認識”為例

山東省煙臺市芝罘區(qū)毓璜頂小學 紀學杰

一、基于困惑點的學習起點分析和教學目標分析

（一）學習起點分析

很多學生對圓和球體的理解是模糊的，不少教師對圓的定義的認識是不清晰的。究其原因，一是在日常生活中存在大量球狀物體，導致學生誤將球等同于圓；二是古人在發(fā)現(xiàn)圓的過程中，都是從一些圓柱形狀的物體中逐步抽象出圓的模型和痕跡，所謂“面從體出”，說的就是圓是出自圓柱之中的。

（二）教學目標分析

筆者認為，對于高年級學生來說，淺層次的操作可以用深層次的推理來提升學生的思考，從而達到促進深度學習的教學目標。比如，“圓為什么有無數(shù)條半徑？”“圓的直徑和半徑有什么關系？”等問題，教師完全可以放手讓學生自己去探究。

二、單元內(nèi)容的學情分析、知識本質(zhì)分析和數(shù)學思維方法分析

（一）學情分析

我們的教學要立足于數(shù)學文化的背景，溯本求源探究圓的本質(zhì)，提供豐富的生活素材來體現(xiàn)數(shù)學文化的價值，讓學生在逐步探究圓的周長和面積的過程中體會數(shù)學文化的魅力。在探究圓周率的過程中，我們不僅僅要介紹祖沖之等數(shù)學家研究圓周率π所取得的成就，更要讓學生經(jīng)歷圓周率形成的過程。

圓是小學階段學習的最后一個圖形，與之以前學過的直線圖形在性質(zhì)上有很大不同，但是它們的知識點又存在聯(lián)系。教師應找準聯(lián)系點，把未知的圖形轉(zhuǎn)化成已知的圖形，引導學生逐步探究圓的面積。

（二）知識本質(zhì)分析

新課標中明確強調(diào)了學生操作和探索的必要性，這就要求教師在教學設計中要充分考慮如何幫助學生經(jīng)歷“問題引領—合作探究—綜合梳理—問題解決”的探究過程。

“圓的認識”這一單元的教學內(nèi)容有：圓的認識、圓的周長、圓的面積、圓環(huán)的面積。這是在學生已經(jīng)學習了長方形、正方形的周長和面積，平行四邊形、三角形、梯形的面積的基礎上安排的。學生已經(jīng)理解了周長和面積的概念，本單元需要引導學生學會用轉(zhuǎn)化的思想把圓這一新圖形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學過的、熟悉的圖形。

（三）數(shù)學思維方法分析

圓是小學階段學生第一次接觸的曲線圖形，雖然與之前學習的幾何圖形有些不同，但是研究方法卻有著緊密聯(lián)系。在教學時，教師要引導學生尋找合適的契合點，合理應用轉(zhuǎn)化思想，將圓形轉(zhuǎn)化為之前學過的直線圖形，并使學生認識到，轉(zhuǎn)化是一種重要的思想方法。在日常生活和學習中，教師要引導學生學會化復雜為簡單，從而提升對未知的認識能力，使其在探究過程中體驗“化曲為直”“化圓為方”的轉(zhuǎn)化的思想方法。

三、“圓的認識”單元教學目標的確定

（一）課程標準分析

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中第二學段的內(nèi)容標準對應的目標是：通過觀察、操作，認識圓，會用圓規(guī)畫圓。從操作到描述更加強調(diào)了在掌握知識與技能的同時，引導學生經(jīng)歷過程，引發(fā)數(shù)學思考，從而從數(shù)學的角度認識世界、解釋并解決數(shù)學問題。通過一系列數(shù)學史料，讓學生了解數(shù)學文化，提高學習興趣。

（二）不同版本教材對比分析

筆者分別選取人教版、蘇教版、浙教版和青島版數(shù)學教材進行比較，以便更好體會教材的編寫意圖和設計思路。

關于“圓的認識”，這四個版本的教材都是從生活情境入手。青島版教材情境導入環(huán)節(jié)出示了古代、現(xiàn)代各種車輪，通過學生自主提問“車輪為什么是圓的？”導入新課，教師以“生活中的圓”，引導學生發(fā)現(xiàn)圓與生活的關系，以及圓這一對稱圖形的數(shù)學美。在這一過程中，教師不僅引導學生認識圓的定義、基本性質(zhì)，而且更重要的是，激發(fā)了學生對圓的科學認知之外的無限想象，讓數(shù)學課在理性思維的同時具有文化高度。教師可以把有關圓的智慧和哲理，潛移默化地滲透到學生的頭腦中，讓學生逐漸形成關于圓的文化觀。

四、數(shù)學文化的滲透與教學實施建議

在數(shù)學文化的培養(yǎng)方面，本單元把數(shù)學學習寓于文化的視野中，引導學生經(jīng)歷圓的定義過程、周長的測量、面積的推導等過程，將“圓的認識”上升到了“圓的文化”的高度，使數(shù)學科學與人文精神渾然一體。

（一）圓的認識

1.在古代數(shù)學文化中探究圓的文化源頭

本單元將研究的重點放在了文化的視域，彰顯了對于圓的認識思考中的文化觀點、課程整合中的文化情懷。引入我國古代著名思想家孟子的“不以規(guī)矩，不成方圓”這一古訓，在探究祖先制造工具原理的基礎上溯本求源，從歷史文化諺語中引出“圓”，課中引出墨子“圓，一中同長也”的研究結(jié)論，與學生自主探究結(jié)果相印證，追尋了圓的研究的文化源頭。在一步步學習圓的過程中，滲透和梳理圓的文化脈絡。

2.在變化中認識圓與方之間的聯(lián)系

一個正n邊形，當邊數(shù)越來越多，多邊形會越來越像一個圓。正如劉徽的“割圓術”所述:“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣。”畫出多個正n邊形。給出n=3,4,5,8時的情形（見圖1）。讓學生在變化中認識圓的內(nèi)接多邊形，觀察、發(fā)現(xiàn)圖形及其特征規(guī)律，為后續(xù)利用多邊形的周長探究圓的周長、利用多邊形的面積探究圓的面積做好鋪墊。

（二）圓的周長

1.畫曲為直

測量彎曲的圓的周長，對于五年級學生來說，是有一定活動經(jīng)驗的。因為在低年級研究圖形的初步認識和圖形的周長時，學生們就曾用毛線繞圓一周，再測量毛線的長度，從而將彎曲的線轉(zhuǎn)化為直的線段，探究出圓的周長的經(jīng)歷。另外，還用“滾動法”把圓形物體在直尺上滾動一周，從而測量出圓的周長，發(fā)現(xiàn)圓的周長與直徑之間的關系，引出圓周率。

2.畫圓為方

孟子所言：“不以規(guī)矩，不成方圓。”道出了方與圓有著緊密的聯(lián)系。

（三）圓的面積

在教學時，教師要求學生回憶舊知：圓形面積可以轉(zhuǎn)化為以前學過的哪些圖形？學生們想到了長方形、平行四邊形、三角形、梯形等。在探究的過程中，要凸顯數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想和極限思想。如通過把圓形平均分成16份、32份、64份、128份……將曲線的圓轉(zhuǎn)化成越來越像長方形的平面圖形（見圖2），在轉(zhuǎn)化的過程中借助幾何畫板等多媒體技術實現(xiàn)極限思想的滲透。同樣，也可以將圓形轉(zhuǎn)化成相等的三角形，通過一個三角形的面積公式推導得出圓面積的計算公式。

如果說課堂立意是一種外顯的文化，從中可以看到或是梳理出文化的脈絡與精神的話，那么“圓的認識”單元教學所體現(xiàn)的引導學生研究的過程就是一種內(nèi)隱的、貫穿于課堂始終的數(shù)學精神，可以彰顯出數(shù)學課特有的一種文化風景。本課在引導學生自己畫圓、確定圓心和半徑、研究圓心和半徑的特點的過程中，由學生操作、發(fā)現(xiàn)、歸納、提煉，從表層的現(xiàn)象入手，引導和等待學生自己撥開圓的“外衣”，抵達圓的“核心”，發(fā)現(xiàn)圓的概念的本質(zhì)。讓學生經(jīng)歷定義產(chǎn)生的過程，讓學生頭腦中的圓由上課伊始時的“靜態(tài)圓”發(fā)展成課結(jié)束時的“動態(tài)圓”。同時，教師引導學生經(jīng)歷對于“圓”的基本數(shù)學概念理解的過程、基本思想方法了解的過程，帶領學生運用數(shù)學特有的思維方式，切身感悟?qū)儆跀?shù)學獨有的美，數(shù)學本質(zhì)也在這樣的過程中被緩緩揭示。最終，學生的數(shù)學思維在圓的認識、圓的本質(zhì)和圓的文化三個層次中得到了顯著提升。