這道題很難嗎

雷添淇

原題：（第七屆全國中小學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新應(yīng)用大賽八年級(jí)復(fù)賽試題第13題）已知[a2+1a2=322]，則[a4+1a6]的值為 .

分析：已知兩式都可看作關(guān)于[a2]的代數(shù)式. 令[a2=x]，已知兩式分別可化為[x+1x=322 （x>0）]，[x2+1x3]. 將[x+1x=322]去分母得[x2-322x+1=0]，如何求解這個(gè)一元二次方程呢？此時(shí)聯(lián)想對(duì)稱多項(xiàng)式（即在一個(gè)含有若干元的多項(xiàng)式中，任意交換兩元位置，多項(xiàng)式不變，如[1x+1y+1z]，[x2+y2]）. [x+1x]是對(duì)稱結(jié)構(gòu)，但[x2+1x3]不是對(duì)稱結(jié)構(gòu)，因此可構(gòu)造對(duì)稱結(jié)構(gòu)求解.

策略：構(gòu)造對(duì)稱式解決代數(shù)求值問題

解：令[a2=x]，則[x+1x=322 （x>0）].設(shè)[s=x2+1x3]，[t=1x2+x3]，

∴[s+t=x2+1x3+1x2+x3=x3+1x3+x2+1x2=x+1x3-3x+1x+x+1x2-2=52+924]，

[s-t=x2+1x3-1x2-x3=x2-1x2-x3-1x3=x+1xx-1x-x-1x3+3x-1x].

∵[x+1x=322]，∴[x-1x=±x+1x2-4=±22].

∴[s-t=32-724]或[-32+724].

∵[s=（s+t）+（s-t）2]，∴[s=2+24] 或[12+22]. ∴[a4+1a6=2+24或12+22].

故應(yīng)填[2+24或12+22].

（全國中小學(xué)數(shù)學(xué)創(chuàng)新應(yīng)用大賽組委會(huì)供稿）