一次函數與線段和的最小值

于秀坤

求解一次函數相關的線段和最小值問題時，同學們需要將軸對稱、點的坐標與一次函數結合起來思考. 下面舉例說明.

例1 如圖1，在平面直角坐標系中，點P是正比例函數y = x圖象上的一點，點A的坐標為（0，1），點B的坐標為（4，1），當PB + PA取最小值時，點P的坐標為 .

解析：利用三角形的三邊關系可知PA + PB ≥ AB，

當點P在線段AB上時，PA + PB取最小值，此時PA + PB = AB，

由點A（0，1）、B（4，1）可知直線AB的解析式為y = 1，

再利用一次函數圖象上點的坐標特征，

即可求出當PB + PA取最小值時點P的坐標為（1，1）. 故應填（1，1）.

例2 如圖2，直線y = [12]x + 2與x軸、y軸分別交于點A和點B，點C，D分別為線段AB，OB的中點，點P為OA上一動點，PC + PD取最小值時點P的坐標為_______.

解析：根據題意可求得A（- 4，0），B（0，2），C（- 2，1），D（0，1），如圖2，作點D（0，1）關于x軸的對稱點E（0， - 1），連接CE交x軸于點P，則此時PC + PD取最小值.

設直線CE的解析式為y = kx + b（k ≠ 0），

將C（- 2，1）、E（0， - 1）代入解析式可得[-2k+b=1，b=-1，]得[k=-1，b=-1，]

∴直線CE的解析式為y = - x - 1.

當y = 0時， - x - 1 = 0，解得x = - 1，∴點P的坐標為（- 1，0）. 故應填（-1，0）.

例3 如圖3，在平面直角坐標系中，已知A（3，6），B（- 2，2），在x軸上取兩點C，D（C在D左側），且始終保持CD = 1，線段CD在x軸上平移，當AD + BC的值最小時，點C的坐標為 .

解析：把A（3，6）向左平移1個單位長度，可得A′（2，6），

作點B（- 2，2）關于x軸的對稱點B′（- 2， - 2），連接B′A′交x軸于C，

設直線B′A′的解析式為y = kx + b，則[-2k+b=-2，2k+b=6，]解得[k=2，b=2，]

∴y = 2x + 2，∴C（ - 1，0）.

∵CD = 1，D（0，0），此時AD + BC取最小值.

故應填（ - 1，0）.

（作者單位：山東棗莊第28中學）