二倍角的應對策略

吳瓊

化倍角為半角，擴半角為倍角，可構造等腰三角形，從而順利求解與二倍角相關的線段和差問題.

[問題探究]

例 在△ABC中，AD⊥BC，∠ABC = 2∠C，求證：AB + BD = CD.

解法1：如圖1，在DC上截取DE = BD，連接AE.

易證△ABD ≌ △AED，∴∠B = ∠AED.

∵∠B = 2∠C，∴∠AED = 2∠C.

∵∠C + ∠CAE = ∠AED，∴∠C = ∠EAC，∴AE = CE.

∵AB = AE，∴AB = CE，∴AB + BD = CE + DE = CD.

應對策略：作半角為底角的等腰三角形，由三角形的外角可得倍角.

解法2：如圖2，反向延長BD，截取BE = AB，連接AE.

∵∠E + ∠EAB = ∠ABD，∠ABC = 2∠C，∴∠C = ∠E，

∵AD⊥BC，∴∠ADE = ∠ADC = 90°，

易證△AED ≌ △ACD，

∴DE = CD，∴AB + BD = BE + BD = DE = CD.

應對策略：反向延長倍角的一邊，構造等腰三角形后可得半角，再證兩三角形全等.

解法3：如圖3，延長AB，截取BE = BD，連接DE，在AC上取點F，使DF = AD.

∴∠E = ∠BDE，∵∠E + ∠BDE = ∠ABD，∠ABC = 2∠C，∴∠C = ∠E.

設∠C = α，∵AD⊥BC，∴∠DAC = 90° - α，

∴∠DAF = ∠DFA = 90° - α，∠DFC = 90° + α，

∴∠ADE = 90° + ∠BDE = 90° + α = ∠DFC，易證△ADE ≌ △DFC，

∴AE = DC，∴AB + BD = CD.

應對策略：構造以倍角為外角的等腰三角形，轉化出半角.

解法4：如圖4，在DC上截取DF = AB，過點D作DE = AD，交AC于點E，連接EF.

設∠C = α，∵AD⊥BC，∴∠DAC = 90° - α，

∴∠DAC = ∠DEA = 90° - α，∠ADE = 180° - ∠DAE - ∠DEA = 2α，

∴∠EDF = 90° - 2α.

∵∠BAD = 90° - 2α，∴∠BAD = ∠EDF，

∴△ADB ≌ △DEF（SAS），∴∠EFD = ∠B = 2α，EF = BD.

∵∠C + ∠CEF = ∠EFD，∴∠C = ∠CEF = α，∴EF = CF.

∴CF = BD，∴AB + BD = DF + CF = CD.

應對策略：將AB邊轉移到DC邊上，構造等腰三角形，于是產生了倍角. 也可在截取DF = AB后作∠EDF = ∠BAD，交AC于點E，連接EF，構造全等三角形.

解法5：如圖5，過點B作BH平分∠ABD，交AD于點H，

在AC上截取EC = BH，在CD上截取CF = AB，連接EF，

延長EF，交AD 的延長線于點G，易證△ABH ≌ △FCE.

設∠C = α，∵AD⊥BC，∴∠BAD = 90° - 2α，

∴∠BAD = ∠EFC = 90° - 2α，

∴∠FEA = ∠CFE + ∠C = 90° - α.

∵∠DAC = 90° - α，∴∠GAC = ∠GEA，∴AG = GE.

∵在△AGE中，∠GAE + ∠G + ∠GEA = 180°，∴∠G = 2α，

∵AH = EF，∴GH = GF，∴∠GHF = 90° - α.

∵∠BHD = 90° - ∠HBD = 90° - α，可證△BHD ≌ △FHD，∴BD = DF，∴AB + BD = CF + DF = CD.

應對策略：作倍角的角平分線得到半角，再構造全等三角形易求解.

[跟蹤檢測]

如圖6，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC = 2∠C. 求證：AC = AB + BD.

[模型呈現]

求解與二倍角相關的數學問題時，通常可構造如下基本模型.

模型1：如圖7，作∠EDC = ∠C，交AC于點E.

模型2：如圖8，延長AB，在延長線上截取BF = BD，連接DF.

模型3：如圖9，延長CB，在延長線上截取BE = AB，連接AE.

模型4：如圖10，作∠ABC的平分線，交AD于點G，交AC于點E，作∠FGB = ∠ABE，交AB于點F.

（作者單位：大連市第37中學）