尋找基本圖形 打開解題之門

劉家良

原題呈現(xiàn)

例（2020·河南·第14題）如圖1，在邊長(zhǎng)為[22]的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接EC，F(xiàn)D，點(diǎn)G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長(zhǎng)度為 .

考點(diǎn)剖析

1. 知識(shí)點(diǎn)：正方形的邊、角性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，直角三角形的判定，勾股定理，三角形面積公式，三角形中位線定理.

2. 數(shù)學(xué)方法：面積法，構(gòu)造法.

3. 基本圖形：如圖2，正方形中所含基本圖形（條件：BE = CF，結(jié)論：CE⊥DF，CE = DF）;如圖3，雙中點(diǎn)圖形（條件：O為AD，BC的中點(diǎn)，結(jié)論：△AOB ≌ △DOC）.

學(xué)情分析

思路1：求GH的長(zhǎng)度，通常將其放置在直角三角形中，利用勾股定理求得. 如圖1，若能證得DF⊥CE，解答問(wèn)題就有了眉目，這需要同學(xué)們熟知正方形中所含基本圖形（圖2）的結(jié)論.

解法1：如圖4，設(shè)CE，DF交于點(diǎn)S.

∵四邊形ABCD為正方形，∴∠A = ∠B = ∠BCD = 90°，AB = BC = CD = [22].

∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，∴AE = BE = [2]，CF = BF = [2]，∴BE = CF.

∴△BCE ≌ △CDF（SAS），∴CE = DF，∠BCE = ∠CDF.

∵∠DCF = 90°，∴∠CDF + ∠CFD = 90°，

∴∠BCE + ∠CFD = 90°，∴∠CSF = ∠HSG = 90°.

∵CE = [BE2+BC2] = [（2）2+（22）2] = [10]，∴DF = CE = [10].

∵點(diǎn)G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，∴CG = [12]CE = [102]，HF = [12]DF = [102].

∵∠DCF = 90°，CS⊥DF，∴[CS?DF2] = [CD?CF2]，

∴CS = [CD?CFDF] = [22×210] = [410]，∴GS = CG - CS = [102-410] = [110].

在Rt△CSF中， FS = [CF2-CS2=（2）2-4102] = [25]，

∴HS = HF - FS = [12]DF - FS = [102-25] = [31010].

在Rt△HSG中，由勾股定理得HG = [HS2+GS2] = [310102+1102] = 1.

思路2：因已知中涉及多條線段的中點(diǎn)，所以要求GH的長(zhǎng)度，可將GH置于某個(gè)三角形中，使GH成為一條中位線，由三角形中位線定理求解. 如何構(gòu)造這個(gè)三角形是解決本題的關(guān)鍵，這就需要同學(xué)們熟知雙中點(diǎn)圖形（圖3）中的結(jié)論.

解法2：如圖5，連接CH并延長(zhǎng)，交AD于點(diǎn)M，連接EM.

∵四邊形ABCD為正方形，∴∠A = 90°，AD[?]BC，∴∠DMH = ∠FCH.

∵∠DHM = ∠FHC，DH = FH，

∴△DMH ≌ △FCH（AAS），∴MD = FC，MH = CH.

∵EG = CG，∴GH為△CME的中位線，∴GH = [12]ME.

∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，

∴AE = BE = [2]，CF = BF = [2]，∴MD = [2]，AM = [2].

在Rt△EAM中， ME = [AM2+AE2] = [（2）2+（2）2] = 2，∴GH = [12]ME = 1.

勤于積累

1. 正方形中所含的基本圖形（如圖2）的結(jié)論可推廣到等邊三角形（如圖6，BD = CE）、正五邊形（如圖7，BF = CG）、正六邊形等正多邊形中，兩線夾角分別等于相應(yīng)的正多邊形的一個(gè)內(nèi)角，即[（n-2）×180°n].

2. 直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的斜邊與斜邊上的高的積等于兩直角邊的積.

3. 雙中點(diǎn)圖形（如圖3）的性質(zhì)：中點(diǎn) + 平行[?]中點(diǎn).

跟蹤檢測(cè)

（2020·天津·第17題）如圖8，[?]ABCD的頂點(diǎn)C在等邊三角形BEF的邊BF上，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，G為DE的中點(diǎn)，連接CG. 若AD=3，AB=CF=2，則CG的長(zhǎng)為 .

答案：1.5 （提示：延長(zhǎng)CG交BE于點(diǎn)H）

（作者單位：天津市靜海區(qū)沿莊鎮(zhèn)中學(xué)）