一道習(xí)題 多種變式

李傳梅 左效平

[原題呈現(xiàn)]

如圖1，四邊 形ABCD是一個(gè)正方形花園，E，F(xiàn)是它的兩個(gè)門，且DE = CF. 要修建兩條路BE和AF，這兩條路等長嗎？它們有什么位置關(guān)系？為什么？（人教版教材第68頁第8題）

結(jié)論：BE = AF，BE⊥AF. （證明過程略）

[習(xí)題變式]

變式1：點(diǎn)E，F(xiàn)在正方形兩邊的延長線上，結(jié)論仍然成立.

例1 如圖2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，DC的延長線上，DE = CF，則BE = AF，BE⊥AF.? （證明過程略）

變式2：點(diǎn)E，F(xiàn)在正方形兩邊上運(yùn)動，探求線段的最小值.

例2 如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，點(diǎn)F是DC上一點(diǎn)，且DE = CF，連接BE，AF，交于點(diǎn)G，連接DG，設(shè)正方形的邊長為2，求DG的最小值.

解析：由習(xí)題結(jié)論可知∠AGE = 90°，則△ABG是斜邊不變的直角三角形.

取AB的中點(diǎn)H，連接GH，DH，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知GH + DG ≥ DH，

所以當(dāng)點(diǎn)D，G，H共線時(shí)，DG最小，此時(shí)GH = 1，DH = [5]，所以DG的最小值為[5] - 1.

變式3：改變點(diǎn)E，F(xiàn)在正方形兩邊上的運(yùn)動方向，探索新結(jié)論.

例3 如圖4，在正方形ABCD中，E是AD上由D向A運(yùn)動的一點(diǎn)，F(xiàn)是BC延長線上的一點(diǎn)，且DE = CF. （1）連接EF交CD于G，E在運(yùn)動過程中，DG的長度是如何變化的？若不變化，求出其長度. （2）過G作GM[?]BF，交AF于H，GM與BF有何關(guān)系？證明猜想. （3）設(shè)DE = x，GM = y，AB = 4，寫出y與x的關(guān)系式，無須證明.

解析：（1）易證△DEG ≌ △CFG，可得DG = CG [=12]CD，DG的長度不變.

（2）可證GM是△BEF的中位線，則GM[?]BF，且2GM = BF.

（3）y = [12]x + 2.

【同類演練】 如圖1，若 BC = 4，DE = CF = 1，則 GF 的長為 .

答案：2.6