存在性問題的探究策略

韓學奎

【摘要】存在性問題也稱探索性問題，是高考中的熱點問題，也是難點問題.解決這類問題的基本方法是：猜證法找到肯定結論;正面探求肯定結論;逆推反證得出否定結論;歸納、猜想、推理尋求肯定結論 .

【關鍵詞】探究性;問題;解決;策略

存在性問題是給出了問題的結論，但使問題結論成立的元素是否存在尚不確定，從而需要解答者予以探求的一種題目.此類問題的解決需要較高的思維品質和分析解決問題的能力，故一度成為高考中的熱點、難點問題.下面就通過幾個例子談一下解決這類問題通常用到的策略.

一、猜證法找到肯定結論

探究一個滿足條件的參數或幾何圖形是否存在可以根據已知條件大膽猜想，然后對自己的猜想予以合理的證明，從而事半功倍地解決問題.

例1 如圖1所示，已知四面體E-ABCD中，四邊形ABCD是正方形，AC交BD于O，EC⊥平面ABCD，F為BE的中點.

（1）求證：DE∥平面ACF.

（2）若AB=2CE，在線段EO上是否存在點G，使CG⊥平面BDE？若存在，試確定G點的位置;若不存在，說明理由.

（1）證明：如圖2所示，連接OF，因為四邊形ABCD是正方形，O是AC與BD的交點，所以點O為BD的中點.又因為F為BE的中點，所以OF∥DE.故有DE∥平面ACF.

解法一 （2）猜想存在滿足條件的點G為EO的中點.

證明如下：連接CG，因為EC⊥平面ABCD，故EC⊥AC，三角形OEC為直角三角形，又因為AB=2CE，所以CO=22AB=CE，所以三角形OEC為等腰直角三角形，故CG⊥OE.

又因為EC⊥平面ABCD，所以BD⊥EC，又四邊形ABCD是正方形，

所以BD⊥AC，又EC∩AC=C，所以BD⊥平面ACE.

而CG平面ACE，所以CG⊥BD.

又OE∩BD=O，所以CG⊥平面BDE.

所以存在點G，使CG⊥平面BDE，且G為EO的中點.

該解法根據圖形的特征大膽地猜想滿足條件的點G是線段EO的中點，然后證明該點滿足條件從而輕松解決了問題.

二、正面探求肯定結論

對存在性問題給出一個肯定答案最簡單的方法就是發現這個結果，用勝于雄辯的事實說明探求的元素是存在的.

上述例1（2）還可以有下面兩種解法.

解法二 （根據其他條件直接作圖探求）

因為EC⊥平面ABCD，所以BD⊥EC;又四邊形ABCD是正方形，所以BD⊥AC.因為EC∩AC=C，所以BD⊥平面ACE.故有平面BDE⊥平面ACE.故過C垂直于交線EO的直線必垂直于平面BDE，因此作CG⊥EO于G，則CG一定垂直于平面BDE.

又因為EC⊥平面ABCD，故EC⊥AC，三角形OEC為直角三角形.又AB=2CE，所以CO=22AB=CE，所以三角形OEC為等腰直角三角形，由此可知G為EO的中點.

解法三 如圖3所示建立空間直角坐標系，設CE=2，則C（0，0，0），D（22，0，0），B（0，22，0），E（0，0，2），O（2，2，0），EO=（2，2，-2）.

假設EO上存在點G，使EG=tEO（0

由于CG⊥平面BDE，所以有CG·EB=0，

CG·ED=0，

得4t-4+4t=0，

4t-4+4t=0， 解得t=1[]2.

即EG=1[]2EO，故在線段EO上存在點G使CG⊥平面BDE，且G為EO的中點.

例2 若函數 g（x）=ex-mx-1.

（1）討論g（x）的單調性.

（2）是否存在實數m，使g（x）在區間[-2，3]上單調遞減？

解 （1）g′（x）=ex-m，x∈R.

當m≤0時，由于g′（x）=ex-m>0，故g（x）在R上單調遞增.

當m>0時，由ex-m≥0，得ex≥m，x≥ln m.由ex-m<0，得x<ln m，

所以，當m≤0時，g（x）在R上單調遞增，當m>0時，g（x）在區間[ln m，+∞）上單調遞增，在區間（-∞，ln m）上單調遞減.

（2）假設存在m∈R使g（x）在區間[-2，3]上單調遞減，則g′（x）=ex-m≤0在x∈[-2，3]時恒成立，即m≥ex在x∈[-2，3]時恒成立，只需m≥（ex）max .又因為ex在[-2，3]上單調遞增，所以（ex）max=e3，故m≥e3.

所以存在實數m∈e3，+∞，使g（x）在[-2，3]上單調遞減.

由上面的例子可以看出，我們可以用作圖等方法直接尋找滿足條件的元素（如例1解法二），也可以假設探尋的元素存在構造方程（如例1解法三）求出滿足條件的元素的值，或構造不等式（如例2）求出其取值范圍，得出肯定的結論.

三、逆推反證得出否定結論

要說明一個問題的結論是不存在的，往往很難找到一個著眼點，這時常用逆推反證的策略推出矛盾，從而說明結論不存在.

例3 已知函數f（x）=loga（3-ax）（a>0且a≠1）.

（1）當x∈[0，2]時，函數f（x）恒有意義，求實數a的取值范圍.

（2）是否存在這樣的實數a，使函數f（x）在區間[1，2]上為減函數，并且最大值為1？如果存在，求出a的值;如果不存在，請說明理由.

解 （1）設t（x）=3-ax，則t（x）是關于x的一次函數，