借助“形感”加深對幾何圖形的認識和理解

蒙裕勁

【摘要】本文闡明數學空間形式中的“形感”概念，闡述“從簡單到復雜”“從特殊到一般，再從一般到特殊”的圖形的兩條變化規律，講解“完整形”和“殘缺形”及其發展關系，即從圖形發生和發展的兩條主線以及“完整形”和“殘缺形”兩個形來展開論述，揭示圖形之間的變化規律，加深對幾何圖形的認識，并以例助講將“殘缺形”補成“完整形”的方法。

【關鍵詞】幾何 圖形規律 形感

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）21-0136-02

《初中數學課程標準（2011年版）》對數學的定義是：“數學是研究數量關系和空間形式的科學。”數量關系和空間形式，就是我們常常簡稱為“數”與“形”的兩個對象。幾何的研究對象是“形”，即常說的圖形。本文從圖形發生和發展的兩條主線以及“完整形”和“殘缺形”兩個形來展開論述，以揭示圖形之間的變化規律，加深對幾何圖形的認識。

一、關于圖形的一個基本概念“形感”

數量關系和空間形式我們常常以“數”和“形”簡稱之。對于“數”，課標里有與之相應的“數感”，認為“數感主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估算等方面的感悟，建立數感有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境中的數量關系”。對于“形”呢？為什么沒有“形感”一詞呢？筆者認為，“形感”在初中幾何里，是至關重要的一種能力，也可以說是對形的一種感覺。什么是“形感”呢？筆者模仿“數感”給它下一個定義：“形感，主要是指關于圖形、圖形關系以及圖形中的數量關系等方面的感悟，建立形感有助于學生理解圖形，理解和表述圖形中的數量關系”。舉例如下：

1.數量關系

正確的形感：線段a大于線段b? ? ?角1大于角2

2.位置關系

正確的形感：兩線垂直? 兩線不垂直? 兩線平行? 兩線不平行

在圖形的研究過程中，我們常常遇見兩種情況。一是看起來不像，但事實上它就是;二是看起來很像，但事實上它卻不是。這兩種情況往往都跟“形感”有緊密的聯系。在解題過程中，我們也往往有這樣的解題經驗，看著題目提供的圖，實在是沒有解題的思路，怎么看都不像，于是，自己根據題目的已知條件重新畫一個圖，一下子就找到思路了，這也跟“形感”有緊密聯系。

我們知道，數學活動的過程常有這樣幾個環節：觀察、猜想、論證、下結論。在從觀察得出猜想的過程中，“形感”往往起到關鍵的作用。

綜合以上觀點，正確“形感”的建立至關重要。那么怎么建立呢？

二、幫助學生建立“形感”

明白了“形感”的概念，那么如何幫助學生建立正確的“形感”呢？結合筆者多年的教學經驗，從下面兩點來談一談。

（一）利用圖形網絡深刻揭示關于圖形的兩條變化規律

1.“從簡單到復雜”規律

圖形的發生和發展，有其自己特有的規律，其中的一條就是“從簡單到復雜”。我們不妨回顧幾個基本圖形的學習過程，舉例如下：

直線系列：從一條線，到兩條線再到三條線。知識從一條線中的直線有兩個延伸方向，到相交線的對頂角和鄰補角，再到“三線八角”。

射線系列：從一條射線，到有公共頂點的兩條射線（角），再到有公共頂點的三條射線（角的大小比較）。

“從簡單到復雜”的規律，我們亦可以認為是基本圖形的疊加，生成新的基本圖形，新的基本圖形再疊加，從而生成新的復雜的圖形。因此，筆者認為，所有的復雜圖形都是由簡單的基本圖形組成。基于這樣的認識，我們在突破與圖形相關的難題的時候，首要的思路就是將復雜的圖形進行基本圖形的拆解。

2.“從特殊到一般，再從一般到特殊”規律

我們還是可以以直線和射線這兩個基本圖形舉例展開說明如下：

直線系列：兩直線相交的一般情形生成對頂角和鄰補角，特殊情形為相交的四個角中，有一個是直角的情形。此時，生成垂直的概念，進而生成點到直線的距離的概念。三條直線相交的一般情形，特殊化后得到兩平行線被第三線所截的特殊圖形，進而生成了平行線的判定和性質等知識。

射線系列：三條有公共頂點的射線組成一般狀態的三個角，把中間的射線特殊化后可以得到角的平分線，把一般的角特殊化后得到平角，再加上平分線就得到兩直線垂直。

“從特殊到一般，再從一般到特殊”的規律，我們可以認為是一個圖形發生變化的兩個方向，捋順一般性和特殊性有利于加深我們對圖形的認識。

上述兩條發生、發展的圖形規律隨處可見，每一個圖形都不是單一的，有來處，當然也有去處。在平時授課的過程中，利用網絡結構圖，將圖形的上述兩條變化規律呈現清楚，明白知識的發生、發展方向將有助于學生“形感”的建立和提升。

以三角形中的三條重要線段為例，建立圖形網絡如下：

三角形的高：

三角形的中線：

三角形的角平分線：

（二）關于“完整形”和“殘缺形”的理解

1.“完整形”

從字面上來看，它就是指一個完整的圖形。我們在課本的學習過程中，每一個定義或者定理都有相應的圖形，這些圖形通常都可以認為是完整形。

2.“殘缺形”

數學源于生活，在生活中，有完整的物體，也有不完整的物體。圖形也一樣，有完整的圖形，也有不完整的圖形。筆者把那些不完整的圖形稱之為“殘缺形”。在生活中，每當我們看到缺胳膊少腿的殘疾人，善良的人都會想，如果我們能夠幫把他缺失的補全，該有多好。對于圖形也一樣，每當筆者看到一個“殘缺形”的圖出現在面前時，就想把它補全。筆者認為，這是幾何圖形添加輔助線的一個核心思想。當然，能看出這是一個“殘缺形”就需要有比較好的“形感”。

為了更清楚地說明這個問題，打個比方如下：

角平分線的“殘缺形”和“完整形” 中垂線的“殘缺形”和“完整形”

如果有一道題，題目中明確告訴你，有角平分線，角平分線上有點，這個點到角的一邊的距離明確了，到另一邊的距離卻沒有明確，那么要想用到其結論，就要標示這個點到另一邊的距離，因此就要畫出這個點到另一邊的距離。這就是關于角平分線添加輔助線解題的一條思路，將殘缺形補成了完整形。圖形完整，結論跟著才完整。中垂線也一樣，不再贅述。

但是，將“殘缺形”補成“完整形”有多種補法，關鍵是看你發揮怎樣的想象力。比如：

三角形中點殘缺形 完整形1? 完整形2? ?完整形3? 完整形4

補成圖1，得到面積相等;補成圖2和圖3得到中位線和相似三角形;補成圖4，得到平行四邊形，角和線段發生轉移;等等。

3.將“殘缺形”補成“完整形”一題多解舉例

〖例〗如圖1所示，已知AB∥CD，點E在兩平行線的內部，∠ABE=40°，∠CDE=50°，求∠E。

〖解題思路〗題目的圖中有兩線平行，聯想到平行線的性質，接著聯想到兩線平行的完整形如圖2，兩平行線必須有截線才完整，才有同位角、內錯角和同旁內角這三種角。對比題目中的圖形，兩平行線間沒有完整的截線，屬于平行線的殘缺形，于是將殘缺形補成完整形即可。至少有以下八種補全圖形的解法，但結果都是∠E=90°。

上述八種解法的共性都是將平行線的殘缺形補成完整形。可見，有一定的形感才能很快地聯想到一條直線和兩條平行線相交的“完整”圖形，聯想到用平行線的同位角、內錯角和同旁內角的關系，即平行線的性質定理，利用平行線的性質定理解題。

總而言之，關注圖形發生、發展的兩條主線有助于完善我們認圖和識圖的系統性，關注“殘缺形”有助于完善我們認圖和識圖的完整性。建立正確的“形感”，有助于我們加深對圖形的認識和理解。

（責編 盧建龍）