胡晉賓 劉洪璐

摘要：在數(shù)學教育中，有很多朗朗上口的名人名言被不斷引用和傳播，使許多重要理念逐漸凝結為共識，從而直接或間接地影響著數(shù)學課改。精選十句經典數(shù)學教育名人名言，簡要論及它們對數(shù)學課改的深遠影響。從名人名言的角度研究數(shù)學課程改革，也是數(shù)學文化的一種具體表現(xiàn)。

關鍵詞：名人名言;數(shù)學課改;數(shù)學文化

“假傳萬卷書，真?zhèn)饕痪湓挕！泵嗣员粡V為引用和傳播，不僅僅是因為名人效應，更主要的原因是名人高瞻遠矚，提煉和發(fā)出普通民眾的心聲。在數(shù)學教育中，也有很多朗朗上口的名人名言被不斷引用和傳播，使許多重要理念逐漸凝結為共識，從而直接或間接地影響著數(shù)學課改。以下精選十句經典數(shù)學教育名人名言，簡要論及它們對數(shù)學課改的深遠影響。

一、課程名言

第一句是，恩格斯的“數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的一門科學”。

恩格斯在《反杜林論》中的原話如下：“純數(shù)學是以現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系，也就是說，以非常現(xiàn)實的材料為對象的。這種材料以極度抽象的形式出現(xiàn)。這只能在表面上掩蓋它起源于外部世界。”恩格斯是哲學家而不是數(shù)學家，古今數(shù)學顯然也有較大差異。從這句話來看，他強調的是數(shù)學來自外部世界，而且純數(shù)學研究的是“現(xiàn)實世界”中的對象。實際上，今天數(shù)學的來源不再局限于現(xiàn)實世界的范疇，而且有想象中和邏輯上的可能選項。但是，數(shù)量關系和空間形式還是大致反映了中小學數(shù)學的內容主旨，因此，無論是義務教育階段還是高中階段的數(shù)學課程標準，都把這句名言修改為“數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的一門科學”，作為數(shù)學課程和教學的邏輯起點放在開篇，簡明扼要地回答了“數(shù)學是什么”的哲學追問。它反映了一種數(shù)學觀，提示人們數(shù)學不是去研究物質的其他方面，而是聚焦于抽象的空間形式和數(shù)量關系。

第二句是，齊民友的“一種沒有相當發(fā)達的數(shù)學的文化是注定要衰落的，一個不掌握數(shù)學作為一種文化的民族也是注定要衰落的”。

在數(shù)學界和數(shù)學教育界，把數(shù)學當作一種文化并高度重視數(shù)學文化價值的人不在少數(shù)，相關名言舉不勝舉。文化是一種素養(yǎng)，“教育無非是一切已學過的東西都忘掉時所剩下的東西”，故兩者具有內在的一致性。這些名言強調的是，要跳出傳統(tǒng)觀念中對客觀知識的狹隘理解，站在數(shù)學的人文宏觀立場上重視數(shù)學乃至數(shù)學教育。雖然對數(shù)學文化的定義眾說紛紜，但是當下的課程標準、教材和教學中，都有很多數(shù)學文化（數(shù)學人文和數(shù)學歷史等）的身影，大家對數(shù)學的人文性、觀念性和潛隱性的關切是不約而同的。相關數(shù)學文化立場的理念，反映的是對知識生硬掌握和技能機械操練的超越，指向的是思想文化和精神素養(yǎng)的應然追求。正因如此，《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》指出：“數(shù)學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分。”不僅如此，課程標準將整個數(shù)學課程結構納入數(shù)學文化的范疇來宏觀設計，倡導數(shù)學內容與數(shù)學文化的有機融合。

第三句是，蘇步青的“中小學教材可以混而不錯”。

也就是說，知識的發(fā)展、認知的建構和學習的開展，不一定按部就班完全對應。在教材編寫過程中，不必拘泥于數(shù)學知識的邏輯結構，刻板追求內部系統(tǒng)的形式嚴謹，而應該充分認識和尊重學與教的實際，在某些不易交代清楚的地方先含混（當然，在含混的時候不能出現(xiàn)科學性差錯）過去，刪繁就簡以利教學，等到時機成熟后再來反思提升，讓學生在不斷前進和日趨發(fā)展中壯大自己，不能畢其功于一役而裹步不前。這一名言啟迪我們，絕對的、僵化的嚴謹是做不到的，也是不利于數(shù)學教學的。中小學數(shù)學教材組織，往往要在學科課程和經驗課程之間謀求一種動態(tài)和諧的適切平衡。在教材編寫時，要汲取“新數(shù)運動”等的教訓，恰當選擇舊有認知平臺，以減輕學生學業(yè)負擔;妥善處理教材編寫過渡，以利“淡化形式、注重實質”（陳重穆語）。一個典型的案例是，當下的課程標準精選了基本事實作為公理，對傳統(tǒng)幾何進行了有效改造，方便教師的教和學生的學。

二、教學名言

第一句是，張奠宙的“數(shù)學教師要善于將知識的學術形態(tài)轉化為教育形態(tài)”（簡稱“形態(tài)說”）。

張奠宙指出，知識具有原始形態(tài)、學術形態(tài)和教育形態(tài)。知識在發(fā)現(xiàn)、發(fā)明和發(fā)表后，往往是學術形態(tài)的，比如數(shù)學定理等。數(shù)學教學中，高明的教師善于將知識轉化為教學形態(tài)。與之類似的名言是張景中的“數(shù)學教育研究的就是如何砸核桃、吃核桃”（簡稱“核桃說”）。張景中指出，數(shù)學有價值但是不好掌握，就如同核桃有營養(yǎng)但是不好剝殼一樣。兩位張先生倡導的，都是區(qū)分數(shù)學學術和數(shù)學教育及其研究的差異，考慮數(shù)學教學實際進行教學轉化的問題。把知識進行教學法加工，方便學生理解和建構，這在本質上是教師教學能力的重要指標，是教師專業(yè)發(fā)展的重要方向，也是數(shù)學教育工作師范性、專業(yè)化和藝術化的具體體現(xiàn)。教材編寫亦是如此。因此，《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》指出，教材編寫要“處理好數(shù)學的科學形態(tài)與教育形態(tài)之間的關系”。

第二句是，弗賴登塔爾的“與其說學習數(shù)學，不如說學習數(shù)學化”。

相關的觀點有：數(shù)學是常識的精微化，要考慮并尊重學生的數(shù)學現(xiàn)實;數(shù)學化有水平數(shù)學化和垂直數(shù)學化之分;數(shù)學教學要考慮“再創(chuàng)造”。弗翁的這句名言，意義類似于“教是為了不教”。教學不是灌輸結果性靜態(tài)知識，而是通過經歷數(shù)學化，也就是抽象化、形式化和邏輯化等數(shù)學思維磨礪，把教學的結果占有和過程經歷結合起來。具體的教學組織中，既沒有水平數(shù)學化也沒有垂直數(shù)學化的是機械主義教學，多有水平數(shù)學化而少有垂直數(shù)學化的是經驗主義教學，多有垂直數(shù)學化而少有水平數(shù)學化的是結構主義教學，既有水平數(shù)學化又有垂直數(shù)學化的是現(xiàn)實主義教學（理想教學）。顯然，水平數(shù)學化和“三會”中的“數(shù)學的眼光”在思路上是一致的。弗賴登塔爾的觀點對中國的數(shù)學教育影響很大，今天的課程標準中有生活現(xiàn)實、數(shù)學現(xiàn)實和其他學科現(xiàn)實之分，與此倡導不無關系。我們不妨從以下兩位專家的觀點中窺其一斑。劉堅指出：“當然，被稱之為影響20世紀后50年國際數(shù)學教育發(fā)展方向的荷蘭數(shù)學家和數(shù)學教育家弗賴登塔爾的‘現(xiàn)實數(shù)學教育思想對我和我們課題組有著巨大的沖擊。這些對我們開展‘大眾數(shù)學的研究產生了積極的影響，對世紀之交國家層面的數(shù)學課程改革產生了重要的推動作用。”孫曉天指出：“我國正在進行的新一輪數(shù)學課程改革，也受到了弗賴登塔爾現(xiàn)實數(shù)學教育思想的影響和啟發(fā)。”

第三句是，斯托利亞爾的“現(xiàn)代的數(shù)學教學應該是數(shù)學活動的教學”。

斯托利亞爾指出，數(shù)學活動可以分為3個階段：第一，經驗材料的數(shù)學組織化;第二，數(shù)學材料的邏輯組織化;第三，數(shù)學理論的應用。其實，這3個階段也大致對應當前所說的3個數(shù)學基本思想（數(shù)學核心素養(yǎng)）——數(shù)學抽象、數(shù)學推理和數(shù)學建模，而且，第一和第二階段就是水平數(shù)學化與垂直數(shù)學化。上述過程大致反映出唯物主義的路徑：從現(xiàn)實中去提煉，到數(shù)學中去升華，再回到現(xiàn)實中去應用。數(shù)學教學從本質上來說，就是通過數(shù)學知識學習，學會（數(shù)學地）思維（思考）。數(shù)學教學，應該以知識生成、發(fā)展為載體與線索，訓練數(shù)學技能，“要充分暴露數(shù)學思維過程”（張乃達語），再把數(shù)學思維凝練成為數(shù)學思想。經歷上述過程的思維積淀，當下課程標準中倡導的“四基”（基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗）也就都有了。

三、學習名言

第一句是，哈爾莫斯的“問題是數(shù)學的心臟”。

數(shù)學問題無論是對于數(shù)學研究，還是對于數(shù)學教學來說，都尤其重要。在數(shù)學發(fā)展方面，希爾伯特指出：“任何一門學科，只要它能提供豐富的問題，它就是有生命力的。相反，如果問題貧乏，那就預示著這一門學科的獨立發(fā)展已經趨向消亡和終止。”而波利亞則說：“掌握數(shù)學就意味著善于解題。”實際上，課程標準已經提出數(shù)學“四能”——發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。這些問題可劃分為以下多種：純粹問題，現(xiàn)實問題;封閉題，開放題;等等。這句名言提醒我們，數(shù)學學習不是簡單的淺層閱讀，而要以問題的解決為練兵場，下功夫多做題、去實踐。通過做題、實踐與反思，學會解題、應用與思維。顯然，不能把問題局限于教輔資料上的題目。能否從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題，是數(shù)學學習能力和素養(yǎng)水平高低的具體表現(xiàn)。切換到教學方面，能否以恰當?shù)膯栴}（問題串或問題鏈）驅動課堂，也是數(shù)學教學成敗的關鍵。

第二句是，米山國藏的如下名言：“在學校學的數(shù)學知識，畢業(yè)后若沒什么機會去用，不到一兩年，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學的精神、數(shù)學的思維方法、研究方法、推理方法以及看問題的著眼點等，卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們終身受益。”

上述名言指出的是，相對知識而言，數(shù)學的思想方法乃至理性精神至關重要。真正的掌握，是對數(shù)學知識的融會貫通，是對數(shù)學思想的深刻領悟，是對數(shù)學文化的自覺繼承。正因如此，鄭毓信指出，數(shù)學教學可劃分為以下3個層級：知識技能，思想方法，文化觀念。局限于知識技能，只能算工匠型教師。超越知識技能，挖掘知識技能背后潛在和負載的數(shù)學思想方法，那就是智慧型教師。若再超越思想方法，把數(shù)學學習當作一種文化傳承和觀念建構，那就是大師型教師。所謂“授人以魚不如授人以漁”，理想的數(shù)學教學需要智慧型和大師型教師，理想的數(shù)學學習追求數(shù)學思想方法的領悟和數(shù)學文化觀念的熏陶。

第三句是，吳文俊的“數(shù)學是笨人學的”。

顯然，吳文俊不是笨人。這里的“笨”是指，數(shù)學的發(fā)展是嚴謹求實和循序漸進的，數(shù)學研究和數(shù)學學習都需要專注努力，通過不懈超越，方可熟能生巧，才有推陳出新。陳省身經常說，“我別的不會”，“比方說在廚房里頭炒木須肉，這個菜炒了幾十年以后，才了解得比較清楚，數(shù)學（研究）也這樣子，有些工作一定要重復，才能夠精，才能做新的東西”。華羅庚也說，讀書應該“從薄到厚”再“從厚到薄”。上述名言啟迪我們，數(shù)學學習沒有終南捷徑與“王者之道”;基礎不牢，地動山搖;首先打好基礎，然后才能深入發(fā)展。這也可以理解為，數(shù)學往往使人謙虛、理性，不浮泛、少感性。當然，在數(shù)學學習過程中，要強調適度的熟能生巧式演練，因為低水平的“刷題”和無休止的“死揪”，是會導致“熟能生厭”和“熟能生笨”的（李士锜語）。反映在課程標準里，數(shù)學教學已經從傳統(tǒng)的“雙基”的側重拓展到“四基”的平衡。在倡導自主、合作、探究學習的同時，并不排斥傳統(tǒng)的有意義接受式學習。

第四句是，歐內斯特的“絕對主義的伊甸園，不過是傻瓜的天堂”。

該名言告誡我們，確定性、絕對性的數(shù)學觀雖然合理，但是并不吻合經驗，經驗和擬經驗的數(shù)學觀對確定性和絕對性的數(shù)學觀的取代已成必然趨勢。“任何一次深入的數(shù)學教育改革運動，必然具有一定的哲學思想基礎。”當下的數(shù)學課程和教學改革，較多地體現(xiàn)出上述數(shù)學觀的轉變。根據(jù)歐內斯特的研究，絕對主義是靜態(tài)的、結果的，注重終結的或展現(xiàn)了的知識（命題等），以及知識的基礎和判定;把數(shù)學看作與其他知識領域嚴格隔離分開的單獨學科，認為數(shù)學只依靠嚴格的證明，否認數(shù)學與人類歷史、知識發(fā)生以及環(huán)境條件等的內在聯(lián)系。而可誤主義是動態(tài)的、過程的，注重知識的發(fā)生和人類對創(chuàng)造知識的貢獻，肯定出錯的作用;把數(shù)學與人類整體知識結構相聯(lián)系，認為數(shù)學不能與物理學以及其他科學相分離，數(shù)學是人類歷史以及實踐乃至文化的不可分割的組成部分。類似的觀點不少。比如，波利亞認為：“數(shù)學有兩個側面。一方面，是歐幾里得式的嚴謹科學，從這方面看，數(shù)學像是一門系統(tǒng)的演繹科學。但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學，看起來像是一門試驗性的歸納科學。”波利亞與歐內斯特在有關數(shù)學知識理解方面的許多觀點不謀而合。上述名言的啟示是：數(shù)學學習應該強調過程，關注文化，寬容差錯，聯(lián)系實際，兼顧合情推理和演繹推理;不能簡單復制與全盤接受，而應大膽質疑和批判超越，等等。這在課標和教材中，都有大量體現(xiàn)。

四、結語

上述名言已經成為數(shù)學教育專業(yè)的共有學術話語，表現(xiàn)出了經久的生命力和強大的影響力。經常反思這些名人名言，有利于了解教育理念的來龍去脈，加深對數(shù)學課程與教學的理解，促進對學生數(shù)學學習的引導，方便教師教學工作的開展。而從名人名言的角度研究數(shù)學課程改革，顯然也是數(shù)學文化的一種具體表現(xiàn)。

以上名言的選擇局限于數(shù)學教育方面，沒有涉及一般教育領域。實際上，一般教育名言對數(shù)學教育的影響也不可低估。比如，奧蘇貝爾指出：“假如讓我把全部教育心理學僅僅歸結為一條原理的話，那么，我將一言以蔽之曰：影響學習唯一最重要的因素，就是學習者已經知道了什么。要探明這一點，并應據(jù)此進行教學。”此外，還有一些數(shù)學教育名言對數(shù)學教育具有很大的啟發(fā)性，如李秉彝的“標準是家，不是牢房”，章建躍的“理解數(shù)學，理解學生，理解教學”，單墫的“數(shù)學是思維的科學”，華羅庚的“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學”等。本文不一而足，掛一漏萬。

最后值得一提的是，以上將名言分為課程、教學和學習三類是粗略的。事實上，它們是很難嚴格分類的，尤其是教學名言與學習名言，因為教學的本質就是促進學生學習，而我們又是從教學的角度看待學習問題的。

參考文獻：

[1] 劉洪璐.關于數(shù)學教材中名人名言的編寫思考[J].數(shù)學通訊，2017（4）.

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