橡膠減振墊頻變的CRTSⅢ型板式無砟軌道自振特性分析

孫 旭，趙才友，王 平

(1.高速鐵路線路工程教育部重點實驗室，四川 成都 610031；2.西南交通大學 土木工程學院，四川 成都 610031)

黏彈性材料質量輕、經濟、可靠性高，能夠有效抑制結構振動和降低噪聲水平，在薄板、殼體等構件中已經得到了廣泛應用[1]。在軌道結構的減隔振設計中也多采用增加黏彈性元件，如減振型扣件、阻尼鋼軌、軌枕墊層、道砟墊層等[2]。普通CRTSⅢ型板式無砟軌道主要由鋼軌、扣件、軌道板、自密實混凝土和底座板構成。而減振型CRTSⅢ型板式無砟軌道則在底座板和自密實混凝土之間增加了橡膠減振墊，以降低軌道結構共振頻率，從而起到降低環境振動的效果。已有研究表明[3-5]，橡膠減振墊有顯著隔振作用，鋪設橡膠減振墊后可以明顯減小底座板及其下部結構的振動，但也會增加橡膠減振墊上部的軌道板、鋼軌的振動。

軌道結構計算模型中對橡膠黏彈性材料的動態特性大多進行常量化處理，而橡膠黏彈性材料的動參數具有明顯的頻率依賴性[6-7]，為了更準確地預測軌道結構的動力學響應和優化結構性能，國內外已經開展了對扣件膠墊動態特性及其對軌道結構系統影響的研究。Wei等[8]采用車輛-軌道垂向耦合系統動力計算模型分析了頻變、幅變扣件膠墊特性下的時域響應，研究表明扣件膠墊的頻變特性能明顯增大輪軌間相互作用，增大輪重減載率。采用頻變剛度的扣件膠墊分析鋼軌的垂向自由振動，能夠提高鋼軌垂向敏感共振頻率及其振型的預測精度[9]。Oregui等[10]通過力錘試驗研究了有砟軌道結構的動力特性，指出計算模型采用頻變剛度的扣件膠墊可以更好的符合試驗模態頻率和振型。

目前對于減振型CRTSⅢ無砟軌道的研究多集中于橡膠減振墊采用常量參數來評估其在軌道系統中的減隔振效果，考慮橡膠減振墊頻變特性對軌道結構動力特性的研究鮮見報道。本文首先通過DMA試驗獲得橡膠減振墊試件在200 Hz范圍內隨頻率改變的復模量，然后基于實測的復模量計算得到橡膠減振墊動剛度，最后建立減振型CRTSⅢ板式無砟軌道有限元模型，同時將Winkler彈性地基上四邊自由板的近似解與有限元結果對比，研究橡膠減振墊頻變特性對軌道結構固有頻率和振型影響。

1 橡膠減振墊復剛度試驗研究

采用DMA Q800型動態熱機械分析儀對橡膠減振墊試件進行變頻率動態測試，試驗設定恒溫25.8 ℃，頻率為0.01～200 Hz，步長為4 Hz。試件尺寸為23.9 mm×8.1 mm×2.4 mm，密度為0.98 g/cm3，泊松比為0.44。試件兩端固定夾持進行恒定力下拉伸測試，得到實測的動態模量和損耗因子隨頻率變化曲線，如圖1所示。復模量E*和損耗因子δ計算公式為

(1)

tanδ=E″/E′

(2)

式中：σ*、ε*分別為復數形式的應力和應變；δ為損耗角；儲存模量E′=|E*|cosδ；損耗模量E″=|E*|·sinδ。

圖1 實測橡膠減振墊試件復模量

儲存模量、損耗模量和損耗因子分別反映材料的彈性、黏性和能量損失。由圖1可知，當激振頻率小于41 Hz時，E′、E″ 和δ都較小，且隨頻率變化不大，這時材料表現為高彈性；在41 Hz附近損耗因子δ達到峰值1.12，此時材料的黏性已經超過彈性，能量損失較大，E′也達到峰值；此后，儲存模量E′在70 Hz附近隨頻率的增大而急劇增大，表現為剛性，E′很高，E″ 和δ都很小，且隨頻率變化不大。

相關研究表明[11]，軌道不平順激發的振動，其頻率多在包含輪軌系統同相共振頻率和鋼軌與軌枕反相共振頻率的0～200 Hz低頻段，故本試驗分析的頻率范圍為0.01～200 Hz。此外，由列車移動荷載引起的地面振動頻率范圍為2～200 Hz[12]。可見，對于分析軌道剛度、軌道結構低頻振動以及列車引起的地面振動，選擇0.01～200 Hz頻段較為合理。

2 橡膠減振墊動剛度計算

黏彈性材料的頻變復模量會產生頻變剛度[13]，頻域內黏彈性材料的運動方程可以表示為

[-Mω2+K(ω)(1+jδ(ω))]X(ω)=F(ω)

(3)

式中：ω為角頻率；M為質量矩陣；K(ω)為剛度矩陣；δ(ω)為損耗因子矩陣；X(ω)、F(ω)分別為節點位移列陣和外力列陣的傅里葉變換。

系統動剛度D(ω)為

(4)

系統動剛度與質量、頻變剛度、頻變損耗因子有關，而質量和剛度與結構的幾何尺寸、形狀密切相關，因此動剛度的影響因素較多，為更準確描述黏彈性材料的頻變特性，采用實測的頻變復模量和損耗因子計算橡膠減振墊的動剛度。橡膠減振墊(圖2)為具有特殊的釘柱結構的橡膠層，釘柱呈周期性分布且具有對稱性，柱釘尖端半徑R0=8 mm，柱釘底端半徑R1=28 mm，柱釘高H0=19 mm，覆蓋層長方體邊長B=66 mm，高度H1=10 mm。

圖2 橡膠減振墊示意

將周期性分布的橡膠減振墊簡化為單個釘柱，柱釘覆蓋層長方體周邊施加對稱約束。為分析簡化計算模型邊緣效應的影響，分別建立包含k×k(k=1、3、5、9、11)個柱釘的橡膠減振墊實體有限元模型，以每個模型中心位置處的一個柱釘為研究對象，所有模型的柱釘尖端面施加固定約束，對單個柱釘模型的覆蓋層長方體周邊施加對稱約束，其他模型周邊自由無約束，由此對比分析單個柱釘周邊采用對稱約束邊界條件的影響。采用Comsol Multiphysics進行頻域分析，覆蓋層長方體底面施加垂向的單位面壓力諧波荷載，掃頻范圍為0～200 Hz，X(ω)為研究對象受力面上所有節點垂向位移幅值的平均值。其中包含單個柱釘和3×3個柱釘的橡膠減振墊有限元模型，如圖3所示，計算得到所有模型的動剛度如圖4所示。

圖3 橡膠減振墊有限元模型

圖4 橡膠減振墊動剛度

將各有限元模型分別簡稱為Ck模型，k值越大，則計算模型越接近真實的軌道結構橡膠減振墊尺寸和受力狀態。由圖4可知，在0～74 Hz范圍內各模型的動剛度值相差不大，在74 Hz之后各模型動剛度基本上隨著k值的增大先逐漸減小至C5模型，而后逐漸接近C1模型。若以C1模型動剛度值為基準，C5模型和C11模型與C1模型在各頻率下動剛度的最大差值分別為7.2%、1.8%，而同等條件下C5模型和C11模型的計算時間分別增至C1模型的10倍和80倍。因此，綜合考慮計算效率和精度，采用C1模型計算整個橡膠減振墊的動剛度是合理的。由圖4和圖1對比可知，橡膠減振墊動剛度與儲存模量的變化趨勢比較接近，損耗因子對動剛度影響較小，橡膠減振墊靜剛度為22.0 MPa/m。

3 CRTSⅢ板式無砟軌道自振特性分析

DMA試驗表明，橡膠減振墊的復模量具有明顯的頻變特性。由此計算得出橡膠減振墊的動剛度也隨外部激勵頻率而改變。因此，采用頻變特性橡膠減振墊時，不同激振頻率下橡膠減振墊剛度會有所不同，由此整個軌道結構系統的動力特性也會隨之改變。為探究橡膠減振墊頻變特性對軌道結構系統的固有頻率和振型的影響，計算橡膠減振墊采用常量參數(0 Hz處取值)和頻變參數兩種工況，其中常量參數的損耗因子采用圖1中實測損耗因子的初始值0.15；頻變參數的動剛度采用C1模型計算的參數，損耗因子采用圖1中的實測值。

3.1 CRTSⅢ型板式無砟軌道有限元模型

CRTSⅢ型板式無砟軌道采用預制軌道板結構，以“路基縱連、橋上單元”的基本原則為總體設計思路[14]。路基上板間用預應力鋼棒或普通鎖扣連接，支承在素混凝土支承層上；橋梁上和隧道內軌道板為單元板，板間無連接，支承在鋼筋混凝土底座。考慮單元軌道板的下部結構(橋面板和隧道仰拱)剛度較大，將其簡化為剛性面。因此，根據減振型CRTSⅢ型板式無砟軌道特點進行合理簡化，建立有限元模型，如圖5所示。其中，軌道板和自密實混凝土形成緊密連接的“復合板”結構，均采用實體單元模擬，不考慮鋼軌和扣件系統，并忽略自密實混凝土的限位凸臺。橡膠減振墊采用面彈簧-材料阻尼單元。考慮一塊單元板長度，單元板四邊自由無約束。模型主要計算參數見表1。

圖5 CRTSⅢ型板式無砟軌道有限元模型

表1 有限元模型主要計算參數

3.2 計算模態分析

3.2.1 固有頻率和振型

Comsol Multiphysics采用隱式重啟動Arnoldi算法求解廣義復特征值問題。有限元模型只采用了垂向的計算參數，因此只提取軌道結構可出現垂向分量的振動，忽略橫向、縱向平動和水平面轉動的整體振動。計算200 Hz內的固有頻率和振型，其中橡膠減振墊采用常量工況時軌道結構前6階固有頻率和振型，如圖6所示。

圖6 前6階模態頻率和振型

前3階為整體振動，分別為垂向平動、縱向轉動和橫向轉動。對于彈性模態，設m、n分別代表陣型縱向、橫向的1/4正弦函數波，則第4、5、6階振型分別用(m=2、n=0)，(m=1、n=1)，(m=4、n=0)表示。當橡膠減振墊采用頻變參數時，軌道結構的固有頻率也將隨著橡膠減振墊受到的激振頻率的變化而改變。頻變條件下軌道結構前6階固有頻率隨激振頻率的關系曲線如圖7所示。

圖7 軌道結構固有頻率隨激勵頻率的影響曲線

為便于觀察對比，將橡膠減振墊動剛度隨激振頻率的變化一起繪于圖7。從整體趨勢看，軌道結構各階固有頻率與橡膠減振墊動剛度變化趨勢相近，但橡膠減振墊頻變對整體振動和彈性模態固有頻率的影響不同。前三階整體振動固有頻率與橡膠減振墊動剛度呈正相關，變化趨勢相近。而彈性模態，即板的彎曲模態受橡膠減振墊動剛度的影響較小，并且隨著軌道結構模態階數的提高其影響越小。各階模態振型則不受橡膠減振墊頻變的影響，仍與圖6中的規律一致，這在3.3節中的彈性地基上四邊自由板的近似解中表現更明顯。

3.2.2 橡膠減振墊頻變時的敏感共振頻率和振型

文獻[9]研究鋼軌-扣件系統時提出的扣件膠墊頻變剛度下敏感共振頻率概念，軌道板-橡膠減振墊系統可以參考。當橡膠減振墊動參數頻變時，亦即橡膠減振墊動參數隨著外激勵荷載頻率的變化而改變時，軌道結構固有頻率也將與外部激振頻率相關。若外部激振頻率為fi時，橡膠減振墊動剛度為ki，損耗因子為δi，在此參數下可計算出軌道板-橡膠減振墊系統的一組n階固有頻率。當其中的某階固有頻率與外部激振頻率一致時，該階固有頻率為敏感共振頻率，其對應的振型為敏感共振振型。據此采用Comsol Multiphysics參數化掃描方式，求解與激勵頻率fi臨近的幾階固有頻率，找到與激勵頻率一致的固有頻率和對應的振型，計算流程如圖8所示。

圖8 頻變參數下軌道結構敏感共振頻率計算流程圖

由圖8計算流程可以得到橡膠減振墊頻變工況下軌道板在200 Hz內的敏感共振頻率，如圖9所示。通常阻尼對結構固有頻率影響較小，而橡膠減振墊頻變剛度值均大于靜剛度值(圖4)，因此相同模態階次軌道結構的固有頻率在頻變工況時大于常量工況。頻變工況下并非每階都有軌道結構敏感共振頻率，在本文計算參數和容差范圍內，軌道結構第3階橫向整體轉動和第11階(m=1,n=2)彎曲模態沒有敏感共振頻率和振型。

圖9 軌道結構敏感共振頻率

3.3 彈性地基上四邊自由板的振動

將橡膠減振墊視為Winkler彈性地基，上述有限元模型可以轉化為彈性地基上四邊自由板的振動問題。軌道板和自密實混凝土組成的“復合板”厚度h=0.29 m，板寬b=2.5 m，h/b<1/8，可以采用薄板理論[15]。目前，針對四邊自由矩形板的振型函數和固有頻率精確解研究相對較少，難以找到既滿足平板彎曲控制方程又滿足自由邊界條件的振型函數表達式。目前的處理方法大多為尋找振型函數的近似解[16]。本文采用雙向梁函數組合法[17]求解彈性地基上四邊自由矩形板的自由振動問題。梁函數組合法實質上為里茲法的一種具體應用，雖然為近似解，但方法簡單，適用一般性邊界條件，且在較少的項數下即能達到足夠精度。Winkler彈性地基上板橫向自由振動的微分方程為

(5)

(6)

式中：w為位移；D為板的彎曲剛度；ks為基床系數；ρ為板的質量密度；E為板的彈性模量；ν為泊松比。

相應的陣型方程為

(7)

(8)

固有頻率為

(9)

彈性地基板的振型方程和邊界條件不變，因此彈性地基上板的振型完全同無地基板。梁函數組合法的具體計算過程可參考文獻[17]，據此方法采用Matlab軟件編制彈性地基上四邊自由矩形板的自由振動程序，采用與上述有限元模型相同的計算參數，與有限元計算結果進行對比。圖10為由梁函數組合法計算得到的第2階縱向整體轉動和第4階彈性模態固有頻率近似解與橡膠減振墊動剛度變化關系的曲線。圖11為對應的歸一化振型。

圖10 軌道結構固有頻率近似解

圖11 梁函數組合法的軌道結構歸一化陣型

4 結論

本文基于DMA實測復模量計算了橡膠減振墊的動剛度，建立了減振型CRTSⅢ板式無砟軌道模型，研究了橡膠減振墊頻變特性對軌道結構固有頻率和振型的影響，并采用近似解驗證了有限元模型的正確性，得到如下主要結論：

(1)橡膠減振墊試件DMA試驗表明，在41 Hz附近損耗因子達到峰值，能量損失較大，隨后儲存模量發生顯著提高，這直接導致橡膠減振墊動剛度隨儲存模量產生較大變化。

(2)有限元模型和梁函數組合法近似解對比結果都表明，橡膠減振墊動剛度對板的整體振動和彈性模態固有頻率的影響是不同的。整體振動固有頻率與橡膠減振墊動剛度平方根成正比。橡膠減振墊動剛度越小，模態階數越高，則板的彎曲模態受橡膠減振墊動剛度的影響越小。各階模態振型則不受橡膠減振墊頻變的影響。

(3)將敏感共振頻率和振型概念應用于軌道板-橡膠減振墊系統，頻變下軌道結構并非每階都有敏感共振頻率和振型，常量工況下軌道結構第3階橫向整體轉動和第11階(m=1,n=2)彎曲模態在頻變工況則沒有出現敏感共振頻率和振型。

(4)軌道結構含有黏彈性部件時，建議考慮其頻率依賴特性以提高結構動態特性預測精度。