面向追蹤間隔壓縮的高速鐵路列車運行時空軌跡優化

魯工圓，王超宇，沈子力，李 力，張守帥，彭其淵

(1.西南交通大學 交通運輸與物流學院，四川 成都 610031；2.西南交通大學 綜合交通運輸智能化國家地方聯合工程實驗室，四川 成都 610031；3.廣州地鐵設計研究院股份有限公司，廣東 廣州 510000)

追蹤間隔時間是影響高速鐵路(以下簡稱“高鐵”)通過能力的重要因素，也是計算線路通過能力的重要參數[1-2]。其中到達間隔時間是各類追蹤間隔時間的瓶頸[2]，受到列車性能、通信信號設備性能、線路條件、區間運行速度的影響。研究如何壓縮高鐵列車追蹤間隔時間，對提高高鐵運營組織效率具有重要意義。在各種追蹤間隔壓縮措施中，設備改造的成本大、周期長；而運用行車組織的方法，在區間采用合理的速度控制措施干預列車運行速度曲線能夠以很小的經濟成本達到縮短到達間隔時間的目的，但將延長區間運行時分[3]。而如何通過運行過程干預措施在盡量小的區間運行時分代價下，壓縮列車追蹤間隔時間成為亟待解決的重要問題。本文基于運籌學理論研究列車運行時空軌跡優化問題，尋找在壓縮到達間隔時間的同時，盡量少地影響區間運行時分的方法。

國內外專家學者對高鐵列車追蹤間隔時間壓縮問題進行了大量研究，主要從提高列車載運能力、改善線路條件、優化信號機布置、改善閉塞分區及閉塞方式等角度進行。陳榮武等[4]通過限制正線列車的旅行速度及對限速區域進行調整，獲得優化列車追蹤間隔的參數設置方案。荀徑等[5]對城市軌道交通系統中不同閉塞方式的追蹤間隔進行仿真，并得出移動閉塞制式下的追蹤間隔時間最短的結論。劉海東等[6]對高鐵準移動閉塞的鐵路區間信號布置進行優化，并以信號數量最少為目標設計了模型求解的啟發式仿真方法。吳亮等[7]對列車的追蹤間隔時間類型進行分析并通過對動車組追蹤模型的研究，在客運專線信號系統下對高鐵列車在區間追蹤和到達追蹤模型進行優化。石先明[8]分析了我國速度為350 km/h客運專線列車的運行速度、追蹤間隔時間與加減速度及車站咽喉區長度、道岔區長度的關系。楊欣等[9]通過分析列車的追蹤間隔時間得出在追蹤運行的列車沒有速差并且追蹤間隔時間一樣時，高鐵列車的制動性能對列車的追蹤間隔時間的影響很大的結論。王鵬玲等[10]介紹了自適應遺傳算法在列車節能優化中的應用，引入了列車限速防護曲線，修正列車速度曲線，提高遺傳算法可行解比例。魯工圓等[3]通過在接近車站的閉塞分區設置速度控制措施來干預列車運行時空軌跡，從而達到壓縮到達間隔時間的效果。

Gill等[11]通過優化閉塞分區信號機的布局提高線路的通過能力，并對最優的目標速度集采用啟發式梯度算法求解。Takagi[12]采用同步控制的策略，利用移動閉塞列控的便利條件，研究列車最小追蹤間隔，但是這種優化與實現運營場景下的列車追蹤有很大的差異，其優化理論中的運營場景要求所有列車的啟動和制動達到同步才可實現最小追蹤距離。Zhou等[13]通過構造三維時空速度網絡，建立了列車在不同時空分辨率下列車逐秒運動軌跡和離散化時間的統一建模框架，并提出了基于拉格朗日松弛的求解速度/加速度剖面的動態規劃算法。

既有研究少有通過列車運行軌跡優化研究間隔時間壓縮的嘗試，而軌跡優化不依賴于硬件設備改造，在使用成本、實施難度等方面有很大優勢，對于面向追蹤間隔時間壓縮的列車運行軌跡優化問題來說，面臨著追蹤間隔時間的壓縮需求和區間運行時間保障兩方面的挑戰。

1 問題描述

高鐵列車追蹤間隔時間I是指高鐵在運用調度集中(Centralized Traffic Control, CTC)行車指揮方式及CTCS-2/3級列車控制系統，以車載信號作為行車憑證，按一次連續速度模式曲線監控高速列車運行條件下，自動閉塞區間內同一方向追蹤運行的兩列高速列車間的最小間隔時間[1-2]。為找出使得追蹤間隔時間足夠小且區間運行時間最短的最優列車軌跡，將該軌跡優化問題描述為：在給定準移動閉塞區間的線路條件信息、列車牽引制動性能參數、列控參數、信聯閉設備作業時間參數等條件基礎上，在高鐵列車安全追蹤運行和追蹤間隔時間的嚴格約束下，求解使區間運行時分最短的列車速度-距離-時間曲線。

問題的已知條件包括：

(1)動車組 牽引力曲線、列控制動曲線、列車長度、最高運行速度。

(2)線路條件 線路中的坡度、曲線、區間限速情況以及閉塞分區劃分，線路最大允許速度。

(3)運行過程 在分析列車運行過程時，為了聚焦問題，將列車運行起點設于出發站一離去閉塞分區信號機，不考慮出發間隔時間限制；終點位于前方站進站信號機，考慮允許進站速度，不考慮接車進路的具體占用過程。

(4)追蹤過程 在準移動閉塞制式下，為使列車時空最優軌跡適用于多列列車連續追蹤的場景，假設前后兩列車的時空運行軌跡保持一致。

2 問題主要變量與軌跡解

主要決策變量見表1。

表1 主要決策變量表

圖1 列車時空軌跡相關的變量設置示意圖

3 面向追蹤間隔時間壓縮的列車運行時空軌跡優化模型

基于上述變量設置，構建追蹤間隔時間約束下以區間運行時間最短為目標的列車運行時空軌跡優化模型。為保證計算結果的可行性，模型構建考慮了列車運動過程、準移動閉塞規則、線路限速、變量一致性約束等，其中，列車追蹤間隔時間以約束條件形式納入模型，規定列車運行過程中允許的前后列車最大間隔時間。

(1)列車運動過程約束

任意高鐵列車的車輛運行必須符合以下運動學約束：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

列車運行過程中受線路條件影響產生的附加阻力由式(6)描述。

根據高鐵牽引計算模型[14]，列車在區間線路上運行時加速度、減速度的理論最大值可以表示為其牽引加速度、制動減速度、速度與線路條件的函數。基于式 (4)～式 (6)，式 (7)、式 (8)分別給出了每個時刻列車的最大加速度與減速度。

(2)準移動閉塞規則

在準移動閉塞條件下，后行列車的打靶點應保持在前行列車所在閉塞分區起點之前，在前行列車出清所在閉塞分區n并占用閉塞分區n+1后，后行列車的打靶點方可越過閉塞分區n的起點，但仍需保持在閉塞分區n+1起點之前。從而保證前后列車間距始終大于后行列車的制動距離，確保行車安全。該規則由下述約束條件表達。

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式中：dn為編號n的閉塞分區起點在區間線路中的對應里程；Tk為列車司機開始制動到列車制動力完全生效所需的空走時間；lc為列車編組長度；M為一足夠大的正數；TZ為前行列車到達車站進站信號機至信號機再次為后行列車開放的信號再開放時間，由前行列車占用與解鎖進路、道岔轉換、信號機開放、CTC輪詢等組成，是影響列車到達間隔時間的重要因素之一[3]。

圖2 不同線路坡度對CRH380BL型動車組制動距離影響

(3)線路限速約束

由于含有長大下坡、小半徑曲線、隧道、涵洞、橋梁等的區間線路會對列車高速運行產生安全隱患，高速鐵路列車在區間中追蹤運行除了需要遵循準移動閉塞規則外，還應保證運行過程中符合區間限速、道岔限速的約束。

(15)

(16)

(4)列車追蹤間隔約束

為保證所計算列車運行軌跡能夠可循環的執行，模型要求前后車的運行軌跡相同，同時前后列車的尾部到達相同位置的時間應滿足嚴格的列車追蹤間隔時間Ic要求。

(17)

(18)

在準移動閉塞規則下，列車追蹤間隔時間即為前后列車進入模型的時差。式(18)嚴格要求前行列車在時刻t到達某位置后，后行列車c在時刻t+Ic方能到達該位置，即任意時刻應該滿足列車追蹤間隔時間要求。

(5)變量一致性約束

列車運動過程約束規定了建立在基礎物理規則上的多個變量，這些變量構建了一個依賴于離散化時空網絡的可行的列車運行軌跡。但是它們在數學意義上是相互獨立的，為此，需要對變量進行整合，以保證不同的變量能夠描述相同列車的軌跡。

(19)

(20)

(21)

式 (19)、式 (20)將列車運行過程中每個時刻的實際位置分配到唯一對應的離散化時空網格中。約束式 (21)保證列車必須遍歷所有分段，以確保時空網絡的完整性和穩定性。

此外，為完善模型的構建，設置模型初始值和終值為

(22)

(23)

(24)

式 (22)、式 (23)給定第一輛列車進入模型的初速度和起始位置；式 (24)則確保每一列車都運行通過整條線路。

(6)目標函數

列車運行軌跡優化模型的目標為最小化區間運行時分，每列車在區間的運行時間可以通過列車運行軌跡解進行判斷，本模型的目標函數，即列車的區間運行時間為

(25)

(7)面向追蹤間隔時間壓縮的列車時空運行軌跡優化模型

基于上述約束條件與目標函數，可形成面向追蹤間隔時間壓縮的列車時空運行軌跡優化模型為

目標函數：式(25)

s.t. 列車運動過程約束：式(1)～式(8)

準移動閉塞規則：式(9)～式(14)

線路限速約束：式(15)～式(16)

列車追蹤運行約束：式(17)～式(18)

變量一致性約束：式(19)～式(21)

初始值/終值：式(22)～式(24)

該模型不含非線性項，屬于混合整數線性規劃模型，能夠使用商業求解器進行求解。

(8)模型誤差分析

為降低模型解的搜索復雜度、提升模型求解效率，本文構建了基于離散化時空網絡的列車運動模型。該模型利用平均速度計劃變速運行的列車運動距離(約束 (3))會產生與時域離散化步長τ及列車當前加速度相關的系統誤差。

以下文算例實驗為例進行模型誤差分析，選取時間精度τ=5 s，若采取最大牽引加速度a+=0.4 m/s2，則在一個時間步長內產生的偏差值Δ為

(26)

對比實驗線路總長(48 km)或動車組編組長度(400 m)，每個時間步長Δ=5 m的偏差值在可接受范圍內。

4 昆山—上海虹橋高鐵列車運行軌跡優化算例實驗

以京滬線昆山南站京滬場—上海虹橋高速場下行方向為例進行算例實驗，實驗目的：①驗證所提出模型的有效性;②通過實驗分析線路條件以及進站信號再開放時間對列車到達間隔時間的影響。算例實驗分為3部分：①在給定線路條件、列車性能參數條件下，計算不同列車追蹤間隔I要求下的最短區間運行時間；②研究進站信號再開放時間TZ與列車到達追蹤間隔時間的關系；③分析線路條件對列車追蹤間隔時間的影響。

算例實驗已知條件如下，高鐵線路起點為昆山南站一離去閉塞分區的信號機，終點為上海虹橋高速場進站信號機，線路總長為48.06 km；線路坡道、曲線、限速見表2～表4；線路最大允許速度Vmax=325 km/h。實驗統一采用CRH380BL型動車組，列車牽引質量1 000 t，8動8拖。列車最大牽引加速度a+=0.4 m/s2, 列車制動空走時間Tk=3 s，車站咽喉區最大允許速度Vd=80 km/h。時間精度τ=5 s、空間精度ε=500 m、問題時間域為[0，1 000]s。所有實驗都在運行Windows 10的Intel工作站上進行，核心為6線程3.2 GHz處理器、32 GB內存，由CPLEX 12.9實現。部分主要線路條件見表2～表4。

表2 線路限速

表3 線路主要坡道

表4 線路曲線

4.1 昆山南—上海虹橋區間的列車運行軌跡優化實驗

本文所提出模型在固定的追蹤間隔時間I下求解使區間運行時間最小的列車運行軌跡，本實驗在給定線路曲線限速、坡度影響下，分別以180、175、170、…、 150 s為追蹤間隔時間要求，進行實驗求解列車運行軌跡，實驗編號為1a～1g。7個實驗中，信號再開放時間TZ均設為110 s。

CPLEX在實驗1a～1f中求得了給定追蹤間隔時間下的列車運行軌跡最優解。各實驗得到的列車運行軌跡見圖3。實驗1g未在給定時間(3 600 s)內找到可行解，即無法找到能使追蹤間隔時間達到150 s的列車運行軌跡，各實驗的目標函數值、求解時間見表 5。

表5 算例1實驗結果

從實驗結果可知，當前線路條件下目標區間的列車追蹤間隔時間最小值在150～155 s之間，與文獻[3]仿真實驗結果一致，文獻[3]通過人為增設區間限速使列車在臨近車站時提前制動以實現列車到達追蹤間隔時間壓縮，但是該方法無法統籌考慮區間線路條件與列車整體行駛過程，會付出較大的列車區間運行時間代價。而本文所提出方法在列車追蹤間隔時間從180 s降至160 s過程中，區間運行時間均保持一致，僅在追蹤間隔降至155 s時有10 s區間運行時間增加，說明列車運行時空軌跡優化在追蹤間隔時間約束下達到了縮短區間運行時分的效果。

圖3 列車追蹤間隔時間軌跡解

由圖3可見，后車打靶點位置與前車的距離隨著追蹤間隔時間減少有少量縮短，但一直保持一定距離，未見相互貼合，說明在列車運行軌跡方面有足夠的安全冗余距離。而在實驗1f中前后車的追蹤間隔時間無法進一步縮短，其原因在于除了制動距離之外，前后車還需為信號再開放時間TZ留有充分空間，在實驗1f的最后時刻，TZ的開始和結束點已分別與前車位置和后車緊急制動位置重合，說明列車制動消耗的時間與TZ之和已達前后車追蹤間隔時間允許的最小值，因此在后續實驗中模型無法找出最優解。

由實驗1計算結果可知，在追蹤間隔時間在從180 s下降至160 s過程中，區間運行時間未見增加。該區間在給定條件下，到達間隔時間最多可壓縮至155 s，而此時追蹤間隔時間瓶頸在于信號再開放時間TZ(圖3(f))，即列車進站的到達過程，隨后的實驗將分析信號再開放時間對追蹤間隔時間的具體影響。

4.2 信號再開放時間對追蹤間隔時間的影響

根據實驗1的軌跡解及結論分析，實驗區間到達間隔時間的瓶頸在于較長的進站信號再開放時間(TZ)，該時間主要由前行列車的進路占用及解鎖時間、進路辦理時間、CTC輪詢時間等組成，同時也包括列車整體長度通過進站信號機過程所消耗的時間。在分段解鎖條件下，其值在前后行列車占用不同到發線、占用不同進路的情況下可能不同。因此本實驗旨在通過求解在不同進路辦理時間下列車的最短追蹤間隔時間和對應區間運行時間，分析信號再開放時間對追蹤間隔時間的影響。

本實驗創建算例2a～2 g，每個實驗以時間步長τ為單位逐次降低進路辦理時間，即TZ取值從110 s逐漸降至80 s。對于每一個TZ值進行多次實驗逐漸降低約束中要求的到達間隔時間，取到達間隔最小，且能夠求得最優解的實驗作為有效實驗，記錄對應到達間隔時間數值與區間運行時間。結果見表 6。

表6 實驗2算例結果 s

由表6可知，在信號再開放時間從110 s縮短至80 s過程中，列車到達間隔時間進一步得到了壓縮。當TZ≥90 s(實驗2a～2e)時，隨著TZ減小，最短追蹤間隔時間隨之減小，對應區間運行時間逐步增大，說明縮短信號再開放時間能夠起到進一步壓縮到達間隔時間的作用，該區間到達間隔時間壓縮到145 s及其以下時，需付出一定的區間運行時間代價。當Tk≤90 s(實驗2e～2 g)時，最小追蹤間隔時間及區間運行時間不再產生變化，縮短信號再開放時間措施對追蹤間隔時間壓縮的效果達到瓶頸。

為找出實驗2列車追蹤間隔時間達到瓶頸的原因，對瓶頸狀態下的列車運行軌跡進行分析，實驗2g的列車時間-距離曲線見圖 4。由圖4可見，當TZ=80 s時，后行列車的虛擬打靶點在進站信號再開放時與終點站進站信號機并未重合，到達間隔時間仍有一定冗余(Δt)，說明此時到達追蹤間隔時間已不是追蹤間隔時間瓶頸。前行列車在占用區間中最長的閉塞分區(n=20，d21-d20=7.04 km)的過程中，后行列車必須在進入閉塞分區20之前進行制動以確保其虛擬打靶點始終位于前行列車所在的閉塞分區之外，如圖4中的后行列車在閉塞分區13～15處的制動過程，過長的閉塞分區導致前后列車須保持的間隔距離加大，使得此處的區間追蹤間隔時間成為新的瓶頸。

圖4 實驗2g列車時間-距離曲線

4.3 線路條件對到達間隔時間的影響

表7 算例3實驗結果 s

根據表7中場景2的計算結果，列車追蹤間隔時間在TZ≥90 s(實驗3a～3e)時相較場景1并無變化，而當TZ≤85 s(實驗3f～3 g)時有微量縮減(5 s)。總體來講，不同信號再開放時間TZ下，兩場景下中的最小到達間隔時間差異不大。而兩場景中在最優列車運行軌跡下的區間運行時間相差較多，達25～30 s，由此可見對于本實驗線路，線路條件更多影響的是區間運行時間。

實驗3 g在場景1和場景2下的列車距離-速度曲線見圖5，圖底部為對應場景下以ε為單位進行空間離散化的平均坡度表。除保留區間首尾因連接咽喉區道岔產生的限速要求(式 (16))外，場景2實驗取消了低于允許速度的區間限速及所有坡度和曲線。

圖5 實驗3g距離-速度曲線

綜上，在取消坡度、曲線參數后，列車的速度曲線更加平緩；而取消區間限速可以使列車更長時間全速行駛，壓縮區間運行時間效果明顯。在追蹤間隔時間壓縮方面，是否取消坡度影響及曲線限速在本算例場景中無顯著影響，最小追蹤間隔時間在TZ≤85 s時由135 s減小至130 s。

5 結論

到達間隔時間是高鐵列車追蹤間隔時間壓縮的關鍵瓶頸，為在壓縮到達間隔時間的同時，實現盡量小的區間運行時間，提出了以間隔時間為約束的列車運行時空軌跡優化模型，該模型為混合整數線性規劃模型，能夠使用商業優化軟件求解得到最優解。以京滬高鐵昆山南—上海虹橋下行方向區間線路為例，基于所提出模型進行了數值計算實驗，得到如下結論：

(1)模型能夠在規定的列車追蹤間隔時間要求下，求解得到使得區間運行時間最短的列車運行時空軌跡，在實驗區間到達間隔壓縮到160 s的情況下，不增加區間運行時間，優于以往理論研究結果。

(2)在達到列車最優時空軌跡的基礎上，接車進站過程的信號再開放時間是制約到達間隔時間的重要因素，縮短該參數是壓縮到達間隔時間的有效手段，其途徑包括充分利用分段解鎖、縮短CTC輪詢、加快進路排列及信號轉換時間等。當信號再開放時間壓縮至一定程度時，瓶頸將轉變為區間追蹤間隔時間。

(3)在列車運行時空軌跡得到優化的情況下，高鐵線路條件，如線路曲線、坡度、限速等，更多影響列車區間運行時間，對列車追蹤間隔時間雖有影響，但并不顯著。

(4)面向追蹤間隔時間壓縮的列車運行軌跡優化方法能夠消除動車駕駛習慣、牽引計算邏輯等方面差異性的干擾，得到最優列車運行軌跡進行追蹤間隔時間壓縮措施研究，具有更高的可靠性。

由于本文所述方法采用了時間與空間雙方面離散化、加減速度分段函數的方法來保證模型的線性特征，以便求得最優解，未來研究工作將在本文所得到的5 s精度列車最優軌跡的基礎上，進一步研究如何在保證運行軌跡最優的基礎上提高模型與方法精度。此外，將在后續研究過程中發掘在不同線路條件時，給定追蹤間隔時間參數下的列車運行時空最優軌跡的普適規律。將列車時空優化軌跡的變化規律提煉為指導實踐的方法并在真實場景中有效應用，也是接下來研究工作的重要內容。