三角形“五心”的坐標公式

甘志國

(北京豐臺二中 100071)

三角形的重心坐標公式是大家熟知的(見以下定理1)，但筆者再解決有些問題時，還需知道三角形的外心、內心、垂心、旁心(它們和重心統稱為三角形的“五心”)的坐標公式.比如，可以證明質線三角形(該三角形的質量均勻地分布在其三邊上)的重心是其各中位線組成的三角形的內心.所以，本文給出三角形“五心”的坐標公式.

證法1可得邊AB的中垂線方程是

(x-x1)2+(y-y1)2=(x-x2)2+(y-y2)2

①

同理可得邊AC的中垂線方程是

②

用行列式法解①②組成的二元一次方程組，得到的解就是△ABC外心Ω的坐標(因為任意三角形的外心存在且唯一，所以此方程組的解也存在且唯一)，通過解方程組可得：

從而可得欲證成立.

證法2可證△ABC外接圓的方程(可見盛祥耀，葛嚴麟，胡金得，張元德編《高等數學輔導(下冊)》(1983年清華大學出版社)第17頁第7.7題)

再用配方法可得欲證結論成立.

證明可得邊AB上的高所在直線的方程是

(x1-x2)x+(y1-y2)y=(x1-x2)x3+(y1-y2)y3

③

(因為易知該直線與AB垂直，且過點C(x3,y3).)

同理可得邊AC上的高所在直線的方程是

(x1-x3)x+(y1-y3)y=(x1-x3)x2+(y1-y3)y2

④

用行列式法解③④組成的二元一次方程組，得到的解就是△ABC垂心H的坐標(因為任意三角形的外心存在且唯一，所以此方程組的解也存在且唯一),通過解方程組可得：

([(x1-x2)x3+(y1-y2)y3](y1-y3)-[(x1-x3)x2+(y1-y3)y2](y1-y2)/[(x1-x2)(1-y3)-(x1-x3)(y1-y2)]，(x1-x2)[(x1-x3)x2+(y1-y3)y2]-(x1-x3)[(x1-x2)x3+(y1-y2)y3]/[(x1-x2)(y1-y3)-(x1-x3)(y1-y2)])

從而可得欲證結論成立.

如圖1，設AI交BC于D，連結BI,CI.

圖1

注貴刊發表的文獻[1]也給出了定理4.

(1)當c>a時，如圖2，可證△ABC的∠ABC外角的平分線與邊AC的延長線一定相交(設交點為D)：即證∠CBD<∠ACB，也即2∠CBD<2∠ACB.

180°-∠ABC<2(180°-∠ABC-∠BAC),

2∠BAC<180°-∠ABC,

∠BAC<180°-∠ABC-∠BAC,

∠BAC<∠ACB,∴c>a.

所以欲證結論成立.