基于點集貝塞爾曲線優化的激光振鏡加工算法

沈志飛，劉曉東，費錫磊，康 愷

(華中科技大學 激光加工國家工程研究中心，武漢 430074)

引 言

激光憑借著方向性好、亮度高、單色性好、相干性高等特點，在加工領域有著廣泛的應用，包括激光切割、激光打孔、激光焊接、激光標刻等[1-3]。激光振鏡加工利用高能量密度激光束與材料的作用，結合高速轉動的振鏡[4]進行光束路徑進行規劃，極大提高打標速度和定位精度，成為激光打標、激光內雕、激光打孔等主要技術手段。

激光振鏡加工輸入圖形可為位圖或矢量圖，位圖一般通過二值化[5]后，根據像素值0或1，進行點陣掃描；矢量圖則是通過路徑信息，輸出圖像的輪廓，具有更高的分辨率和無放大失真等特點[6]。PLT文件[7]是激光矢量加工中常用的交互圖形文件，由于其結構簡潔，處理效率高，被廣泛運用于激光振鏡加工領域中。但另一方面，由于數據全為線段點集，只能根據標刻幅面進行等比例放大取整，輸出缺少靈活性:當放大比例較小時，高密集數據點集的標刻步距很小甚至為0，數據點過多上位機數據發送速率與振鏡速率不匹配，激光在某一點停滯時間過長，導致激光燒蝕[8]；放大比例較大時，相應的標刻步距變大，稀疏數據點集線段化明顯，標刻精度和質量降低。貝塞爾曲線作為計算機圖形學中常用參量曲線，通過改變參量t增量控制標刻步距大小，可適應各種標刻放大比例，具有更高的標刻精度和質量[9],并且存儲形式為貝塞爾曲線的文件具有數據量更小、放縮不變等優點。所以將線段點集擬合成少量控制點的貝塞爾曲線可解決加工PLT文件中點集分布過于密集或稀疏的問題。

點集擬合成B樣條[10]或非均勻有理B樣條曲線(non-uniform rational B-splines,NURBS)[11]，最常用的方法是漸進迭代逼近法(progressive iterative approximation,PIA)[12]，在點集中根據曲率大小選取主特征點，將其作為控制點并根據生成的曲線與點集誤差進行控制點迭代，最終達到誤差要求。但PIA迭代計算量大，當擬合誤差要求較小時，迭代次數大，添加的控制點多，后面由曲線計算標刻路徑更加復雜，并且矢量文件中曲線類型多為3階貝塞爾曲線，表達更加簡易。Potrace算法[13-14]可以將位圖經過二值化、輪廓提取[15]、最優多邊形和光滑處理，轉換成只有直線和3階貝塞爾曲線的矢量圖，可用來消除放大位圖帶來的鋸齒效應，但其不適用點集擬合曲線，具有較大擬合誤差。因此，為了解決密集點集在激光振鏡加工中由于放大比例差異引起的激光燒蝕及鋸齒化問題，作者設計出三角二分法用于點集的曲線擬合，將點集轉成由直線和貝塞爾曲線組成的控制點集，再根據標刻放大比例進行統一的步距規劃，減少數據量的同時保證標刻的精度和質量。

1 數據點集優化方案

PLT文件繪圖結果可看成由多個實體組成，每個實體則是由閉合多邊形組成[16]，即點集。每個實體都會通過圖1中的算法流程進行處理，首先對點集進行稀疏化，拋棄一些重復點及位于同一直線上的點，簡化后，通過計算相鄰線段的偏轉角找出連續的曲線點集，并對曲線進行適當分割，使其偏轉角不大于90°，對每段曲線使用三角二分進行貝塞爾曲線擬合，最終生成僅由控制點表示的包含曲線及少部分直線的實體[17]。

Fig.1 Scheme of point set optimization

2 點集分類

如圖2所示，為初始點集，分布密集且不均勻，短線段可以合并成更長的線段。首先使用盡可能少的直線來替代直線點集，再在簡化點集中找到曲線點集。

Fig.2 The process of point set fitting a—original point set b—point set thinning c—point set split d—final fitted curve

2.1 直線稀疏化

在保證轉換精度前提下，盡可能將點集使用更少的直線替代。如圖3所示，現假設直線P1Qi-1在滿足轉換精度條件下可替代P1和Qi-1之間所有的點，下一點為P2，分析直線P1P2是否可以替代P1Qi-1。首先直線P1P2表達式為：

Fig.3 Line thinning

(1)

依次計算P1和P2之間的點Qi到直線P1P2的距離d：

(2)

Qj(1≤j≤i-1)到P1P2的最大距離dmax即該點集用直線擬合的最大誤差，假設直線擬合的允許誤差為εline,分為兩種情況：當最大誤差小于εline時，點集P1～P2間的點可用直線P1P2代替，取P2后一點作為新的P2，重復以上流程；當誤差大于εline時，P2無法與前面點集共直線，P1Qi-1為滿足誤差的最長擬合直線，可將P1Qi-1的點全部去除，并將點Qi-1和P2作為下一點集，取P2后一點作為P2，Qi-1則作為點集起始點P1重復以上流程。

如圖2b所示，εline=0.02pixel，通過將每一個封閉點集進行直線稀疏化，減少了直線點集中間的點及一些曲線點集相離很近且接近于直線的點，便于后面對直線進行統一的步距規劃。

2.2 曲線點集選取及分段

便于后續的求解，選用3階貝塞爾曲線，有4個控制點，所以對于擬合的點集來說，點個數不小于4才能對點集簡化。如圖4a所示,假設點P0,P1,P2屬于曲線點集，判斷P3是否屬于曲線點集。由向量公式：

(3)

Fig.4 Curve point set criterion and segmentation

為了便于控制曲線形狀，將連續的曲線點集進行分段，保證每一段的拐角都小于90°，首尾控制點切線連線可構成三角形包裹整個曲線點集，如圖4c所示,P1作為起始點，PN作為終點，兩點切向向量夾角θ<π/2，兩點間點集作為貝塞爾曲線擬合的基本單位，再將PN作為起點，尋找下一終點。連續曲線點集的最終剩下的若干點，若點個數小于4，則直接歸于前一段點集，否則作為新的一段。如圖2c所示,紅色點為分段曲線分界點，可看出每段曲線點集角度偏轉不超過90°。

3 三角二分法曲線擬合

由于前面的曲線點集的分段保證了首尾點的夾角不會超過90°，且貝塞爾曲線的首尾控制點正好為曲線上的點，折線與曲線相切。根據這一特性，通過求取估算點集兩端切線，兩切線相較于點Q，B1和BN即為控制點P0和P3,且P1和P2分別位于切線B1Q和BNQ上，所以如何調整P1和P2的位置得到的擬合曲線與點集間的誤差最小，算法流程見下。

Fig.5 Triangular dichotomy

點P1和P2在三角形邊上的位置參量，范圍為0～1，由二分法求取，t初始左邊界為tleft=0(P1P2對應P0P3),初始右邊界為tright=1(P1P2對應Q)，求出兩條貝塞爾曲線C1和C2，根據兩點距離最小值求出每個點對應在貝塞爾曲線上的位置，距離即為單點絕對誤差ei，并得到單點誤差最大值emax。原始點集將三角形一分為二，擬合曲線位于上半部分時，實際誤差εi=-ei,擬合曲線位于下半部分時,實際誤差εi=ei。

(4)

式中，εi為每點的實際誤差，εsum為所有擬合點實際誤差的和。

假設εsum最大允許誤差為εs,若abs(εsum)<εs,跳到步驟(3);不滿足則到步驟(2)。

(2)tleft對應的誤差和εsum,C1>0,tright對應的誤差和εsum,C2<0,由二分法求出中間位置參量tmid=(tleft+tright)/2=0.5,P1和P2位置在QP0和QP3中點，C3即為新的曲線，求出abs(εsum,C3)>εs且εsum,C3>0，則tmid替代tleft，求取下一個tmid，直到滿足abs(εsum)<εs。

(3)如圖5b所示,C為第1次滿足條件的貝塞爾曲線。假設單點所允許的最大誤差為eper,若emax

經過上述步驟，可將點集中所有點的誤差控制在eper以下，擬合成3階貝塞爾曲線，如圖2d所示，紅色控制點計算得到的黑色曲線與初始點集的最大誤差不超過0.02pixel，并且可根據實際加工誤差需求進行換算調整當前誤差值。

4 貝塞爾曲線輸出

經過上述兩個步驟，線段點集擬合成僅由直線和貝塞爾曲線組合成的實體，根據不同的標刻分辨率，采用不同的步距進行統一分割。除此之外，經過曲線化后，具備了另一個性質，即曲率。如圖6a所示，在選擇下一個插入點Ti時，計算TiTi-1中點P與貝塞爾曲線上兩點的參量t的中點T的距離，作為誤差值δ[18]：

(5)

式中,ui為對應點的貝塞爾參量值，中間值u=(ui-1+

Fig.6 Chord height error segmentation a—schematic diagram of chord height error segmentation b—segmentation diagram c—marking points at low magnification times d—marking points at high magnification times

ui)/2，P通過n階貝塞爾曲線公式[19]計算:

(6)

式中，bj為控制點。

經過迭代計算使得最終誤差δ滿足需求，如圖6b所示，對于曲率大的位置，同一誤差會求出更小的步距，最終完成實體中所有曲線和直線的插補[20]。將數據以曲線方式保存，標刻時根據放大比例大小、曲率大小以不同步距進行適應性插補，圖6c和圖6d中分別是低高放大倍數下的選取的標刻點。

5 實驗結果與分析

振鏡標刻幅面大小110mm×110mm，對應的分辨率65535×65535，以圖2a和圖2d作為輸入，激光參量為：頻率50kHz，平均功率20W，標刻速率500mm/s，分別在36×和72×放大倍數下在黑色相紙上進行標刻，1pixel對應實際加工距離分別為0.06mm和0.12mm，故0.02pixel的擬合誤差換算成加工幅面下實際誤差分別約為1μm和2μm，其中擬合曲線的標刻點在圖6中計算得出。使用工業相機下進行觀察，如圖7a所示，在低放大倍數下，原始點由于分布過密，導致在對應標刻點出現了激光燒蝕現象，標刻線為黃色，且刻蝕線變粗，在圖7c中，則是在高放大倍數下加工，放大后相鄰點間距變大，燒蝕現象有所減輕，但仍然存在。圖7b和圖7d中，擬合控制點在低、高放大倍數下，標刻點都會進行適應性分布，沒有出現激光燒蝕或者鋸齒現象，標刻線均勻，都具有良好的標刻效果。

Fig.7 Image which marked by original point set and fitted control points at different resolutions

表1中分別從標刻點數、加工時間、加工質量和有無激光燒蝕等方面對4組數據及標刻圖作出對比。擬合誤差不超過2μm，并且在不同分辨率下標刻點隨之改變，保證標刻質量，解決了由數據點過密引起的激光燒蝕問題，也一定程度上減少了加工時間。

Table 1 Comparison of marking quality between original point set and fitted control points at different magnification

6 結 論

針對振鏡激光加工中原始數據點集過密造成激光燒蝕的問題，提出了一種將原始點集經過稀疏化、曲線點集選取分段、三角二分貝塞爾曲線擬合生成曲線控制點集，在加工時根據放大倍數大小和曲率大小進行適應性分割的方法，擬合后的加工誤差不超過2μm，數據量大幅度壓縮，解決了低放大倍數下激光燒蝕問題，高放大倍數下也保證了加工質量，并提高了加工效率。研究結果為一些高密集數據激光加工優化提供了參考。