HPM視角下“字母表示數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)

吳曉瓊

摘要：HPM是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的簡(jiǎn)稱。字母表示數(shù)的發(fā)展經(jīng)歷了三個(gè)階段，修辭代數(shù)、縮略代數(shù)、符號(hào)代數(shù)，是從算式過渡到代數(shù)的標(biāo)志，本設(shè)計(jì)從數(shù)學(xué)史的角度出發(fā)，對(duì)教學(xué)進(jìn)行重構(gòu)，改善當(dāng)前教學(xué)的不足之處。

關(guān)鍵字：HPM 字母表示數(shù)

教學(xué)內(nèi)容：北師大版四年級(jí)下冊(cè)第61-62頁

教學(xué)目標(biāo)：結(jié)合具體情景，會(huì)用字母表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系;經(jīng)歷探索用字母表示數(shù)的過程，體會(huì)字母表示數(shù)的必要性。

一、情境導(dǎo)入，逐步建構(gòu)

1.?親歷字母表示數(shù)的抽象概括過程

數(shù)青蛙兒歌：1只青蛙4條腿，2只青蛙8條腿……

問題：1只青蛙幾條腿？2只青蛙幾條腿，算式是怎樣？

生：1×4=4，2×4=8。

師依次詢問3只，4只，5只青蛙的腿數(shù)，生依次回答。

師：這幅圖還有幾只青蛙，它的腿數(shù)又是多少呢？

生：無數(shù)只青蛙和無數(shù)條腿。

師：接下來舉行個(gè)比賽，半分鐘的時(shí)間，用算式來表示青蛙的腿數(shù)，要求如下：（1）從第6只青蛙開始寫;（2）只寫算式，不寫答案;（3）算式豎著對(duì)齊。（活動(dòng)一）

問題2：觀察寫的算式，這些算式有什么特點(diǎn)？

生：一個(gè)乘數(shù)是4，另一個(gè)乘數(shù)在不斷的變大。

師：寫得完嗎？為什么？

生：寫不完。因?yàn)榍嗤艿闹粩?shù)不確定，青蛙越來越多。

師：青蛙的腿數(shù)怎么表示呢？用自己喜歡的方法表示在學(xué)習(xí)單上（活動(dòng)二）。

（1）情況一：不知道怎么表達(dá)青蛙的只數(shù)，用文字“無數(shù)”代替。

（2）情況二：用特殊的符號(hào)、圖形，會(huì)發(fā)現(xiàn)寫不完，數(shù)量關(guān)系體現(xiàn)不出來。

（3）情況三：用字母N表示青蛙，用字母B表示腿數(shù)，N×B為青蛙的腿數(shù)，忽略了青蛙的腿數(shù)是確定的4只。N=青蛙，B=腿數(shù)，N×B

（4）情況四：用字母表示青蛙的只數(shù)。n只青蛙n×4條腿

師：你們覺得那種表示方法更好，為什么？

生：字母。字母可以表示未知的青蛙數(shù)，是不確定的，方便快捷地表示出關(guān)系。

【設(shè)計(jì)意圖】活動(dòng)一讓學(xué)生親歷寫不完的過程，急需一種新的表示方法來表示數(shù)量間的關(guān)系。而活動(dòng)二讓學(xué)生用自己喜歡的方式進(jìn)行表達(dá)，學(xué)生的表達(dá)方式也正是字母表示數(shù)的發(fā)展歷程--修辭代數(shù)（文字）、縮略代數(shù)（特殊的符號(hào)）、符號(hào)代數(shù)（字母），通過比較，用字母表示數(shù)更方便簡(jiǎn)潔。

2.?體會(huì)含有字母的式子即表示特定的數(shù)量關(guān)系也表示結(jié)果

師：請(qǐng)問你今年多少歲？生：10歲。

師：老師比你們大17歲，老師多少歲？生：27歲。

師：如何用算式表示？生：10+17。

師：明年你們上五年級(jí)了，老師又多少歲？生：11+17。

師：日子一天天過去，你們每年大一歲，老師也每年大一歲，怎么表示老師與你們之前的年齡關(guān)系呢？

生：可以用字母表示，我們n歲，老師就n+17歲。

師：n是什么意思？生：n是我們的歲數(shù)。

師：是固定的嗎？生：不是，n在變化。

師：這個(gè)式子表示出了老師與你們的年齡差關(guān)系，也就是說含有字母的式子可以表示兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，對(duì)嗎？生：對(duì)！

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生已經(jīng)歷過字母表示數(shù)的過程，因而在這一環(huán)節(jié)由教師的引導(dǎo)可抽象概括出字母可以表示特定的數(shù)量關(guān)系，也再次體會(huì)用字母表示數(shù)的必要性及簡(jiǎn)潔性，滲透函數(shù)思想^[2]。

二、編故事，鞏固建構(gòu)

主角1：5×a

師：接下來，老師給大家?guī)硪粋€(gè)有意思的活動(dòng)----“編故事”。主角1是“5×a”，老師先示范個(gè)例子。（隨意走到學(xué)生的書桌，拿起他的筆），如果一只筆a元，那么5×a就是---

生：5只筆的錢。師：并且還是5只相同的筆的錢。

[學(xué)生活動(dòng)]小組內(nèi)互編故事。師巡堂，引導(dǎo)說出不同的故事主體，如價(jià)錢、人數(shù)、重量等，尋找好故事。

生1：一個(gè)盒子里有a塊巧克力，5個(gè)盒子就有5×a塊巧克力。

生2：我有5本書，每本書都是a元，5本書就是5×a元

生3：一個(gè)教室里有5個(gè)人，5間教室就有5×a個(gè)人……

師：同學(xué)們都說得非常好，這樣的例子說得完嗎？

生：說不完！

師：是的，世界上只要兩個(gè)量之間是有5倍關(guān)系的，都可以用5×a概括進(jìn)來！

主角2：8+b

師：（隨意挑選教室的物體）這本書8元，數(shù)學(xué)書比它貴b元，數(shù)學(xué)書就是---生齊答8+b元，快快開始吧。

生4：我今年b歲，姐姐比我大8對(duì)，姐姐今年8+b歲

生5：我有8只筆，我同桌比我多b只筆，同桌有8+b只筆。

生6：我站在b層樓，媽媽站在比我高8層樓的地方，媽媽站在8+b層樓。

【設(shè)計(jì)意圖】通過前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生已了解可以用字母表示數(shù)，而這一環(huán)節(jié)是為了鞏固建構(gòu)，充分發(fā)揮學(xué)生的想象力，體會(huì)到兩個(gè)量存在倍數(shù)關(guān)系，或特定關(guān)系的，都可以用含有字母的式子來表示。

三、?歷史回溯，介紹字母表示數(shù)的歷史

師：大家把故事說得如此的豐富多彩，接下來老師給大家介紹字母表示數(shù)的歷史吧！

師：在歷史上，人們一開始是用文字表示數(shù)量與數(shù)量之間的關(guān)系的，比如

[課件展示]文字---每個(gè)重量×5，每個(gè)價(jià)錢×5，每班人數(shù)×5。

師：用文字表達(dá)，顯然比字母繁瑣冗長(zhǎng)，因此古希臘的數(shù)學(xué)家丟番圖想到了用特殊的符號(hào)---“縮寫”來表示數(shù)量間的關(guān)系。

[課件展示]特殊的符號(hào)---“縮寫”，丟番圖，并把“重”，“價(jià)”，“人”標(biāo)紅，轉(zhuǎn)化成“z×5”，“j×5”，“r×5”。

師：仿照丟番圖的方法，我們?nèi)∶總€(gè)數(shù)量關(guān)系的首字母，如每個(gè)重量，重量取z，那么價(jià)錢取---j，人數(shù)取---r

師：但是這里的字母都表示特定的意思，不能把j×5和r×5混淆起來，因此這種方法并沒有給數(shù)學(xué)家們研究數(shù)學(xué)帶來便利。一直到了17世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)想，如果把情景中固定的意思去掉的話，不就是5和一個(gè)數(shù)量相乘嗎？

[課件展示]“z×5”，“j×5”，“r×5”，依次變成“□×5”

師：因?yàn)樽帜副硎酒饋砀奖?，韋達(dá)就把“□×5”表示成了“a×5”，這里的字母與□一樣，就是一個(gè)符號(hào)，自從韋達(dá)把字母當(dāng)做符號(hào)使用后，代數(shù)學(xué)得到了快速地發(fā)展，韋達(dá)也被稱為“近代代數(shù)學(xué)之父”。

師：同學(xué)們，你們知道從丟番圖用“縮寫”表示數(shù)一直到韋達(dá)用字母表示數(shù)經(jīng)歷了多長(zhǎng)時(shí)間嗎？

師：經(jīng)歷了一千兩百多年的時(shí)間呢，老師知道同學(xué)們還存在著困惑，別著急，數(shù)學(xué)家們用了上千年才認(rèn)識(shí)字母可以表示數(shù)，我們才用了一節(jié)課呢。

【設(shè)計(jì)意圖】以簡(jiǎn)潔的語言介紹字母表示數(shù)的歷史，修辭代數(shù)---用文字表示，縮略代數(shù)---丟番圖，符號(hào)代數(shù)---韋達(dá)，感受數(shù)學(xué)文化的魅力，豐富情感價(jià)值。

四、?鞏固小結(jié)（略）

參考文獻(xiàn)

[1]汪曉勤，栗小妮.數(shù)學(xué)史與初中數(shù)學(xué)教學(xué)----理論、實(shí)踐與案例[M].華東師范大學(xué)出版社，2019：101-103.

[2]蔡宏圣.數(shù)學(xué)史走進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂：案例與剖析[M].北京：教育科學(xué)出版社，2016：22