種子課：知識是如何被教“活”的

俞正強

我們經常聽到一種說法，叫“學死了”，或者叫“學活了”。到底怎么樣算“學死了”？怎么樣又是“學活了”？今天以“植樹問題”為例，說明這件事情。

一、“學死”：源于套路的僵硬

在數學學習中，前人概括了許多的公式或數量關系式，因此，數學學習便經常有些“套路”。“套路”上手快，不管為什么，不管來龍去脈，按“套路”走容易做對，容易拿分。老師們在講這些“套路”時，經常會說一句話：“不要管它為什么，只記住，這樣做就對了。”

學生在解決“植樹問題”時，通常是按下列流程進行的：

1.仔細讀題，確定是植樹問題。

2.明確是植樹問題三種情況中的哪種情況，寫出相應的數量關系式。

3.將數字代入關系式中，列出算式或方程。

4.計算并寫好答句。

這個解題流程，即我們所說的“套路”。這個“套路”的核心是三種不同情況的關系式：

兩頭種：距離÷間距+1=棵數

兩頭不種：距離÷間距-1=棵數

一頭種一頭不種：距離÷間距=棵數

按照這個套路，學生面對如下題目時會不知所措：

20米距離，5米種一棵樹，共種幾棵樹？

為什么不知所措呢？因為這道題缺乏一個條件：是兩頭種？還是兩頭不種？還是一頭種一頭不種？

因為題目中沒有寫明白，所以學生不知道究竟該用哪個關系式，是加1？還是減1？或是不加不減？

試想，在具體生活中，誰會在布置種樹任務時加一句：“注意，是兩頭都種啊！”

是兩頭種，還是兩頭不種，屬于哪種情況，一定是在具體的環境中的具體應對。對于種樹任務而言，大致要求就兩個：一是要種多長（或多大）的場地，二是樹的間距是多少。

但是，只看這兩個條件，學生是無法解決這個問題的。大概這便是一種“學死”的狀態吧。

這使我想到了我曾經學習開車時的一段經歷。

“倒車入庫”是學習開車、領取駕駛證的一項基本內容。

在學習“倒車入庫”的時候，教練告訴我：你看車蓋上有個白點，是教練特意粘上去的，當這個白點與××對齊時，方向盤就往左打死，然后回正……

我按照這個“法寶”拿到了駕駛證。但是領到駕駛證之后，自己是不敢開車的，生怕出事。為什么？因為離開了考場，車蓋上既無白點，車外也無“某物”，方向盤往左打死的時機基本上無從把握。

所謂“學死”，大概面對的是標準的問題，應對的是標準的方法步驟。離開標準的問題，標準的方法步驟便失去了活力。

進一步討論，現在我在“倒車入庫”的時候憑的是什么？還是那套程序嗎？顯然不是，是自己的一種感覺，我們把這種感覺稱為“車感”。這種“車感”肯定是“活”的狀態，而每個人的“活”的狀態都是從個人的實踐中悟出來的。

有人會說，“學死”有什么關系呢？每一個開車的人最后不都“學活”了嗎？這么說，聽起來似乎十分有道理。事實上，開車這件事情，因為是生活必須，所以不得不開。在不得不開的過程中，每一個開車的人，慢慢地都有自己的琢磨而逐漸“活”過來了，這個“活”過來是由于“生活所迫”。

而植樹問題，一旦“學死”了，學生便會因為混亂而害怕這類問題，逃避這類問題，最后逃避數學。這便是知識學習與生存學習的不同。

所以，那樣的駕駛證學習，盡管不好但無須改善。而我們的知識學習，一定要考量，如何不把知識給“學死”。

二、“學活”：厘清知識的來龍去脈

為有源頭活水來。

“植樹問題”的源頭活水是什么？這個源頭活水是如何流進植樹問題的？又是如何帶著植樹問題流向更寬廣的問題解決的？我們用三次“學以致用”厘清這個問題的來龍去脈。

學用之一：平均分，種樹種在點上的

1.復習

材料：20米，5米分一段，共分幾段？

序一：這個問題怎么解決？

20÷5

序二：為什么用除法解決，而非加法、減法、乘法？

5米一段，5米一段，這是在做一件平均分的事情，所以用除法。

序三：畫成線段圖是怎樣的？

2.新授

（1）種樹種在點上的

材料一：20米，5米種一棵樹，共種幾棵樹？

序一：這個問題怎么解決？

學生通常會爭論，不知是4還是3或是5，主要是不確定屬于三種情況中的哪一種，于是干脆說缺條件，這便是在外面培訓班“學死”的結果。

序二：以材料一的線段圖為例，討論如何種樹。

種樹方案一：

四棵，種樹種在中間，間距5米

種樹方案二：

五棵，種樹種在點上的

種樹方案三：

四棵，種樹種在點上的

序三：三種種樹方案，哪種方案符合20米，5米種一棵？

種樹方案一：

結論：種了15米，5米種一棵，不符合要求。

種樹方案二：

結論：種了20米，5米種一棵，符合要求。

種樹方案三：

結論：種了15米，5米種一棵，不符合要求。

小結：方案二符合要求，一共5棵，種樹種在點上的。

（2）平均分的點數比段數多1

材料：①20米，5米分一段，共分幾段？

②20米，5米種樹一棵，共種幾棵？

序一：這兩個問題的相同點與不同點分別是什么？

相同：這兩個問題本質上都是平均分的問題。

不同：問題①是平均分中的段數，問題②是平均分中的點數。

序二：一段幾個點？兩段幾個點？三段幾個點？

點數比段數多1（段數+1=點數）

（3）植樹問題的解決模型

序一：植樹問題為什么用除法解決？

因為植樹問題本質上是平均分的問題。

序二：植樹問題為什么要在平均分的基礎上+1？

因為植樹是植在點上的，點數比段數多1。

【分析】至此，學生完成了第一次學以致用的經歷。“學”的是二年級的平均分，“用”的是四年級的植樹問題。植樹問題是個生活問題，透過生活問題的表象，我們發現它本質上就是一個平均分的過程，平均分是數學對這類生活問題的把握—因為是平均分問題，所以用除法。

平均分問題帶來兩個元素，點與段。二年級的時候，點與段混淆在平均分中，沒有區別;到了四年級，因為植樹問題，點與段這兩個元素從平均分問題中清晰起來，這個清晰的過程也是學生深化理解平均分的過程。

在第一次學以致用的過程中，形成如下板書：

②20米，5米種一棵樹，? ? ? ? ? ①20米，5米分一段，

共種幾棵？? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?共分幾段？

20÷5=4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?20÷5=4

4+1=5

學用之二：點與段，還有哪些活也是干在點上的？

任務：剛才我們研究后發現，植樹問題其實就是平均分問題，種樹是種在點上的，請大家思考一下，這世界上除了樹種在點上，還有什么活也是干在點上的？

生1：環衛工人在街上擺放垃圾箱。

生2：電力員工立電線桿。

生3：學校里插紅旗，爬樓梯。

生4：排隊伍，擺凳子，擺杯子，掛燈籠……

生5：高速公路上建服務區，地鐵上建站。

生6：美國選總統。

……

【分析】這個問題的討論，使學生們從這節課學的植樹問題上拓展開，學的是植樹，用的是擺垃圾桶、掛燈籠、建服務區等。從一個具體的植樹問題到一類現象。通過這一次學以致用的體驗，學生們發現，植樹問題是一個十分普遍的問題，原來生活中有那么多事其實都是數學的平均分問題，都是“干”在點上的。

學用之三：細加減，具體問題具體辦

任務一：今天我們要派出第1小組去植樹，20米，5米種一棵，向老師領幾棵樹苗？第1小組同學到現場一看，發現這塊場地上的一頭被房子占了，怎么辦？

生1：把房拆了。

生2：種房頂上。

生3：少種一棵。

結論：一個點被房占了，就少種一棵，還一棵樹苗給老師—20÷5+1-1。

任務二：現在派出第2小組去植樹，20米，5米種一棵，向老師領幾棵樹苗？第2小組同學到現場一看，發現這20米正好在兩幢房子中間，怎么辦？

生：少種兩棵。

結論：兩端有房，說明占用了兩個端點—20÷5+1-2。

任務三：現在派出第3小組去種樹，20米，5米種樹一棵，向老師領幾棵樹苗？他們到現場一看，大家猜，他們遇到什么情況？怎么辦？

……

結論：不論什么情況，關鍵是看有幾個點被占了，就減去幾個點，具體問題具體對待，即靈活機動。

三、討論：套路“死”的原因是什么

前面展示了兩個教學版本，“套路”基本上就是套用數量關系式且有固定流程，沒有經歷過三次學以致用的過程。講套路“死”的原因時，不由自主地想到說書人常用的一句話：且聽我慢慢道來。

1. 植樹問題的根源在平均分

從平均分開始說。

平均分是對生活原型的概括。平均分這種運算在數學里用除法表示。平均分有有余等分與無余等分兩種，將平均分表示為線段模型，則有點和段兩個元素。從問題解決的角度看，有余等分對應的問題解決，我們稱為“余數問題”;無余等分對應的問題分為兩部分：

第一部分是段的問題，如價格問題、行程問題、工程問題等，基本格式是：□÷□;

第二部分是點的問題，如植樹問題，基本格式是：□÷□+1 。

將這一段話連成樹形圖，是這樣的，見圖1。

圖1

從這個樹形圖上來看，植樹問題并非什么難的問題，與價格問題、工程問題、行程問題是同一個水平的問題。現在我們的教材普遍因為植樹問題難而棄植樹問題于課外，或置植樹問題于數學廣角之中，正是因為沒有理解植樹問題的根源在于平均分。

2. 植樹問題的基本法與變法

植樹問題作為一類問題解決，有其較為固定的方法，我們稱為基本法。其基本法作為運算可以描述為：□÷□+1。

但是在實際的勞動情境中，不同的情境要有不同的應對，比如，

一頭有房就需要少一棵樹，因為有一個點被房占了，得到下列運算：□÷□+1-1;

兩頭有房就需要少兩棵樹，因為有兩個點被房占了，得到下列運算：□÷□+1-2。

由此可見，在現實生活中，不管遇到什么事，只要思考幾個點被占了，或者說少了幾個點，減幾，就可以了。

一頭有房與兩頭有房是我們列舉的例子，實際情況并不止這兩種，還有很多種。不管哪一種，萬變不離其宗，只要思考少幾個點即可。這樣，學生在學習植樹問題的時候就算學遍了，學遍了就會從容、淡定。

3. 熟能生巧后的技巧成了套路

植樹問題的“理”是平均分。

植樹問題的“法”有基本法與變法。

“理”是一以貫之的，“法”是千變萬化的。

所有的“法”在實踐一段時間后，學生大致都可以熟能生巧，總結出一些技巧，植樹問題也是如此。方法用久了之后，總結出大致三種情況。

好，通過以上分析，我們基本明白了植樹問題的來龍去脈：

套路的特點就是簡單有效，將前人經歷過的從理與法中提煉出來的技巧，當成教學的關鍵，省去了對理的感悟與對法的概括的思考過程，直接接受技巧。這種看似簡單有效的教學割裂了知識間的來龍去脈，知識成了碎片，知識碎片越多，學生越容易忘記，這便是“學死”的原因。

正確的做法，將從原型到道理再到方法的過程，由老師陪著學生一起經歷，將技巧的得到過程留給學生本人完成。因為技巧是個人化的，方法是可通用的，道理是一以貫之的，我們的學習不要局限于那些個人化的東西之上。

四、數學中類似的技巧教學

在小學數學中，有許多類似的技巧教學，比如，

看見“和”就用“+”，

看見“每”就用“÷”，

看見“共”就用“×”，

看見“剩”就用“-”。

這是一二年級用“+、-、×、÷”解決問題時的技巧。

如果題目這樣出：小明昨天剩2根，今天剩3根，一共剩幾根？

學生就非常糾結，看見“共”要用“×”，看見“剩”要用“-”，題目好像用“+”，怎么辦？

再如，列方程解決問題，學生經常不知道設誰為x，老師又教給學生一些技巧：求誰就設誰為x。

當出現需要設中間量為x的時候，學生又不會了。

……

在數學里，這樣的“竅門”太多了，我們經常把這些“竅門”當成好方法，結果學生越學越混亂，以致亂成一個死局。

知識“學死”與“學活”的原因應該有很多，本文只是提出了許多原因中的一個。個人認為這個原因帶有普遍性，且十分重要。從技巧回到方法原理中，學習就會有味道，這就是種子課的意義。

（作者系浙江省金華師范學校附屬小學校長）

責任編輯：胡玉敏

huym@zgjszz.cn