基于子結(jié)構(gòu)技術(shù)和Landweber迭代正則化的載荷識(shí)別

周鳳，繆炳榮，李澤，楊昌休

(1. 重慶交通職業(yè)學(xué)院，重慶402247；2. 西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031)

0 引言

載荷識(shí)別在機(jī)械動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)的健康監(jiān)控、可靠性分析和故障診斷中都起著至關(guān)重要的作用[1]。然而，在許多工程實(shí)踐中，例如風(fēng)機(jī)葉片上的風(fēng)力載荷、飛機(jī)上的空氣動(dòng)載荷、鐵路軌道和車輪之間的相互作用力等，這些載荷由于技術(shù)或經(jīng)濟(jì)的限制直接進(jìn)行測(cè)量是很困難的，甚至是不可能的。所以，利用載荷識(shí)別技術(shù)來(lái)反求載荷的時(shí)間歷程和位置是非常有必要的。

在過(guò)去的幾十年里，動(dòng)態(tài)載荷識(shí)別問(wèn)題已經(jīng)得到了廣泛的研究。提出的方法中主要包含頻域方法[2-7]和時(shí)域方法[8-13]兩種。與頻域方法相比，時(shí)域方法可以識(shí)別包括沖擊載荷在內(nèi)的各種載荷，識(shí)別結(jié)果具有明確的物理意義。時(shí)域方法在工程中具有良好的應(yīng)用前景。

載荷識(shí)別作為結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中第二類逆問(wèn)題，具有典型的不適定性，無(wú)論是對(duì)于頻域方法還是時(shí)域方法，都需要正則化技術(shù)來(lái)找到準(zhǔn)確的解決方案。目前，常用的正則化方法有截?cái)嗥娈愔捣纸?TSVD)、Tikhonov正則化和迭代正則化方法[14-17]。

上述的載荷識(shí)別方法基本上都是關(guān)于簡(jiǎn)單的梁和板上所作用載荷的識(shí)別。但關(guān)于復(fù)雜大型結(jié)構(gòu)的載荷識(shí)別研究較少。本文在文獻(xiàn)[18]的基礎(chǔ)上，利用Landweber迭代正則化求解反問(wèn)題，以提高載荷識(shí)別的精度以及抗噪性，并利用模型減縮技術(shù)中的子結(jié)構(gòu)分析，對(duì)大型有限元結(jié)構(gòu)進(jìn)行降階處理，得到其子結(jié)構(gòu)模型，在保證響應(yīng)計(jì)算精度的同時(shí)，極大地縮短求解時(shí)間，提高計(jì)算效率。

另外，目前載荷識(shí)別在鐵道車輛中的運(yùn)用主要集中在輪軌力上的識(shí)別[19]，而關(guān)于車體表面動(dòng)態(tài)載荷的識(shí)別研究還基本處于空白。本文利用提出的子結(jié)構(gòu)技術(shù)與Landweber迭代正則化來(lái)識(shí)別比例車體有限元模型上的載荷。

1 載荷識(shí)別原理

1.1 正問(wèn)題模型的建立

具有n自由度的比例阻尼系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

假定系統(tǒng)對(duì)單位脈沖的響應(yīng)，即由載荷作用點(diǎn)到響應(yīng)測(cè)量點(diǎn)的Green函數(shù)G(t)，則根據(jù)疊加原理，系統(tǒng)所受外載荷所引起的動(dòng)態(tài)響應(yīng)為

(2)

考慮零初始條件系統(tǒng)，將上式卷積積分以Δ(t)為離散的采樣時(shí)間間隔，m為采樣點(diǎn)數(shù)，離散為一組線性方程組，其矩陣形式表示如下：

(3)

進(jìn)一步，式(3)可以簡(jiǎn)單表示為

Y=GF

(4)

其中：yi、Gi、fi分別為t=i△(t)的響應(yīng)、Green函數(shù)和待求的外載荷；G為下三角矩陣，是由有限元求解得到的Green脈沖核函數(shù)響應(yīng)建立的。

當(dāng)響應(yīng)中含有噪聲時(shí)，通過(guò)方程式(4)求解外部載荷就變成一個(gè)病態(tài)的、不適定問(wèn)題，就需要正則化技術(shù)解決這類病態(tài)問(wèn)題。

1.2 Landweber迭代正則化方法

考慮抽象的算子方程：

Ax=y

(5)

其中A:X→Y為有界線性算子，X和Y均為可分的Hilbert空間。

Landweber迭代法的迭代格式為

xk=xk-1+wA*(y-Axk-1)

(6)

fk=fk-1+wGT(y-Gfk-1)

(7)

式中的k與式(6)中的一樣為迭代次數(shù)，發(fā)揮著正則化參數(shù)的作用。初始解向量f0可設(shè)置為f0=0。

1.3 子結(jié)構(gòu)分析方法

在利用上述迭代方法進(jìn)行載荷識(shí)別時(shí)，需要計(jì)算有限元仿真系統(tǒng)的動(dòng)響應(yīng)。對(duì)于大型復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，其有限元模型的網(wǎng)格質(zhì)量決定了仿真的精度，而越密的網(wǎng)格會(huì)導(dǎo)致求解動(dòng)響應(yīng)的時(shí)間也就越長(zhǎng)，有時(shí)候甚至求解困難。采用子結(jié)構(gòu)法將大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)按照一定的原則劃分成若干個(gè)子結(jié)構(gòu)，先將每一個(gè)子結(jié)構(gòu)減縮為很少自由度的模型，然后根據(jù)各子結(jié)構(gòu)之間關(guān)系，組裝得到整體結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性。本文采用的子結(jié)構(gòu)分析方法屬于模型減縮技術(shù)中的一種。

子結(jié)構(gòu)法就是將一組單元用矩陣凝聚為一個(gè)超單元的過(guò)程。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)平衡方程為

(8)

將u分為主自由度us和從自由度uc兩部分，并令

u=Tus

(9)

其中T為轉(zhuǎn)換矩陣。

采用 Guyan縮減方法，將相同的轉(zhuǎn)換矩陣T擴(kuò)展到式(8)中的質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣，即

Ms=TTMT,Cs=TTCT

(10)

新的平衡方程變?yōu)?/p>

(11)

此時(shí)自由度數(shù)縮減為主自由度數(shù)。

2 數(shù)值算例

為了驗(yàn)證上述Landweber迭代正則化識(shí)別的準(zhǔn)確性、抗干擾性以及子結(jié)構(gòu)分析技術(shù)對(duì)識(shí)別過(guò)程中計(jì)算效率改善的正確性，選擇大型復(fù)雜的比例車體結(jié)構(gòu)作為數(shù)值仿真模型。在ANSYS中建立如圖1所示的有限元模型，主體結(jié)構(gòu)采用shell63板殼單元進(jìn)行離散化網(wǎng)格劃分，該比例車體模型是相對(duì)高速列車1∶8的簡(jiǎn)化模型，長(zhǎng)×寬×高為3 022 mm×407 mm×350.8 mm，模型材料為鋁合金，即彈性模量E=6.9×1010Pa，密度ρ=2 700 kg/m3，泊松比v=0.3。

圖1 比例車體有限元模型

2.1 子結(jié)構(gòu)的應(yīng)用及結(jié)果分析

ANSYS軟件中應(yīng)用Guyan縮減法來(lái)計(jì)算縮減矩陣，而選取主自由度在矩陣縮減分析中起到關(guān)鍵作用，其準(zhǔn)確程度將取決于主自由度的數(shù)量和分布位置。因此，根據(jù)文獻(xiàn)[20]中主自由度的選取方法對(duì)該比例車體結(jié)構(gòu)有限元模型進(jìn)行主自由度的選取。在模型上選取包括加載點(diǎn)和響應(yīng)測(cè)量點(diǎn)在內(nèi)的共301個(gè)節(jié)點(diǎn)，縮減自由度后的比例車體有限元模型如圖2所示。分析縮減前后結(jié)構(gòu)的模態(tài)頻率以及響應(yīng)計(jì)算效率。

圖2 縮減自由度后的比例車體模型

1)縮減前后模態(tài)對(duì)比

表1為比例車體縮減前全自由度和縮減后模態(tài)頻率的對(duì)比情況(去掉前6階剛體模態(tài))。圖3為縮減前后模態(tài)頻率對(duì)比圖。從表1和圖3都可以看出，所選取主自由度后的子結(jié)構(gòu)模型能滿足模型的準(zhǔn)確度，且對(duì)于前4階模態(tài)，選取前后模態(tài)頻率的相對(duì)偏差基本低于1%或在1%附近。這是由于主自由度的選取數(shù)量對(duì)低價(jià)模態(tài)影響較小，而對(duì)高階模態(tài)影響較大。

表1 比例車體主自由度選取前后模態(tài)對(duì)比

圖3 比例車體模態(tài)頻率對(duì)比圖

2)核函數(shù)響應(yīng)計(jì)算效率分析

分別對(duì)比例車體原模型和子結(jié)構(gòu)縮減模型求脈沖核函數(shù)響應(yīng)，比較這兩種模型中計(jì)算相同時(shí)間歷程的核函數(shù)響應(yīng)所需要的實(shí)際CPU時(shí)間，如表2所示。其中采樣周期為Δt=0.000 5s。

表2 縮減前后模型核函數(shù)響應(yīng)計(jì)算時(shí)間

單位：s

由表2可見(jiàn)，相比于全自由度的原模型，子結(jié)構(gòu)模型大大減少了核函數(shù)響應(yīng)計(jì)算時(shí)間，且所需計(jì)算的響應(yīng)時(shí)間歷程越長(zhǎng)，子結(jié)構(gòu)縮減模型提高計(jì)算效率的效果就越明顯。因此，應(yīng)用子結(jié)構(gòu)技術(shù)將大大提高載荷識(shí)別過(guò)程中計(jì)算核函數(shù)響應(yīng)的效率。

2.2 載荷識(shí)別結(jié)果分析

1)不同形式載荷下的識(shí)別結(jié)果

在比例車體子結(jié)構(gòu)模型的節(jié)點(diǎn)5614上施加垂直于上頂板的載荷，即z向上加載，并選取距離測(cè)量點(diǎn)較近的響應(yīng)節(jié)點(diǎn)5795(z向)上的位移作為響應(yīng)用于載荷識(shí)別。所施加的載荷分別取如下幾種形式：

1)正弦載荷：

(12)

2)三角載荷：

(13)

3)方波載荷：

(14)

正弦載荷、三角載荷和方波載荷選用不同的采樣頻率，即f1=2000Hz、f2=4000Hz和f3=3 333.33Hz，利用Landweber迭代正則化方法進(jìn)行載荷識(shí)別，并對(duì)比傳統(tǒng)的Tikhonov正則化。各載荷形式下的識(shí)別結(jié)果分別如圖4-圖6所示。

由圖4-圖6可以看出，對(duì)于不同形式的載荷，在沒(méi)有噪聲的情況下，傳統(tǒng)的Tikhonov正則化方法和Landweber迭代正則化都能準(zhǔn)確地識(shí)別載荷，這是由于在響應(yīng)數(shù)據(jù)不含有噪聲時(shí)(實(shí)際情況中幾乎是不存在的)，可以直接通過(guò)矩陣求逆法反求載荷，即此時(shí)有無(wú)正則化的識(shí)別效果相差不大，所以這兩種正則化方法下的載荷識(shí)別結(jié)果相似。但從圖4和圖6也可以發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)Tikhonov正則化方法在載荷值突變處以及時(shí)間起始點(diǎn)處，相比于Landweber迭代正則化的識(shí)別誤差較大。

圖4 正弦載荷識(shí)別結(jié)果對(duì)比

圖5 三角載荷識(shí)別結(jié)果對(duì)比

圖6 方波載荷識(shí)別結(jié)果對(duì)比

2)不同噪聲水平下的識(shí)別結(jié)果

由于實(shí)際測(cè)量的響應(yīng)信號(hào)y中總是包含噪聲，在仿真得到的響應(yīng)數(shù)據(jù)中加入不同水平的隨機(jī)噪聲來(lái)模擬測(cè)試誤差。帶噪聲的響應(yīng)可表示成如下形式：

ynoise=y(t)+lnoisestd[y(t)]rand(-1,1)

(15)

其中：y(t)為仿真得到的位移響應(yīng)；std[y(t)]為位移響應(yīng)y(t)的標(biāo)準(zhǔn)差；lnoise為噪聲水平的百分?jǐn)?shù)；rand(-1,1)為區(qū)間[-1,1]上的隨機(jī)數(shù)。

首先，對(duì)于正弦載荷在噪聲水平分別為3%、5%和10%的載荷識(shí)別結(jié)果如圖7所示。從圖7可以看出，隨著噪聲水平的增大，Tikhonov正則化識(shí)別的誤差逐漸增加，并且到噪聲水平為10%時(shí)，已經(jīng)不能識(shí)別出所加載荷。圖7(c)中，Tikhonov正則化方法在t=0.03s附近，識(shí)別結(jié)果已經(jīng)趨于發(fā)散。而Landweber迭代正則化在這3種噪聲水平下都能較準(zhǔn)確地識(shí)別，識(shí)別精度并沒(méi)有隨著噪聲水平的波動(dòng)而發(fā)生較大變化。

圖7 在不同噪聲水平(3%、5%、10%)下正弦載荷的識(shí)別結(jié)果

為了更進(jìn)一步說(shuō)明噪聲的影響，選取正弦載荷在噪聲水平為5%下，隨機(jī)5個(gè)不同的離散時(shí)間點(diǎn)上識(shí)別的結(jié)果如表3所示，得到Landweber迭代正則化識(shí)別誤差，除了少許的幾個(gè)時(shí)間點(diǎn)，基本在5%以下，且大部分的識(shí)別相對(duì)誤差低于Tikhonov方法。同時(shí)分析在噪聲水平為5%下，三角載荷和方波載荷的識(shí)別結(jié)果如圖8、圖9所示。從這兩幅圖中可以看出，與正弦載荷類似，在5%的噪聲水平下Landweber正則化識(shí)別三角和方波這兩種載荷的識(shí)別精度明顯高于Tikhonov正則化。

表3 在噪聲水平5%下隨機(jī)5個(gè)時(shí)間點(diǎn)上正弦載荷的識(shí)別誤差

圖8 噪聲水平為5%下三角載荷的識(shí)別結(jié)果

圖9 噪聲水平為5%下方波載荷的識(shí)別結(jié)果

3 結(jié)語(yǔ)

本文利用Landweber迭代正則化解決載荷識(shí)別過(guò)程的病態(tài)逆問(wèn)題。結(jié)合子結(jié)構(gòu)分析技術(shù)，識(shí)別作用于比例車體有限元模型上的正弦、三角以及方波載荷，并與傳統(tǒng)的Tikhonov正則化進(jìn)行比較，得到以下結(jié)論：

1)Landweber迭代正則化可以高精度識(shí)別作用于比例車體仿真模型的多種形式載荷；

2)應(yīng)用子結(jié)構(gòu)分析的模型縮減技術(shù)可以提高識(shí)別過(guò)程中計(jì)算核函數(shù)響應(yīng)的效率，從而減少整個(gè)迭代反求的時(shí)間，更快速準(zhǔn)確地求得所加載荷；

3)在識(shí)別此類大型復(fù)雜有限元結(jié)構(gòu)上作用的載荷時(shí)，Tikhonov正則化方法對(duì)噪聲很敏感，達(dá)到一定噪聲水平后其解便趨于發(fā)散，不能識(shí)別出所施加載荷，而Landweber迭代正則化能夠有效抑制噪聲，且整體識(shí)別精度高。

本文將子結(jié)構(gòu)縮減技術(shù)和Landweber迭代正則化用于求解比例車體有限元模型上所施加的載荷，為識(shí)別復(fù)雜的高速列車車體表面動(dòng)態(tài)載荷的分布及其動(dòng)態(tài)特性的研究奠定基礎(chǔ)。