高峰期軌道交通廊道出行均衡模型及算法

袁樂凱, 石超峰, 張 璽

(1.重慶交通大學交通運輸學院, 重慶 400074； 2.重慶交通大學經濟與管理學院, 重慶 400074)

隨著城市經濟的迅速發展,交通供給與需求之間的矛盾日益突出。找到早晚高峰通勤者的出行模式和規律會有效緩解高峰期軌道車廂內的擁擠,減少時間延誤,有效提高軌道服務質量,因此近些年來公共交通系統中通勤者的動態出行行為成為研究的熱點問題。

Arnott等[1]在研究高峰時段交通擁堵的空間平衡動力學方面向前邁出了一大步,提出了可能具有連續時間和空間的最簡單的模型,同時對交通廊道做了研究。之后又有不少學者對交通廊道展開了相關研究。Depalma等[2]探討了交通動態模型,以實現社會最優狀態和用戶最優狀態。Li等[3-4]研究了交通廊道中不同情況下的一系列相關問題,得出了社會最優(system optimum, SO)和用戶均衡(user equilibrium, UE)分配解決方案。目前對交通廊道的研究主要集中在道路廊道方面,但也有部分學者對軌道廊道做了相關研究。王欣宇[5]對高峰期輕軌廊道出行動態特性和空間分布均衡做了研究。此外,陳培文等[6]考慮路徑尺度因素的影響對城市軌道交通客流分配模型進行了研究。也有許多學者對公共交通系統的動態均衡做了研究。Tian等[7]對多起點單訖點的公共交通系統動態均衡狀態進行了研究,發現了多到單系統乘車均衡性質。田瓊等[8]分析了公交車廂最大容量約束對不同居住地乘客動態出行行為的影響。韓烈等[9]推導出了單起點多訖點公交系統早高峰乘車均衡狀態的五條性質。田瓊等[10]和張玉潔等[11]都推導出了乘客異質性的高峰期公交出行均衡性質,并全面分析了不同類型通勤者的出行特點和規律。韓烈等[12]分析了早高峰時段多起點多訖點公共交通系統乘客乘車行為。孔雪等[13]考慮了城市軌道交通規劃對城市公交線路運行效率的影響,對軌道交通規劃有一定指導意義。

雖然學者們已經做了大量研究,但是對于單起點多訖點軌道交通廊道中出行均衡模型及算法的研究較少,也沒有學者分析不同時間價值對此類廊道中乘客出行行為的影響。現以單起點多訖點軌道交通廊道為研究對象,首先建立出行動態均衡模型,然后將Frank-Wolfe算法與迭代算法結合求出用戶均衡出行分布結果,最后通過算例分析不同出行時間價值對乘客出行行為的影響。

1 軌道交通廊道模型

1.1 模型建立

首先基于Arnott[1]的廊道定義給出軌道交通廊道定義:考慮一條軌道線路將生活區與工作區相連,每天早(晚)高峰期通勤者通過軌道交通廊道從居住區到單位上班。通勤者可能因為出行時間不同存在早到或晚到的現象,但達到均衡狀態時,沒有通勤者能再通過選擇出發時間來獲得更低的出行成本。

隨著城市的迅速發展以及人們對便捷生活的需求,在居民聚集居住的區域是有軌道交通線路的。每天早上會有很多通勤者從居住區出發,但由于他們的目的地不一樣,所以會在不同的地方下車。本文選取單起點多訖點軌道交通廊道為研究對象,如圖1所示,一條軌道線路(以地鐵為例)由生活區H0出發,先后在H1、H2、H3、…、HK等目的地下車,早(晚)高峰期各站點分別有N1、N2、N3、…、NK個通勤者下車。假設所有的乘客同質,即乘客上班時間相同、期望到達目的地的時間相同、時間價值相同、對車內擁擠敏感性相同。同時,所有通勤者經過長期的適應,對地鐵班次信息熟悉,不存在站臺等車時間。假設地鐵以固定速度行駛,因此相鄰站點之間的運行時間是固定的,分別用τ1、τ2、τ3、…、τK表示。用t表示相鄰班次的固定發車時間間隔。

圖1 單起點多訖點軌道交通廊道示意圖

乘坐j班次軌道、工作地為Hl(l=1,2,3,…,K)的乘客上班的出行總成本為

1≤l≤K,j∈Z

(1)

(2)

(3)

式(1)中δ(l,j)為乘客乘坐j班次從H0到Hl所承受的延誤成本,可表示為

(4)

式(4)中:β為單位早到誤時成本；γ為單位晚到誤時成本。

乘客通過權衡擁擠成本與延誤成本來選擇最佳軌道班次,從而使得個人出行總成本最小。在均衡狀態時,所有目的地相同的乘客出行成本相同,且沒有乘客能通過單方面改變乘坐班次來減少出行成本,即

(5)

式(5)中:TCl為從H0出發到Hl的乘客出行總成本。式(5)表明,通勤者通過長期乘車通勤,已經得到了使自己的通勤出行成本最小的乘車方案。

1.2 等價數學優化模型

(6)

(7)

(8)

優化目標函數式(6)是所有乘客車廂內擁擠成本函數的積分與他們所承受的所有延誤成本之和,優化變量為乘客出行分布n。與經典用戶均衡模型相同,G(x) 沒有具體實際經濟意義。式(7)是站點Hl處乘車人數的守恒條件,式(8)保證乘客數量非負。目標函數(6)是嚴格凸函數,約束條件(7)、(8)為線性約束,則模型(6)～模型(8)為嚴格凸規劃,其一階條件為

j∈Z,l=1,2,…,K

(9)

j∈Z,l=1,2,…,K

(10)

(11)

(12)

2 求解算法

2.1 Frank-Wolfe算法

2.2 均衡求解算法

利用Frank-Wolfe算法對訖點的各班次進行配流,只是均衡求解算法的一部分。求解均衡狀態時乘客班次選擇結果的算法具體步驟如下。

步驟1初始化

步驟2用戶均衡分配

步驟2.1

……

步驟2.k

……

步驟2.K

步驟3收斂性檢驗。

3 算例及時間價值參數分析

3.1 數值算例

為了驗證本研究提出的模型和算法的可用性,設計了一個數值算例。考慮了單位晚到成本增大和單位早到成本減少兩種情況,分析了軌道交通廊道中乘客出行時間價值改變對乘客出行分布的影響。參數設置如下:票價Pl=2 元,K=6 站,發車時間間隔t=0.05 h,τ1=0.15 h,τ2=0.1 h,τ3=0.05 h,τ4=0.1 h,τ5=0.15 h,τ6=0.05 h,N1=540 人,N2=900 人,N3=540 人,N4=720 人,N5=900 人,N6= 450 人,(α,β,γ)=(20,10,30)(元/h), 擁擠成本函數為g(n)=0.005n2(元/h),ξ=60,ζ=29,乘客人數更新權重μ=0.5,收斂精度ε1=0.1、ε2=0.1。單位晚到成本增大時,(α,β,γ)=(20,10, 100)(元/h)；單位早到成本減少時,(α,β,γ)=(20 ,0,30)(元/h)。不同出行時間價值下,均衡狀態的乘客出行分布圖,如圖2～圖4所示。

圖2 均衡出行分布結果

圖3 單位晚到誤時成本增大時均衡出行分布結果

圖4 單位早到誤時成本減少時均衡出行分布結果

3.2 單位晚到誤時成本增大

由圖3可以看出,單位晚到成本增加時,均衡結果為不同訖點的乘客連續分布在不同班次之間,人數分別在各自誤時成本最小的車次上達到峰值,這一分布狀態與圖2類似；乘客分布較為集中,尤其對于近訖點而言,并且沒有乘客選擇晚到的班次。

3.3 單位早到誤時成本減少

本文算例中,將早到誤時成本減少到0,即β取值為0,相當于不考慮早到成本。由圖4可以看出,不考慮早到成本時,乘客全部選擇早到班次,此時乘客只權衡擁擠成本來選擇班次,均衡結果為各班次車的載人總數趨近于相同以及各站點選擇各班次車的人數也趨近于相同；均衡狀態時沒有乘客愿意選擇有晚到誤時成本的班次,結果與增加晚到誤時成本的結果一樣,這也說明了乘客在早到和晚到班次之間進行權衡選擇。

4 結論

通過研究高峰期軌道交通廊道出行均衡問題，首先建立了軌道交通廊道模型,然后給出了均衡求解算法,最后通過數值算例說明了模型的有效性,并分析了不同出行時間價值的情況下,動態用戶均衡出行流量分布結果。得出以下結論。

(1)均衡狀態時,不同訖點的乘客連續分布在不同班次之間,人數分別在各自誤時成本最小的車次上達到峰值。較早的車次上,一般由遠訖點的乘客乘坐,近訖點的乘客分布比較集中。

(2)均衡狀態時,增大單位晚到誤時成本,乘客分布較為集中,尤其對于近訖點而言,并且沒有乘客選擇晚到的班次；減少單位早到誤時成本,各班次車的載人總數趨近于相同以及各站點選擇各班次車的人數也趨近于相同。

(3)政府可以鼓勵各行各業錯峰上下班,通過調整延誤成本來影響擁擠成本,實現乘客利益和社會利益的統一。在運營管理有必要的情況下,可以倡議工作單位增加上班遲到懲罰成本來減少乘客對晚到班次的選擇,從而改變乘客出行分布狀態,有利于對城市軌道的發車頻率、車廂容量等方面進行規劃與管理；也可通過變動票價以及其他優惠政策,將各站點的早到誤時成本平衡為0,那么各班次的乘客會趨向于穩定均勻分布,有利于提高車廂利用率,降低最大擁擠程度。

本文研究沒有考慮通勤者時間價值和擁擠敏感度的異質性,這將是下一步的研究方向。