基于有界干擾Hammerstein模型的化工過(guò)程的預(yù)測(cè)控制

胡本源， 彭 珂， 董宏光， 王克峰

(大連理工大學(xué)化工系統(tǒng)工程研究所， 大連 116024)

模型預(yù)測(cè)控制(model predictive control， MPC)因其能夠處理復(fù)雜多變量約束優(yōu)化控制問(wèn)題的特點(diǎn)，已經(jīng)成為最具代表性的先進(jìn)控制算法之一，廣泛地應(yīng)用于化工、煉油等許多過(guò)程控制領(lǐng)域[1-4]。目前，在預(yù)測(cè)控制中多數(shù)工業(yè)過(guò)程系統(tǒng)采用線性模型進(jìn)行預(yù)測(cè)和優(yōu)化，然而在實(shí)際中未建模的動(dòng)態(tài)模型、非線性、外部干擾等因素不可避免地存在于這些控制系統(tǒng)中，這無(wú)疑限制了線性預(yù)測(cè)控制的應(yīng)用。所以針對(duì)這些問(wèn)題非線性 MPC算法的研究和應(yīng)用越來(lái)越受到重視[5-6]。

工業(yè)過(guò)程的非線性通常可以利用局部線性化方法或建模成具有某種特定結(jié)構(gòu)的非線性函數(shù)來(lái)處理。其中，Hammerstein模型是一類由靜態(tài)非線性輸入函數(shù)和動(dòng)態(tài)線性模型串聯(lián)組成的非線性系統(tǒng)。該模型可以用來(lái)描述pH中和、空氣分離、聚烯烴牌號(hào)切換等化工過(guò)程的非線性特性[7-9]。因此，基于Hammerstein模型的非線性 MPC方法在學(xué)術(shù)界和工業(yè)界得到了很多研究[10-14]。文獻(xiàn)[10]為優(yōu)化問(wèn)題提供一組凸優(yōu)化松弛條件，其中代價(jià)函數(shù)和約束可分別表示成優(yōu)化變量的函數(shù)和其非線性函數(shù)。在文獻(xiàn)[11]中，預(yù)測(cè)輸出軌跡在線線性化，通過(guò)求解二次規(guī)劃問(wèn)題得到控制作用。為了準(zhǔn)確的近似，此線性化和優(yōu)化需要迭代進(jìn)行。文獻(xiàn)[12]考慮多模型預(yù)測(cè)控制，提出一種基于夾角的自調(diào)整分解方法。利用此方法和線性模型可逼近Hammerstein系統(tǒng)。與這些非線性MPC控制策略不同，兩步法MPC首先用一個(gè)無(wú)約束的線性MPC計(jì)算期望中間變量(控制律)，然后求解非線性代數(shù)方程和采用解飽和方法來(lái)計(jì)算實(shí)際滿足約束的控制輸入。因此，兩步法MPC的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算量較小，很適合實(shí)際系統(tǒng)的在線建模。文獻(xiàn)[13]對(duì)輸入飽和Hammerstein模型提出一種兩步法MPC方法。文獻(xiàn)[14]針對(duì)干擾Hammerstein系統(tǒng)采用二次范數(shù)有界技術(shù)表征系統(tǒng)穩(wěn)定性。中間控制變量通過(guò)求解Riccati迭代方程取得。文獻(xiàn)[15]考慮具有狀態(tài)和控制約束的有界未知擾動(dòng)Hammerstein模型， 提出一種具有輸入到狀態(tài)穩(wěn)定和有限L2增益性能的魯棒非線性模型預(yù)測(cè)控制策略。

聚烯烴牌號(hào)切換是聚合裝置從一種穩(wěn)態(tài)切換到另一種穩(wěn)態(tài)的過(guò)程[16-17]。它通常可用Hammerstein系統(tǒng)表述并涉及裝置多個(gè)控制輸入量的調(diào)整。上述的文獻(xiàn)假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)已知，然而在實(shí)際生產(chǎn)中，狀態(tài)往往無(wú)法完全可測(cè)，而且普遍存在不確定性擾動(dòng)，因此以此為背景，研究具有約束和未知干擾的多變量Hammerstein系統(tǒng)的非線性MPC控制方法。由于存在的干擾是未知的，這樣就使得預(yù)測(cè)模型不再準(zhǔn)確。為了保證穩(wěn)定性，本文中研究的魯棒MPC控制算法做了所有可能值的預(yù)測(cè)，從集合包含的角度，預(yù)測(cè)包含真實(shí)值。該方法采用兩步法策略，第一步考慮到實(shí)際生產(chǎn)中系統(tǒng)狀態(tài)往往不可測(cè)，所以對(duì)無(wú)約束受干擾的線性模型應(yīng)用魯棒輸出反饋MPC方法計(jì)算中間變量，其中引入二次有界技術(shù)處理外部有界干擾，并設(shè)計(jì)估計(jì)誤差界的在線更新公式來(lái)保證優(yōu)化問(wèn)題的遞推可行性。第二步通過(guò)求解非線性代數(shù)方程和采用解飽和的方法得到最終的控制輸入，同時(shí)保證輸入約束滿足，使閉環(huán)系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定。

1 系統(tǒng)描述

考慮一非線性系統(tǒng)可被如下的離散時(shí)間多變量 Hammerstein模型描述:

(1)

式(1)中：x∈Rn，u∈Rm，y∈Rp，v∈Rm和w∈Rq分別為系統(tǒng)的不可測(cè)的狀態(tài)向量、控制輸入、輸出向量、中間變量和不確定的有界外部擾動(dòng),其中Rn為n維歐式空間;k為采樣時(shí)間;擾動(dòng)滿足‖w(k)‖≤1。本方法適用于模型(1)中的A、B、C、D、E為已知的常數(shù)矩陣且{A，B，C}是一致可控且可觀。非線性函數(shù)φ(·)用來(lái)描述控制輸入和中間變量之間的靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)，且有φ(0)=0。Hammerstein模型結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 Hammerstein模型結(jié)構(gòu)圖

令φ=f°sat，其中f° sat為復(fù)合函數(shù)，f為可逆的靜態(tài)非線性函數(shù)，sat表示控制輸入的飽和約束，即

(2)

MPC的控制目標(biāo)是針對(duì)多變量約束系統(tǒng)模型(1)，設(shè)計(jì)預(yù)測(cè)控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)在外部持續(xù)不確定擾動(dòng)下，仍然可以保持系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定，同時(shí)控制輸入滿足相應(yīng)的約束。

2 魯棒MPC策略

考慮式(1)線性模型

(3)

設(shè)計(jì)如下Luenberger觀測(cè)器:

(4)

(5)

注意到通過(guò)MPC方法得到的中間變量可能無(wú)法準(zhǔn)確通過(guò)控制輸入u(k)執(zhí)行，這是因?yàn)樵谇蠼夥蔷€性方程和解飽和作用過(guò)程都存在誤差[18]，所以引入期望中間變量v(k)。那么實(shí)際的控制輸入設(shè)為

u(k)=g[v(k)]

(6)

式(6)中:g(·)為φ(·)的可逆部分(或是近似可逆)。由式(1)和式(6)得v(k)=φ[u(k)]=φ°g[v(k)]。假設(shè)φ°g=1來(lái)消除輸入非線性，不考慮φ中的不確定影響。

2.1 離線估計(jì)器設(shè)計(jì)

e(k+1)=(A-LC)e(k)+(D-LE)w(k)

(7)

Ve(k)≥‖w(k)‖?Ve(k+1)-Ve(k)

(8)

(9)

(10)

根據(jù)Schur補(bǔ)引理，式(10)由如下不等式保證:

(11)

(12)

成立，那么e(k)將收斂到原點(diǎn)的鄰域εTe并且以后都屬于該鄰域。

2.2 二次有界性條件

(13)

對(duì)于k≥0，v(k)可由式(14)計(jì)算得到。基于式(4)的作用，擴(kuò)展系統(tǒng)(13)的閉環(huán)預(yù)測(cè)模型為

(14)

根據(jù)前述的魯棒控制目標(biāo)，設(shè)計(jì)經(jīng)典min-max優(yōu)化問(wèn)題來(lái)最小化代價(jià)函數(shù)的上界，即

(15)

式(15)中:代價(jià)函數(shù)J∞(k)定義為

(16)

V(i|k)≥γ?V(i+1|k)-V(i|k)≤

(17)

將式(17)從i=0加到∞,得到J∞(k)≤V(0|k)-V(∞|k)≤V(0|k)。如果令

V(0|k)≤γ

(18)

標(biāo)量γ>0 可作為代價(jià)函數(shù)J∞(k)的上界。為保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，優(yōu)化問(wèn)題式(15)進(jìn)一步化為

(19)

(20)

證明:由于‖w(k+i)‖≤1，i≥0，將式(14)代入式(17)，那么二次有界性條件等價(jià)于

(21)

應(yīng)用S-procedure方法，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)標(biāo)量ρ>0使得(為書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便，省略時(shí)間標(biāo)識(shí))：

(22)

(23)

(24)

需要注意的是估計(jì)誤差e(k)是不確定的，所以需轉(zhuǎn)而研究e(k)的界以代替e(k)本身。假設(shè)e(k)屬于下列集合:

e(k)∈E(k)={e∈Rn|e(k)TH(k)·

e(k)≤1}

(25)

式(25)中:為了保證優(yōu)化問(wèn)題的地推可行性，H(k)在線計(jì)算公式可設(shè)計(jì)為

(26)

e(0|k)≤1

(27)

(28)

綜合上述的分析，優(yōu)化問(wèn)題(19)最終可表示為

(29)

定理1假設(shè)優(yōu)化問(wèn)題式(29)在初始采樣時(shí)刻k=0是可行的，那么在所有未來(lái)時(shí)刻k>0，優(yōu)化問(wèn)題式(29)都是遞推可行的，同時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)也是魯棒穩(wěn)定的。

定義李雅普諾夫函數(shù)γ*(k)，并選擇一個(gè)候選函數(shù)γ-(k+1)=γ*(k)。由于優(yōu)化問(wèn)題式(29)在采樣時(shí)刻k≥0都是遞推可行的，得到γ*(k+1)≤γ-(k+1)， 進(jìn)一步有γ*(k+1)≤γ*(k)。所以可以得出結(jié)論隨著k時(shí)刻的增加，γ*(k)將會(huì)收斂，即閉環(huán)系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定性的。

2.3 實(shí)際控制輸入

(30)

這樣使得輸入約束能夠滿足。需要注意的是本文中直接用期望中間變量來(lái)計(jì)算實(shí)際控制輸入，沒(méi)有充分考慮整個(gè)設(shè)計(jì)過(guò)程帶來(lái)的誤差。

下面給出MPC算法的實(shí)施步驟。

步驟2選擇合適的α，根據(jù)式(12)找到Te、Ye，從而計(jì)算出L。

步驟3對(duì)于采樣時(shí)刻k≥0， 求解優(yōu)化問(wèn)題[式(29)]計(jì)算魯棒反饋律F(k)， 進(jìn)一步得到中間變量v(k)；根據(jù)式(26)更新H(k+1)。

步驟5令k=k+1，轉(zhuǎn)到步驟3。

3 實(shí)例仿真

聚丙烯雙環(huán)管工藝采用液相預(yù)聚合、液相本體均聚和/或氣相共聚相結(jié)合的方式生產(chǎn)丙烯均聚和/或共聚牌號(hào)產(chǎn)品，其聚合單元如圖2所示。聚合反應(yīng)過(guò)程的原理可參考文獻(xiàn)[19]。聚丙烯牌號(hào)切換是聚合裝置從一種穩(wěn)態(tài)切換到另一種穩(wěn)態(tài)的過(guò)程，如果切換時(shí)間越長(zhǎng)不合格的產(chǎn)品就越多，經(jīng)濟(jì)損失也就越大。在實(shí)際生產(chǎn)中，均相聚丙烯(均聚物)的牌號(hào)一般用熔融指數(shù)(MI)，而共相聚丙烯(共聚物)的牌號(hào)用MI和乙烯含量Et來(lái)描述。假設(shè)環(huán)管反應(yīng)器為連續(xù)攪拌反應(yīng)器，根據(jù)丙烯聚合反應(yīng)機(jī)理，建立牌號(hào)切換過(guò)程的質(zhì)量指數(shù)狀態(tài)空間模型:

圖2 雙管聚丙烯工藝聚合單元原理圖

(31)

(32)

式(32)中：常數(shù)τ為聚合物平均停留時(shí)間(τ=2 h);MIc和Etc分別為聚合物的累積熔融指數(shù)和累積乙烯含量；MIi和Eti分別為聚合物的瞬時(shí)熔融指數(shù)和瞬時(shí)乙烯含量；T、CH2、Cm和Cm2分別為反應(yīng)器里的溫度、氫氣濃度、丙烯濃度和乙烯濃度；模型K1，K2，…，K6和r1，r2，…，r6一般都隨著牌號(hào)變化。

由于累積熔融指數(shù)和累積乙烯含量通過(guò)離線化驗(yàn)或利用軟測(cè)量技術(shù)獲得，所以不可避免存在著誤差，設(shè)測(cè)量誤差范圍是±10%，并將誤差看作模型(31)的外部干擾，即w=[w1，w2]T=[ω1lgMIc，ω2Etc]T，-0.1≤ω1，ω2≤0.1。那么基于式(31)和式(32)，變化過(guò)程的動(dòng)態(tài)方程為

(33)

設(shè)控制周期Ts=0.5 h，可以得到離散時(shí)間狀態(tài)方程為

(34)

根據(jù)線性理論，容易驗(yàn)證模型[式(34)]可控且可觀。在仿真中，選擇均聚牌號(hào)A、B和無(wú)規(guī)共聚牌號(hào)C及切換順序A→B→C，切換控制組態(tài)采用雙層控制結(jié)構(gòu)[19]，MPC控制器位于上層用來(lái)計(jì)算穩(wěn)態(tài)目標(biāo)作為下層回路控制器的設(shè)定值。底層控制一般采用比例積分微分(proportional-integral-derivative， PID)控制器直接控制生產(chǎn)過(guò)程回路。現(xiàn)不考慮A、B生產(chǎn)工藝中的乙烯輸入量。牌號(hào)規(guī)格及切換約束如表1所示。

表1 三種牌號(hào)規(guī)格切換過(guò)程約束

假設(shè)生產(chǎn)裝置在第15小時(shí)進(jìn)行切換A→B，在第35小時(shí)再次進(jìn)行切換B→C，控制結(jié)果如圖3～圖5所示，圖3為牌號(hào)切換過(guò)程中累計(jì)質(zhì)量變化曲線，圖4是瞬時(shí)質(zhì)量變化曲線，圖5為控制輸入曲線。表2表示在魯棒MPC控制下牌號(hào)切換過(guò)程的過(guò)渡時(shí)間。表3給出了各個(gè)控制量的偏差平方和，此性能指標(biāo)有關(guān)于底層PID器的平穩(wěn)運(yùn)行。如果切換目標(biāo)牌號(hào)的合格檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)是聚丙烯物性規(guī)格指標(biāo)5%，那么仿真圖表明盡管存在不確定測(cè)量誤差的影響， 但在均聚牌號(hào)A、B和無(wú)規(guī)共聚牌號(hào)C的兩次切換過(guò)程中，共聚物MI和乙烯含量Et都能從生產(chǎn)牌號(hào)的合格品區(qū)進(jìn)入廢料生產(chǎn)區(qū)， 并最終進(jìn)入目標(biāo)牌號(hào)的合格品區(qū)， 同時(shí)在整個(gè)運(yùn)行過(guò)程中控制輸入亦能滿足相應(yīng)的約束。

表3 控制量偏差平方和

圖3 累計(jì)質(zhì)量曲線

圖4 瞬時(shí)質(zhì)量曲線

圖5 切換過(guò)程控制曲線

4 結(jié)論

針對(duì)具有輸入約束和干擾的Hammerstein模型，提出一種兩步法預(yù)測(cè)控制策略。第一步對(duì)無(wú)約束受干擾的線性模型采用魯棒輸出反饋預(yù)測(cè)控制方法來(lái)計(jì)算中間變量，首先設(shè)計(jì)離線觀測(cè)器增益，再引入二次有界技術(shù)處理外部有界干擾，并設(shè)計(jì)估計(jì)誤差界的在線更新公式。第二步通過(guò)求解非線性代數(shù)方程和解飽和的方法得到能保證約束滿足的控制輸入。本文中提出的控制策略經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證能夠保證優(yōu)化問(wèn)題的遞推可行性和閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性。