多點(diǎn)激勵(lì)簡(jiǎn)支梁橋車橋耦合振動(dòng)響應(yīng)

韓智強(qiáng)， 李路遙， 周勇軍， 李華騰， 劉世忠， 晉民杰

(1.太原科技大學(xué)交通與物流學(xué)院，太原 030024； 2.長(zhǎng)安大學(xué)公路大型結(jié)構(gòu)安全教育部工程研究中心， 西安 710064)

隨著國(guó)民經(jīng)濟(jì)飛速發(fā)展，交通狀況日趨復(fù)雜，車輛與橋梁相互影響較為突出[1]。古典車橋耦合振動(dòng)分析通常將車輛簡(jiǎn)化為集中力、簡(jiǎn)諧力或質(zhì)量塊等，橋梁被簡(jiǎn)化為有限梁?jiǎn)卧M(jìn)行求解。針對(duì)車橋耦合方法的求解，中外學(xué)者提出勻速移動(dòng)常力、勻速移動(dòng)簡(jiǎn)諧力、勻速滾動(dòng)質(zhì)量、勻速?gòu)椈?質(zhì)量等相關(guān)計(jì)算模型，使得車橋耦合仿真計(jì)算成為可能。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)快速發(fā)展，實(shí)現(xiàn)車橋耦合精細(xì)化分析成為可能。李江龍等[2]基于車輛動(dòng)力響應(yīng)功率譜密度，采用自編軟件，對(duì)橋梁安全性進(jìn)行評(píng)價(jià)分析；Shen等[3]基于模型縮聚理論，采用模態(tài)分析和車橋耦合瞬態(tài)分析，實(shí)現(xiàn)多自由度車橋耦合仿真分析；肖乾等[4]分析胎壓變化對(duì)車橋系統(tǒng)的振動(dòng)影響，得出胎壓變化對(duì)系統(tǒng)橫向動(dòng)力響應(yīng)和走行滑移量有一定影響。趙越等[5]基于等參映射及改進(jìn)折半法建立車橋耦合分析系統(tǒng)，建立多種精細(xì)化車輛模型，并通過(guò)全過(guò)程迭代法求解車橋耦合系統(tǒng)，其收斂速度較快；許漢錚等[6]采用17自由度三軸空間車型，分析橫豎向車橋耦合曲線橋的動(dòng)力響應(yīng)，結(jié)果表明:曲線橋梁前兩階以豎向振動(dòng)為主，且橫豎向車橋耦合在曲線橋梁動(dòng)力分析中較為重要；在多車車橋耦合方面，相關(guān)學(xué)者也開展了相關(guān)研究；王娟等[7]采用多個(gè)集中彈簧-阻尼-質(zhì)量系統(tǒng)作用于簡(jiǎn)支梁橋時(shí)，隨著各個(gè)敏感參數(shù)變化，橋梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)變化；經(jīng)薇等[8]建立多車激勵(lì)簡(jiǎn)支梁橋車橋耦合分析模型，采用頻域和時(shí)域進(jìn)行數(shù)值分析，并根據(jù)邊界條件驗(yàn)證了方法的正確性。

上述研究成果主要集中于單車車輛分析或者多車等效集中彈簧-阻尼-質(zhì)量系統(tǒng)，分析橋梁振動(dòng)特性，對(duì)橋梁沖擊系數(shù)的研究相對(duì)較少。因此，基于車輛動(dòng)力學(xué)的相關(guān)原理，理論推導(dǎo)多車車輛動(dòng)力學(xué)方程，采用模態(tài)綜合法建立多車車橋耦合分析系統(tǒng)，并與相關(guān)文獻(xiàn)算例結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證方法的正確性，并考慮在一定車輛間距和數(shù)量下橋梁的動(dòng)力響應(yīng)變化，計(jì)算其沖擊系數(shù)，并與多國(guó)規(guī)范值[9]進(jìn)行比較，相關(guān)研究成果可為公路橋梁多車車橋耦合分析和沖擊系數(shù)的計(jì)算提供指導(dǎo)。

1 基于模態(tài)綜合法的多車車橋耦合分析系統(tǒng)

1.1 基本假定

(1)車輛在橋面行駛的過(guò)程中車輪時(shí)刻緊貼與橋面不發(fā)生分離。

(2)忽略橋梁橫截面的變形。

(3)橋梁采用瑞雷阻尼，即橋梁阻尼矩陣與質(zhì)量矩陣和剛度矩陣呈線性相關(guān)[10]。

1.2 車輛動(dòng)力學(xué)方程的建立

以多輛兩軸車為對(duì)象，根據(jù)車輛的動(dòng)力特性，將其簡(jiǎn)化為4自由度的平面車型，包括車體的沉浮和點(diǎn)頭，前后車輪浮沉。兩軸車簡(jiǎn)化模型如圖1所示，圖1中：miv和Jiv為第i輛車車體質(zhì)量和點(diǎn)頭轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；mix1和mix2為第i輛車前后懸架和輪對(duì)質(zhì)量之和；cis1、cis2和kis1、kis2為第i輛車前后懸架彈簧阻尼系數(shù)和剛度系數(shù)；cit1、cit2和kit1、kit2為第i輛車前后車輪的阻尼系數(shù)和剛度系數(shù)；ziv和θiv代表第i輛車車體浮沉位移和點(diǎn)頭角位移；yd和wj分別代表車輪位移和車輪與橋面接觸點(diǎn)處的橋面豎向位移。

L1和L2為兩軸車輛前后懸架至車輛形心間縱向距離，m; Zvr為車體豎向位移，mm; yi1為第i輛前懸架豎向位移，mm; yi2為第i輛后懸架豎向位移，mm;ZCl1為第i輛前輪對(duì)豎向位移，mm; ZCl2為第i輛后輪對(duì)豎向位

根據(jù)D’Alembert原理建立多車動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)方程[11]，如式(1)所示:

(1)

分別對(duì)車體、懸架和輪對(duì)的4自由度進(jìn)行受力分析，根據(jù)公式(1)建立n輛車車體動(dòng)力平衡方程，整理成矩陣形式，如式(2)所示：

(2)

1.3 橋梁動(dòng)力方程的建立

通過(guò)有限元軟件建立橋梁仿真模型，通過(guò)模態(tài)分析獲取橋梁的固有角頻率ωj和振型向量Φ，采用振型疊加法構(gòu)造橋梁模態(tài)方程，并將結(jié)構(gòu)物理坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為模態(tài)坐標(biāo)，如式(3)[12]所示：

(3)

式(3)中：MB=ΦTMΦ為橋梁結(jié)構(gòu)正則化模態(tài)質(zhì)量矩陣；其中M為橋梁結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣；CB=ΦTCΦ為橋梁結(jié)構(gòu)正則化模態(tài)阻尼矩陣，其中C為橋梁結(jié)構(gòu)阻尼矩陣；KB=ΦTKΦ為橋梁結(jié)構(gòu)正則化模態(tài)剛度矩陣；FB=ΦTF為橋梁結(jié)構(gòu)模態(tài)力向量，其中F為車輛作用橋梁的荷載向量：

同理可得出CB和KB矩陣：

式中：ωi為橋梁第i階自振圓頻率；ξi為橋梁第i階頻率對(duì)應(yīng)的阻尼比。

1.4 車橋耦合相互作用分析

如圖2所示，假設(shè)車輛在橋面行駛過(guò)程中車輪時(shí)刻緊貼與橋面不發(fā)生分離，那么j點(diǎn)處車輪下緣的豎向位移為ydj。

圖2 輪-橋接觸點(diǎn)位移協(xié)調(diào)關(guān)系

ydj=wj+rj

(4)

式(4)中:rj為橋面不平整度,mm; 其他類同。

車輪下緣的豎向速度為

(5)

因此，車輪彈簧的壓縮量和黏滯阻尼器的相對(duì)速度為

Δyj=yj-ydj=yj-(wj+rj)

(6)

(7)

式中:yj為車輪的浮沉位移,mm。

在求解j點(diǎn)處車橋系統(tǒng)的位移后，可推導(dǎo)車輛與橋梁在j點(diǎn)處的相互作用力fvbj，如式(8)所示。

(8)

(9)

式中:ktj為車輪的剛度系數(shù)；ctj為車輪的阻尼系數(shù)；v為車輛行車速度。

將式(1)～式(9)進(jìn)行整理，得出多車激勵(lì)車橋耦合系統(tǒng)振動(dòng)方程[13]為

(10)

式(10)中：MB為橋梁質(zhì)量矩陣；CB為橋梁阻尼矩陣；CvB為橋車阻尼耦合矩陣；KB為橋梁剛度矩陣；KvB為橋車剛度耦合矩陣；FB為橋梁所受外力矩陣。

2 沖擊系數(shù)計(jì)算方法

車輛荷載通過(guò)橋梁時(shí)，由于激振力作用橋梁產(chǎn)生的動(dòng)力響應(yīng)，形成沖擊效應(yīng)[9]，為簡(jiǎn)化計(jì)算，采用沖擊系數(shù)進(jìn)行分析，沖擊系數(shù)計(jì)算示意圖如圖3所示，計(jì)算公式如式(11)所示:

圖3 車輛激勵(lì)下橋梁跨中截面沖擊系數(shù)計(jì)算示意圖

μ=1-Ydmax/Yjmax

(11)

式(11)中:Ydmax為車輛過(guò)橋時(shí)，橋梁跨中截面動(dòng)撓度的最大值；Yjmax為橋梁跨中截面的靜撓度最大值。

2.2 各國(guó)沖擊系數(shù)計(jì)算方法

(1)美國(guó)橋梁設(shè)計(jì)規(guī)范(AASHTO LRFD—2018)。橋面接縫-所有極限狀態(tài):μ=0.75；所有構(gòu)件疲勞鍛煉破壞：μ=0.15；其他狀態(tài):μ=0.33。

(2)加拿大橋梁設(shè)計(jì)規(guī)范 (DHBDC2006)。規(guī)范中沖擊系數(shù)與汽車的輪軸數(shù)有關(guān):當(dāng)車輛軸數(shù)為1時(shí)，μ=0.4；當(dāng)車輛軸數(shù)為2時(shí)，μ=0.3；當(dāng)車輛軸數(shù)大于等于3時(shí)，μ=0.25。

(3)英國(guó)橋梁設(shè)計(jì)規(guī)范(BSI2006)中規(guī)定不同交通荷載沖擊系數(shù)取值0.25。

(4)德國(guó)(DIN1072)規(guī)定。

μ=0.4-0.008L

(12)

式(12)中:L為橋梁跨徑,m。

(5)中國(guó)公路橋涵通用規(guī)范[9](JTG D60—2015)。沖擊系數(shù)與結(jié)構(gòu)基頻f的函數(shù)表達(dá)式為

(13)

式(13)中:f為橋梁結(jié)構(gòu)的基頻,Hz。

3 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文方法的正確性，通過(guò)自編程序?qū)⒖嘉墨I(xiàn)[14]算例進(jìn)行計(jì)算分析，相關(guān)參數(shù)如表1、表2所示，計(jì)算結(jié)果如圖4～圖6所示，由于篇幅有限，僅列舉部分對(duì)比數(shù)據(jù)、對(duì)比結(jié)果。

表1 車輛技術(shù)參數(shù)

表2 橋梁技術(shù)參數(shù)

圖4 32 m簡(jiǎn)支梁不同速度荷載作用下跨中位移時(shí)程曲線

如圖4～圖6所示，各個(gè)截面在不同車速下位移響應(yīng)結(jié)果與文獻(xiàn)[14]的計(jì)算結(jié)果較為接近，其曲線走勢(shì)也較為吻合，不同行車速度下自編程序計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[14]結(jié)果的相對(duì)誤差均小于6%，驗(yàn)證了方法的正確性和適用性。

圖5 速度v=40 km/h 的位移響應(yīng)

圖6 速度v=120 km/h 的位移響應(yīng)

4 多車車橋耦合振動(dòng)研究

單輛激勵(lì)通過(guò)橋梁時(shí)，結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)能夠一定程度上反映橋梁振動(dòng)規(guī)律，但與實(shí)際情況有較大不同，為考慮縱向多車激勵(lì)，車輛以車隊(duì)形式通過(guò)橋梁時(shí)，其車橋相互作用更為真實(shí)，因此，開展多車車橋耦合振動(dòng)分析及沖擊系數(shù)研究有一定現(xiàn)實(shí)意義。

在多車車橋耦合分析時(shí)，車輛間距的不同，橋梁振動(dòng)響應(yīng)也不盡相同。為了充分了解不同間距對(duì)橋梁動(dòng)力響應(yīng)，定義車輛間距比p，如圖7和式(14)所示。

圖7 縱向多車激勵(lì)車橋耦合分析示意圖

(14)

式(14)中:p為車輛間距比；li為相鄰兩車車輛間距,m；L為橋梁跨徑,m。

4.1 不同車輛間距比下橋梁位移響應(yīng)分析

為得到不同車輛間距比下橋梁的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，對(duì)兩輛車行駛通過(guò)簡(jiǎn)支梁進(jìn)行仿真分析，其中橋面不平整度采用B級(jí)，通過(guò)自編程序建立了不同車輛間距比模型，并進(jìn)行車橋耦合仿真計(jì)算，如表3和圖8、圖9所示。

圖8 B級(jí)橋面不平整度

表3 不同車輛間距比

從圖9可知，當(dāng)兩輛車輛以不同車輛間距比在橋上行駛，從上橋到下橋，橋梁跨中位移也不盡相同。隨著車輛間距比p減小，橋梁跨中最大豎向位移呈增加趨勢(shì)，當(dāng)p=1/8和p=1/4時(shí)最大豎向位移明顯增加，當(dāng)p=1時(shí)，最大豎向位移接近單車時(shí)的橋梁位移響應(yīng)。

圖9 不同車輛間距比橋梁跨中位移響應(yīng)

4.2 不同車輛數(shù)量橋梁位移響應(yīng)分析

因此，本文分析不同車輛在不同車輛間距下，通過(guò)簡(jiǎn)支梁橋時(shí)橋梁位移響應(yīng)情況[15]。通過(guò)選用2～6輛車作為研究對(duì)象，結(jié)合單車通過(guò)橋梁時(shí)車速對(duì)橋梁振動(dòng)響應(yīng)的影響，選用60 km/h作為車輛行駛速度，分析不同工況下的橋梁振動(dòng)響應(yīng)，如圖10所示。

根據(jù)圖10可知，橋梁跨中最大豎向位移隨車輛數(shù)增加而逐步增大，但車隊(duì)中車輛數(shù)超過(guò)一定車輛時(shí)，橋梁跨中最大豎向位移不再增加，如當(dāng)p=1/4時(shí)，車輛達(dá)到4輛車后，跨中位移達(dá)到極值，為13.51 mm， 為單車過(guò)橋時(shí)的1.4倍，兩車過(guò)橋1.3倍，超過(guò)4輛車時(shí)，橋梁跨中最大豎向位移極值點(diǎn)不在增大。究其原因:隨著車輛增加，橋梁的振動(dòng)響應(yīng)相互疊加，豎向位移逐漸增大；但當(dāng)車輛數(shù)達(dá)到極值點(diǎn)后，由于車輛下橋時(shí)，橋梁阻尼系統(tǒng)對(duì)結(jié)構(gòu)能量的耗散，與新駛?cè)胲囕v對(duì)橋梁振動(dòng)相互疊加，達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡，從而引起跨中豎向位移不在增大。

圖10 不同數(shù)量車輛下橋梁跨中豎向位移時(shí)程曲線

4.3 多車車橋耦合沖擊系數(shù)研究

通過(guò)對(duì)第4.2節(jié)相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，采用式(11)計(jì)算跨中截面位移沖擊系數(shù)，并與不同國(guó)家規(guī)范沖擊系數(shù)的規(guī)定值進(jìn)行對(duì)比分析，如表4、表5所示。

由表4、表5可知:不同間距和車輛作用下，沖擊系數(shù)計(jì)算值介于0.10～0.23；并與不同國(guó)家規(guī)范值進(jìn)行比較，得到在車輛較多時(shí)，德國(guó)規(guī)范和中國(guó)規(guī)范的沖擊系數(shù)小于仿真結(jié)果的最大值，其他國(guó)家的規(guī)范值大于規(guī)范計(jì)算值，表明:這兩國(guó)規(guī)范在多車激勵(lì)車橋耦合分析時(shí)，不太安全，建議在后續(xù)分析中，應(yīng)考慮多車激勵(lì)的影響。

表4 不同工況下跨中截面豎向位移沖擊計(jì)算值

表5 不同國(guó)家沖擊系數(shù)規(guī)范值

5 結(jié)論

(1)采用模態(tài)綜合法建立多車的車橋耦合分析模型，通過(guò)與相關(guān)文獻(xiàn)算例進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果表明:跨中位移響應(yīng)計(jì)算結(jié)果相對(duì)誤差均在6%以內(nèi)，驗(yàn)證了方法的正確性和適用性。

(2)分析了車輛不同間距下，橋梁跨中截面豎向位移的時(shí)程曲線，即當(dāng)車輛間距比減小時(shí)，最大豎向位移明顯增加，當(dāng)p接近1時(shí)，最大豎向位移接近單車時(shí)的位移響應(yīng)。

(3)分析了在給定車輛間距下，不同車輛數(shù)對(duì)橋梁跨中截面豎向位移的影響。結(jié)果表明:橋梁跨中最大豎向位移隨車輛數(shù)增加而逐步增大，但車隊(duì)中車輛數(shù)達(dá)到極值點(diǎn)時(shí)，橋梁跨中最大豎向位移不再增加，其主要原因橋梁阻尼系統(tǒng)對(duì)結(jié)構(gòu)能量的耗散，與新駛?cè)胲囕v對(duì)橋梁振動(dòng)相互疊加，達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡。

(4)通過(guò)計(jì)算不同間距比和車輛作用橋梁時(shí)，跨中截面沖擊系數(shù)變化范圍，并與多國(guó)規(guī)范值進(jìn)行比較，得出在多車激勵(lì)作用橋梁時(shí)，德國(guó)規(guī)范和中國(guó)規(guī)范的沖擊系數(shù)偏于不安全，其他規(guī)范相對(duì)安全，建議在后續(xù)分析中，綜合考慮多車激勵(lì)的影響，相關(guān)研究成果可為公路橋梁多車車橋耦合分析研究提供參考。