動態圓在粒子射出范圍的典型情景中的應用

安徽 沈德宏 王相陽

本文詳細總結了利用旋轉圓、放縮圓、平移圓確定粒子射出范圍的條件和使用方式，并利用動態圓在幾種典型情景下突破難點、總結規律，做到基礎與能力并重，基礎與素養兼容，提高分析問題、解決問題的能力。

雖然帶電粒子在勻強磁場中僅受洛倫茲力作用時的運動是簡單的勻速圓周運動，但高考對帶電粒子在勻強磁場中運動的考查通常會有一定的條件變化和磁場邊界的限制，討論粒子運動范圍或變化中的極值，很多同學缺乏必備的分析方法和有效地使用數學工具，經常是情景模糊，找不到圓心，確定不了臨界狀態，使得此類問題成為高考的難點。掌握必要的觀點和分析方法，直接使用動態圓，或使用動態圓與其他方法相結合，對一些有特殊規律的典型情景進行詳細分析，在變化的過程中突破難點、尋找規律、確定范圍、總結結論，做到基礎與能力并重、基礎與素養兼容，有的放矢，提高分析問題、解決問題的能力。

一、分析粒子射出范圍問題常用的方法

【例1】如圖1所示，在平面直角坐標系xOy內，坐標原點O處有一粒子源，方向與x軸成θ=45°角連續不斷地發射質量為m、電荷量為+q、速度大小為v的粒子，經過足夠長的時間后，在第一象限加一方向垂直紙面向外、磁感應強度為B的勻強磁場，不計粒子的重力及粒子間的相互作用。求：

圖1

(1)粒子在磁場中運動的最短時間；

(2)粒子離開磁場時距O點的最大距離。

圖2

圖3

【點撥】分析此類問題常用以下三種方法：

①“放縮圓”法

當帶電粒子射入勻強磁場時速度v的方向一定，但射入的速度大小變化時，這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡半徑隨速度的變化而變化，如圖4所示(圖中只畫出粒子帶正電的情景)，速度越大，運動半徑也越大，可以以入射點P為定點，圓心一定位于與初速度垂直的直線PP′上，將半徑放縮作軌跡，從而探索出臨界情景，這種方法稱為“放縮圓”法。

圖4

②“旋轉圓”法

當帶電粒子(圖中只畫出粒子帶正電的情景)射入勻強磁場時速度v的大小一定，但射入的方向變化時，粒子做圓周運動的軌跡半徑R是確定的，如圖5所示，可以以入射點O為定點，將軌跡圓旋轉，作出一系列軌跡，從而探索出臨界情景，這種方法稱為“旋轉圓”法。

圖5

③“平移圓”法

圖7

二、幾種典型情景下特殊規律的突破與總結

(一)利用動態圓確定粒子打到板上的范圍

【例2】如圖8所示，S處有一個可向紙面內任意方向發射電子的電子源，平板MN垂直于紙面，在紙面內的長度L=9.1 cm，中點O與S間的距離d=4.55 cm，MN與SO直線的夾角為θ，板所在平面有電子源的一側區域有方向垂直于紙面向外的勻強磁場，磁感應強度B=2.0×10-4T，電子質量m=9.1×10-31kg，電荷量e=-1.6×10-19C，不計電子重力，電子源發射速度v=1.6×106m/s的一個電子，該電子打在板上可能位置的區域長度為l，則

( )

圖8

A.θ=90°時，l=9.1 cm B.θ=60°時，l=9.1 cm

C.θ=30°時，l=4.55 cm D.θ=45°時，l=4.55 cm

【答案】AC

甲

【點撥】本題中帶電粒子在磁場中運動時速度v的大小一定，但射入的方向變化，粒子做圓周運動的軌跡半徑R是確定的，所以由“旋轉圓”法作出一系列軌跡即可找到打在板上可能位置的區域，如圖10所示，可見左右兩邊的臨界情形是不同的，左邊最遠點和射入點在同一直徑上，右邊最遠點是軌跡圓和板的切點，從而確定能夠打到的最大范圍，結合題中數據很容易得到四種情況下粒子都能打到板的最左邊，打到的最右端都是軌跡圓和板的切點，然后進行適當的運算確定選項。

圖10

在利用旋轉圓確定邊界范圍的過程中，我們還會發現在部分范圍內粒子會兩次打到同一點，通過對打到同一點時的特殊情況和一般情況的分析和總結，有利于我們計算能夠打到板的粒子占總粒子的比例問題。如圖11所示軌跡圓再次經過切點A時，連接射出點S、圓心O1、圓心O2和A點，可得四邊形SO1AO2是菱形，則SO2∥O1A，所以O2點在S點正下方，粒子在先后打到切點A的時間里速度方向轉過的角度在數值上等于∠O1SO2；如圖12所示軌跡圓兩次經過同一位置B時，連接射出點S、圓心O3、圓心O4和B點，可得四邊形SO3BO4是菱形，粒子在先后打到B點的時間內速度方向轉過的角度在數值上等于∠O3SO4，由幾何知識可得∠O3SO4=2∠O3SB。

圖11

圖12

(二)動態圓發現、幾何論證確定磁發散中粒子射出的范圍

【例3】如圖13所示，真空中有一以(R，O)為圓心、半徑為R的圓柱形勻強磁場區域，磁場的磁感強度大小為B、方向垂直紙面向里，在y≥R的范圍內，有x軸負方向的勻強電場，電場強度大小為E，從O點向不同方向發射速率相同的質子，質子的運動軌跡均在紙面內。已知質子的電荷量為e，質量為m，質子在磁場中的偏轉半徑也為R，不計重力。求：

(1)質子進入磁場時的速度大小？

(2)速度方向與x軸正方向成30°角范圍內的質子到達y軸時的位置？

圖14

【點撥】上述的解題過程直接使用了磁聚焦的結論：當粒子的軌跡圓和磁場的區域圓半徑相等時，從一點沿不同方向以大小不變的速度射入的粒子一定從垂直于該點所在直徑的方向射出。對于沒有磁聚焦知識儲備的同學如何突破這一難點呢？由表象到本質，由形象到抽象是重要的研究方式，由于帶電粒子射入勻強磁場時速度v的大小一定，射入的方向變化，符合“旋轉圓”特點，利用“旋轉圓”能大致看出粒子飛出磁場時的速度方向都是向上的，這樣就有了利用數學知識進行論證的方向，由于圓周運動中線速度的方向與半徑垂直，而兩圓的半徑相同，所以想到從半徑相等入手做如下處理：在圖14中假設P點是任意射出點，連接射入點、射出點、粒子軌跡圓圓心、磁場區域圓圓心，由于粒子軌跡圓和磁場區域圓半徑相等，所以此四邊形一定是菱形，那么O′P一定平行于射入點和磁場區域圓圓心的連線即x軸，由于圓周運動中線速度與半徑垂直，所以射出時速度方向一定豎直向上。那么磁場中的圓周運動就非常清晰，電場中的運動就是典型的類平拋運動，解題就沒什么障礙了。

(三)抓住動態圓錯綜關系下的共性確定組合場中粒子射出的范圍

【例4】如圖15甲所示的坐標系xOy，一、四象限內有磁感應強度為B，方向垂直于xOy平面向里的勻強磁場，兩平行極板P、Q垂直于y軸且關于x軸對稱，極板右端位于y軸上，極板長度和板間距均為l，P、Q極板間加如圖乙所示的電壓。位于極板左側的粒子源沿x軸向右連續發射速度相同，重力不計的帶正電粒子，已知t=t0時刻(UPQ=U0)發出的粒子恰好在2t0時刻經極板邊緣飛出電場，不考慮粒子間相互影響及返回板間的情況，不考慮極板邊緣的影響，上述B、l、U0、t0均為已知量。

甲

(2)試求在t時刻(0

圖16

【小結】結論固然重要，但掌握物理思想和分析方法更重要，直接使用動態圓或者在動態圓的輔助下結合其他方法往往能有效解決粒子射出范圍的問題。