再議斜面定理二十五例

重慶 李 昱 楊天才

高考物理試題從方位上看，不外乎水平、斜面、豎直，而斜面本身包含了其他兩個方位，研究斜面上(內)物體的運動規律，對解決此類問題有事半功倍的效果，筆者總結了斜面定理五十七例，其中前三十二例已發表在《教學考試》(2018.1、2018.6)上，反響很好，下面將再列舉二十五例。

示意圖內容斜面定理三十三圖1重力為G的光滑小球靜止在傾角為θ的斜面和擋板之間,擋板垂直于水平面時,則擋板、斜面對小球的支持力分別為FN1=Gtanθ、FN2=Gcosθ;擋板垂直于斜面時,則擋板、斜面對小球的支持力分別為FN3=Gsinθ、FN4=Gcosθ斜面定理三十四圖2兩端分別固定著質量為mA和mB的兩個可視為質點的小球A和B的輕桿放在一個直角形光滑槽中,兩球剛好能平衡,已知輕桿與槽右壁成α角,槽右壁與水平地面成θ角時(α≠θ),則mAmB=sinα·sinθcosα·cosθ斜面定理三十五圖3(整體法)傾角分別為θ1、θ2(θ1≠θ2)的斜面體靜止放在水平地面上,已知質量分別為m1、m2(m1≠m2)的物塊靜止在其上,若m1、m2沿斜面勻速下滑,斜面體始終靜止,則地面對斜面體的靜摩擦力為零,即Ff靜=0斜面定理三十六圖4(摩擦角)傾角為θ的斜面體靜止放在水平地面上,已知質量為m的物塊恰可沿其斜面勻速下滑?，F對下滑的物塊施加一個力F,斜面體M始終保持靜止,F向左、向上、甚至向任意方向,只要物塊和斜面體接觸且相對斜面體向下運動(減速或加速),則地面對斜面體的靜摩擦力為零,即Ff靜=0斜面定理三十七圖5(光滑斜面自鎖)傾角為θ的光滑斜面向左做勻加速運動,若小球相對斜面靜止,則a=gtanθ斜面定理三十八圖6(粗糙斜面自鎖)設物體與斜面的動摩擦因數為μ,若最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,當斜面傾角α增大并超過某一臨界角時,不論水平恒力F多大,都不能使物體沿斜面向上滑行,則α≥arctan1μ斜面定理三十九圖7(粗糙斜面自鎖)設物體與斜面的動摩擦因數為μ,若最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,當斜面傾角α減小并超過某一臨界角時,不論豎直恒力F多大,都不能使物體沿斜面向下滑行,則α≤arctanμ

續表

續表

以下是證明過程。

圖26

【斜面定理三十五】如圖3，傾角分別為θ1、θ2(θ1≠θ2)的斜面體靜止放在水平地面上，已知質量分別為m1、m2(m1≠m2)的物塊靜止在其上，若m1、m2沿斜面勻速下滑，斜面體始終靜止，則地面對斜面體的靜摩擦力為零。

【解析】對任一物塊進行受力分析，物塊受重力、沿斜面向上的摩擦力、垂直斜面向上的支持力，由力的平衡條件可知，摩擦力和支持力的合力與重力等大反向，對斜面受力分析，受到重力、物塊的作用力和地面的支持力，其中物塊的作用力的方向豎直向下，斜面體不受水平方向的力，故地面與斜面體間無摩擦力，即Ff靜=0。

【斜面定理三十六】如示意圖4，傾角為θ的粗糙斜面體靜止放在水平地面上，已知質量為m的物塊恰可沿其斜面勻速下滑?，F對下滑的物塊施加一個力F，斜面體M始終保持靜止，F向左、向上、甚至向任意方向，只要物塊和斜面體接觸且相對斜面體向下運動(減速或加速)，則地對斜面體的靜摩擦力為零，即Ff靜=0。

【斜面定理三十七】如示意圖5，傾角為θ的光滑斜面向左做勻加速運動，若小球相對斜面靜止，則a=gtanθ。

【解析】對小球進行受力分析和正交分解由牛頓第二定律有FNsinθ=ma，FNcosθ=mg，解得a=gtanθ。若斜面的加速度a>gtanθ，小球相對斜面沿斜面向上運動，若斜面的加速度a

【斜面定理三十九】如示意圖7，設物體與斜面的動摩擦因數為μ，若最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，當斜面傾角α減小并超過某一臨界角時，不論豎直恒力F多大，都不能使物體沿斜面向下滑行，則α≤arctanμ。

【斜面定理四十】如示意圖8，兩個傾角均為θ的斜桿上分別套兩個圓環，兩環上分別用細線懸吊著兩物體，當它們都沿桿一起向下滑動時，A的懸線與桿垂直，B的懸線豎直向下，則A、C沿桿勻加速運動且a=gsinθ，B、D沿桿勻速直線運動。

【解析】如圖27所示，設A環與桿間的摩擦力為Ff，對A環受力分析，由牛頓第二定律，有mAgsinθ-Ff=ma，對C物體受力分析，由牛頓第二定律，有mCgsinθ=ma，解得Ff=0，a=gsinθ；對D物體受力分析，由于做直線運動，合力與速度在一條直線上或者合力為零，故合力只能為零，物體做勻速運動，B、D一起沿桿勻速直線運動。

圖27

若懸線的方向介于與桿垂直和豎直向下之間，兩物體做勻加速運動，加速度滿足0

【斜面定理四十一】如示意圖9，傾角為θ的斜面固定在彈簧秤上，已知質量為m的物塊用細繩連在斜面頂端，現剪斷細繩，物塊下滑過程中彈簧秤讀數減少了ΔFN失=ma下=mg(sinθ-μcosθ)sinθ(已知物塊和斜面之間的動摩擦因數為μ)

【解析】剪斷繩后，對物塊受力分析，由牛頓第二定律可知，物塊沿斜面向下的加速度為a=g(sinθ-μcosθ)，將加速度分解為水平向左的ax=acosθ和豎直向下的ay=asinθ，其中ΔFN失=ma下=may=mg(sinθ-μcosθ)sinθ。若斜面光滑，ΔFN失=ma下=mgsin2θ。

【斜面定理四十三】如示意圖11，傾角為θ的扶梯，當扶梯向上以加速度a運動時，則扶梯對人的支持力和摩擦力為FN=m(g+asinθ)，Ff=macosθ。

【解析】如圖28所示，先將加速度分解為水平向右的ax=acosθ和豎直向上的ay=asinθ。對人受力分析，由牛頓第二定律，FN-mg=may，Ff=max，解得FN=m(g+asinθ)，Ff=macosθ。

圖28

圖29

【解析】從傾角為θ的斜面底角正上方以相同的速度平拋物體，垂直打到斜面上和以最短路徑打到斜面上，由前面的結論可得，平拋的高度之比h1∶h2=(1+sin2θ)∶4。

【斜面定理五十一】如示意圖19，物體從光滑圓弧面A點靜止釋放一小球，從B點水平飛出，落在傾角為θ的斜面上的C點，AB的高度為h，BC的高度為H，則h與H有定量關系，與初速度大小無關，即H=4htan2θ=htan2α。

11月9日，泰安市召開全市森林防火工作會議，簽訂新一輪森林防火期責任書，安排部署今冬明春的森林防火工作，動員全市上下立即行動，明確任務、壓實責任，強化措施、嚴加防范，確保今冬明春的森林防火工作不出大問題。

【斜面定理五十四】如示意圖22，質量為m的物體，在傾角為θ的斜面內繞固定圓心O做變速圓周運動，則最高點和最低點的向心力之差為ΔFn=mg(4sinθ+2μπcosθ)。(已知物體圓周運動的半徑為r，物體和斜面之間的動摩擦因數為μ)

【斜面定理五十五】如示意圖23，質量為m的物體，在傾角為θ的斜面內繞固定圓心O做變速圓周運動，則最高點和最低點的輕繩拉力之差為ΔFT=mg(6sinθ+2μπcosθ)。(已知物體圓周運動的半徑為r，物體和斜面之間的動摩擦因數為μ)

圖30

[注：本文系重慶市教育科學“十三五”規劃2016年度青少年創新人才培養《普通高中培養青少年創新人才校本課程開發研究》專項課題階段性成果(課題編號：2016-CX-14)]