借助板塊問題和彈簧問題區別功能關系和能量守恒定律

湖南 王經天 劉湘中

在教師的教學過程中，不注重“功能關系”和“能量守恒定律”的辨析和對學生的規范要求，導致學生在利用“功能關系”或“能量守恒定律”建立方程時理論依據不清，列出的方程雜亂無章，教師在批改試卷或作業的過程中需對學生建立的方程進行調整才能判斷學生建立的功能關系或能量守恒的方程是否正確，導致現狀的原因是學生無法分清“功能關系”和“能量守恒定律”，本文通過區別功能關系和能量守恒定律，讓學生在板塊問題和彈簧問題的體驗中找到解決能量問題的基石，讓板塊和彈簧問題不再孤立。

一、理解功和能量變化的關系

1.理解功和能變化的因果關系

功是能量轉化的原因——“因”；能量轉化是力做功的結果——“果”。

2.理解力所做的功和能量變化的定量關系

①在概念上理解功和能的定量關系：功是能量轉化的量度——某個力做了多少功就會有多少能量從一種形式轉化為其他形式。

②借助功能關系示意圖在數值上理解功和能量間的定量關系，力所做的功既等于減少的能量又等于增加的能量。

③借助功能關系示意圖理解系統中減少的能量和增加的能量間的關系，對于某一能量守恒的系統，系統中減少的能量和增加的能量相等。

圖1

3.“尋因究果”理解功能關系式

圖2

學生初學之時，在用功能關系式解題時必須讓學生養成良好的書寫習慣，方程的左邊是力所做的功，方程的右邊是能量或能量的變化，這樣書寫方程才符合功是“因”、能量變化是“果”的邏輯關系。對于考查功能關系的選擇題通常采用“聲東擊西”的策略才能有的放矢。

( )

【答案】BD

【解析】根據功能關系可知，能量的變化是“果”，力做的功才是能量變化的“因”。處理這類問題的方法是“聲東擊西”，即在判斷能量的變化時，先放棄“果”的判斷，轉而先求解能量變化的“因”，即求出引起能量變化的力所做的功。

“因”依據“果”A.合力做的功為WF合=23mghWF合=ΔEk動能增加了23mgh,所以A錯誤B.電場力的做功為WF電=-13mghWF電=-ΔEp電電勢能增加了13mgh,所以B正確C.重力做的功為WG=mghWG=-ΔEp重重力勢能減少了mgh,所以C錯誤D.除重力以外的力做的功為WF電=-13mghW除G、F彈=ΔE機械能減少了13mgh,所以D正確

【點評】“聲東擊西”——先“因”后“果”，水到渠成。

二、理解能量守恒定律

能量守恒定律的表達式之一：E減=E增(或E增=E減)。

在利用能量守恒定律解題時，分析所選的系統中減少的能量和增加的能量，把減少的能量放在方程的一邊，把增加的能量放在方程的另一邊，所建立的方程即為能量守恒定律的方程。

圖3

【點評】在方程的左邊是彈簧和物體A、B整體增加的能量，方程的右邊是彈簧和物體A、B整體減少的能量，因此建立方程的理論依據是能量守恒定律。

三、區別功能關系和能量守恒定律

對比【例1】和【例2】所建立的方程可知，用功能關系和能量守恒定律建立方程的區別是：用功能關系建立方程的時候，方程的左邊是力做的功，方程的右邊是能量的變化；而用能量守恒定律建立方程的時候，方程的一邊是系統內減少的能量，另一邊是系統內增加的能量。學生在初學之時，一定要按照功能關系式和能量守恒方程的區別養成良好的書寫習慣。

四、合理的選擇功能關系式和能量守恒定律處理問題

在所有的功能關系式中，動能定理利用最廣，動能定理對單個物體可用，對多個物體組成的系統可能可用。有兩種情況不可用，在這兩種情況下恰恰利用能量守恒定律非常方便，從而實現了對動能定理的不足之處完美的補充，動能定理不可用的兩種情況如下：

【情形一】如圖4所示，質量為M的長木板靜止在光滑的水平面上，一質量為m的小物塊(可看成質點)以初速度v0滑上長木板的上表面，物塊和木板之間的動摩擦因數為μ，經過一段時間物塊和木板達到共同速度v，此過程中木塊的對地位移為x塊，木板的對地位移為x板，板塊之間的相對位移為d。

圖4

【情形二】如圖5所示，質量為m的小球和輕質彈簧連接在一起并處在壓縮狀態靜止在光滑的地面，左端緊靠墻壁，釋放小球讓彈簧恢復到原長。

圖5

【分析】對彈簧和小球組成的系統，系統所受的合外力為墻壁對彈簧的支持力，支持力不做功，所以彈簧和小球組成的系統的合外力做功為零，根據動能定理有系統的動能不變，而實際上系統的動能增加，由此可見對彈簧和小球組成的系統不能用動能定理。但以彈簧和小球組成的系統可用能量守恒定律進行分析，彈簧減少的彈性勢能等于小球增加的動能，因此此處能量守恒定律給動能定理做了完美的補充。

五、實現利用功能關系式和能量守恒解決問題的自由轉換

【例3】(多選)如圖6所示，一足夠長的木板在光滑的水平面上以速度v向右勻速運動，現將質量為m的物體豎直向下輕輕地放置在木板上的右端，已知物體m和木板之間的動摩擦因數為μ，為保持木板的速度不變，須對木板施一水平向右的作用力F。從物體m放到木板上到它相對木板靜止的過程中，下列說法正確的是

( )

圖6

A.因摩擦產生的熱量為mv2

C.力F對木板做功的數值為mv2

D.力F對木板做功的數值為2mv2

【答案】BC

【解析】方法一：對木板和物塊整體，根據能量守恒定律建立方程。

方法二：分別隔離木板和物塊，根據動能定理建立方程。

【點評】在【例3】中，板塊之間有摩擦且有相對滑動，可單獨對木板或物塊使用動能定理，但不可整體使用動能定理，而對整體可用能量守恒定律建立能量守恒方程；在【例2】中，含有彈簧的問題，不能對彈簧和物體A、B整體使用動能定理求解，但對彈簧和物體A、B整體采用能量守恒建立方程非常方便。利用功能關系式和能量守恒定律既各有所長又各有所短，合理選擇功能關系和能量守恒定律解題才能讓兩者和諧統一。

【例4】如圖7所示，不帶電物體A和帶電的物體B用跨過定滑輪的絕緣輕繩相連，A、B質量分別為2m和m，勁度系數為k的輕彈簧一端固定在水平面上，另一端與物體A相連，傾角為θ的斜面沿斜面向上的勻強電場中，整個系統不計一切摩擦。開始時，物體B在沿斜面向上的外力F=3mgsinθ的作用下保持靜止且輕繩恰好伸直，然后撤去外力F，直到物體B獲得最大速度，且彈簧未超過彈性限度，求物體B獲得最大速度v時，彈簧的彈性勢能為多少？

圖7

【解析】對物體和彈簧連接在一起組成的系統，最好對物體和彈簧整體采用能量守恒定律建立方程處理；當然也可以把物體隔離，分別對物體用動能定理建立方程處理。在平時的學習中，學生面對涉及彈簧能量的問題時建議兩種方法都去嘗試使用，在熟練到一定程度時，可根據自己的喜好合理進行對象的選擇及方法的選擇。

方法一：對彈簧、物體A和B組成的系統，根據能量守恒建立方程。

當施加外力F時，對物體B分析可知

F-mgsinθ-F電=0

所以F電=2mgsinθ

當撤去外力F后，在B獲得最大速度時有

kx=F電+mgsinθ

對彈簧、物體A和B組成的系統據能量守恒定律得

方法二：對物體A和B組成的系統，根據動能定理建立方程。

對A和B組成的系統據動能定理得

其中F電=2mgsinθ，WF彈=Epmax

六、“抓狀態建方程”找到利用功能關系式與能量守恒解決問題的基石

“抓狀態建方程”的內涵：在具體應用中，當物體處在平衡狀態時，往往要對物體進行受力分析建立力的平衡方程；當物體處在加速狀態或處在某個特殊位置時，往往要對物體進行受力分析，根據牛頓第二定律建立加速度的方程。

功能關系和能量守恒肯定離不開力的做功，而功是過程量，因此在進行功能分析的時候，離不開對物體運動的過程分析，在對物體的受力及過程均分析清楚的情況下，才能合理的選擇功能關系式或建立能量守恒的方程。

【例6】如圖8所示，在傾角為30°的光滑斜面上，一輕質彈簧兩端連接兩個質量均為m=1 kg的物塊B和C。物塊C緊靠著擋板P，物塊B通過一跨過光滑定滑輪的輕質細繩與質量為m0=8 kg、可視為質點的小球A相連，與物塊B相連的細繩平行于斜面，小球A在外力作用下靜止在對應圓心角為60°、半徑R=2 m的光滑圓弧軌道的最高點a處，此時細繩恰好伸直且無拉力，圓弧軌道的最低點b與光滑水平軌道bc相切。現由靜止釋放小球A，當小球A滑至b點時，物塊B未到達a點，物塊C恰好離開擋板P。已知重力加速度g取10 m/s2，彈簧始終處于彈性限度內，細繩不可伸長，定滑輪的大小不計。求：

圖8

(1)彈簧的勁度系數；

(2)在物塊C恰好離開擋板P瞬間，小球A的速度vA。

【解析】(1)彈簧的勁度系數k與彈簧的彈力相關聯，因此需對物體進行受力分析，當小球A位于a處時，物塊B處在平衡狀態，需對B建立平衡方程；當小球A滑至b點時物塊C恰好離開擋板P，C的加速度為0，C處在平衡狀態，需對C建立平衡方程——“抓狀態建方程(抓平衡狀態建平衡方程)”

對B由力的平衡得kx=mgsin30°

對C由力的平衡得kx′=mgsin30°

由幾何關系知R=x+x′

將A在b處的速度分解有vAcos30°=vB

【點評】【例6】的第(1)問中抓平衡狀態建平衡方程，是“抓狀態建方程”的典型應用。通過建立平衡方程后可明顯地看出彈簧的壓縮量x和伸長量x′相等，因此彈簧的彈性勢能在這兩個狀態相等，為第(2)問建立能量守恒方程(機械能相等)做好鋪墊。

【例7】(多選)如圖9所示，質量分別為mA=2 kg，mB=1 kg 的兩個物塊中間連接有勁度系數為k=200 N/m的彈簧，整個裝置放在傾角為30°的光滑斜面上，斜面底端有固定擋板，對物體A施加一個沿斜面向下的大小為F=20 N的力，整個裝置處于靜止狀態，g=10 m/s2，突然撤去外力F后，則

( )

圖9

A.當彈簧恢復原長時，物塊A沿斜面上升5 cm

B.當物塊B剛要與擋板分離時，物塊A的加速度為a=7.5 m/s2

C.當物塊B剛要與擋板分離時，物塊A克服重力做的功為1.75 J

D.物塊A和物塊B組成的系統機械能守恒

【答案】BC

【解析】當力F作用在A上時，A處在靜止狀態，需對A建立平衡方程mAgsinθ+F=kx1，解得x1=15 cm，所以A錯誤；撤掉F后，當物塊B剛要與擋板分離時，B的加速度為0，需對B建立平衡方程mBgsinθ=kx2，解得x2=2.5 cm；撤掉F后，當物塊B剛要與擋板分離時，A有加速度，需對A建立牛頓第二定律kx2+mAgsinθ=mAa，解得a=7.5 m/s2，所以B正確；WGA=mAg(x1+x2)=1.75 J，所以C正確；對彈簧、物塊A和B組成的系統：在撤掉外力F后系統的總能量守恒，彈簧的彈性勢能在變化，所以物塊A、B組成的系統的機械能也在變化，所以D錯誤。

【點評】通過“抓狀態建方程”的應用，逐步讓學生對特殊狀態產生一定的敏銳性，為解決能量問題做好應有的鋪墊，所以“抓狀態建方程”是利用功能關系與能量守恒定律解決問題的基石。

板塊問題和彈簧問題是學生學習過程中的疑難點，功能關系和能量守恒定律也是學生學習過程中的疑難點，本文先從理論上辨析了功能關系式和能量守恒定律的區別，再以板塊模型和彈簧模型構建情景，讓學生在使用功能關系式和能量守恒定律解決問題的直接體驗中，對不同的研究對象，學會合理的選擇功能關系式和能量守恒定律，并通過“抓狀態建方程”的應用，力求讓學生找到功能關系和能量守恒的基石，同時讓板塊問題和彈簧問題不再孤立。