在相對運動中選取合適的方法與規律優化解題思路
——以一道模擬考題的多種解法為例

湖北 鄧 艾 杜 俊

本文從一道擬模考題出發，闡述了在相對運動問題中，取不同參考系時不同的解題過程的方法；求碰撞問題中的速度時，可以以運動的物體為參考系來簡化問題求解，也可以取系統進行受力分析尋找動量守恒以及能量關系的方程進行求解，極大地簡化問題的處理。據此進一步分析傳送帶模型中求電機多做功時的兩種方法。

湖北2021屆考生是新高考改革第一屆，按照教育部考試中心發布的高考評價體系說明，核心價值在“四層”考查內容中居于首要地位，對學科素養、關鍵能力、必備知識具有引領作用。在考查要求上強調基礎性、綜合性、應用性與創新性。在物理考試的命題特點上，突出對物理主干知識的考查，以不同的情境設置作為載體對學生思維能力和學科素養的考查顯得更加頻繁。

按照現階段湖北新高考官方消息，物理作為原始分科目雖然總分值沒有太大變化，但是考試的時長由原來的90分鐘縮短至75分鐘，試題結構上基本確定計算題由原來的4道減為3道。考試過程中在解題時選取合適的方法能極大地簡化問題，節約解題時間。此外對某類賦予新情境的題目若能識別出真正的原型，并迅速確定相應的解題方法，這在復習備考階段尤其重要。下面以湖北省12月底組織的一次大型模擬考試中物理試卷的15題為例，對三種解題方法分別加以闡述，在此基礎上對這一類問題進行相關的總結。

【原題】如圖1所示，光滑水平地面上放置著滑塊A、B(均可視為質點)，其質量分別為mA=1 kg，mB=4 kg，t=0時，B以初速度v0=10 m/s向右運動，并對A、B施加大小相等、方向相反的恒力F，且F=8 N。其v-t圖像如圖2所示，t=2.5 s時A、B發生彈性碰撞(作用時間極短)，求：

圖1

圖2

(1)t=0時，A、B之間的距離x0；

(2)碰撞后，A的速度減為零時，A、B之間的距離Δx。

【分析】考查目的：以A、B兩個滑塊的相對運動為背景，設置生活實踐情境，考查牛頓第二定律、勻變速直線運動基本公式、相遇問題、彈性碰撞能量關系以及速度大小的定量計算等必備知識，考查相對運動中幾何位置關系的分析、運動與碰撞問題的關聯整合、對碰撞中能量關系的運用，體現了對運動觀、相互作用觀、能量觀等物理觀念的考查。

解析一

方法1：由牛頓第二定律可知aA=8 m/s2，aB=2 m/s2

由幾何關系分析可知x0=xA-xB

代入數據解得x0=6.25 m。

方法2：以A為參考系，B的初速度為10 m/s，方向向右；B的加速度為10 m/s2，方向向左。任意時刻B相對A的位移為x=10t-5t2

將t=2.5 s代入可知B相對A的位移為-6.25 m，其中負號代表B相對A位移的方向向左

因而x0=6.25 m。

啟示：方法1是比較常規的解題思路，分別計算A、B碰撞前對地位移再建立空間幾何方程。方法2是以運動的物體為參考系，分析相對初速度、相對加速度，求解相對位移。這種解題方法在高中物理中板塊模型相對運動，計算摩擦力做功產生的內能時經常用到，而且非常方便。只是部分學生不習慣建立這種非慣性參考系分析物理問題。

解析二

方法1：由(1)可知碰撞前vA=20 m/s，vB=5 m/s

由彈性碰撞可知

根據位移公式有

代入解得Δx=6.25 m

圖3

本題中的難點在于：如何解決兩個都在運動的物體發生彈性碰撞后速度求解的問題，我們仍然取正在運動的B物體為參考系，則A以(vA-vB)的速度撞擊靜止狀態的B物體，此時碰撞后A、B速度仍然滿足上述速度公式，即

則以地面為參考系有

同理以地面為參考系有

代入數據可以得出碰撞后vA″=-4 m/s，vB″=11 m/s

啟示：方法2比方法1在計算碰撞速度的策略上更勝一籌，相比于解比較復雜的一元二次方程組，方法2可以節省大量時間，當然前提是學生對碰撞的速度公式牢記在心并能在考試的有限時間中靈活熟練運用且不出錯。

方法3：以A、B整體作為系統，力F大小相等，方向相反，水平地面光滑整體不受摩擦力，因此系統動量守恒。對初始時刻到A第二次速度減為0的過程列動量守恒的方程可知：此時B的速度為10 m/s

啟示：方法3充分利用題目創設的物理情境，以系統為研究對象確定動量守恒快速求解末狀態B的速度大小；在此基礎上對B運用功能關系，從功的角度理解：B動能的變化等于力F做功，將力F對B做的功對應的位移轉化為初末兩個時刻相對位移的計算。

【總結】上述3種方法的運用實際上是對高中階段主干知識運用的考查。其中方法1是從基本的運動學過程的分析，思路最簡單最直接，但是耗時最長。方法2是教材上的彈性碰撞的能量方程與速度公式的推廣應用。思維過程最高級方法3實際上是對系統進行動量分析與能量轉化過程的分析。

以下是本題的作答情況統計：

題號分值平均分區分度得分率得分統計占比15147.680.554.87%[0,4)17.05%[4,8)26.65%[8,12)36.68%[12,14)6.25%

根據上述數據分析可以看出：大部分學生能夠在第(1)問中得分，但是滿分的學生不多。說明學生對于彈性碰撞的動量與能量的守恒關系的認識與應用不夠。選取合適的方法有助于學生在較短的時間內準確作答。

筆者對這道題創設的問題情境進行了相關的整理與思考：本質上本題中的外力F與傳送帶模型中物塊與傳送帶之間只受摩擦力作用類似，物塊往往根據不同題設條件發生不同的狀態變化，傳送帶往往設置為在電機帶動下勻速運動，因此系統動量不守恒。在涉及與傳送帶模型相關的問題探討時，比如“電機由于放上物塊時多做的功”這類問題，學生往往容易出錯，甚至很多學生選擇直接跳過。下面我們同樣截取湖北省2020年某次大型聯考的壓軸題第(3)問為例進行說明：

圖4

【分析】考查目的：以傳送帶模型為背景，設置生活實踐情境，考查摩擦力、牛頓第二定律、相對運動的動力學過程分析、能量轉化的具體關系等必備知識，將相對運動與內能關聯整合，考查了運動觀、相互作用觀、能量觀等物理觀念。

方法1：對物塊進行動力學過程分析可知，第一階段：

物塊初始加速度滿足mgsin37°+μmgcos37°=ma1

代入數據得a1=10 m/s2，摩擦力方向向下

經時間t1=0.2 s物塊與傳送帶共速，物塊的對地位移為x1=0.4 m，傳送帶的位移L1=0.2 m

第二階段：由于物塊C所受滑動摩擦力比重力沿斜面向下的分力小，因此物塊第二階段的加速度滿足

mgsin37°-μmgcos37°=ma2

代入得a2=2 m/s2，摩擦力方向向上

經時間t1=0.5 s物塊速度減速至0

物塊的對地位移為x2=0.25 m，傳送帶的位移

L2=0.5 m

取物塊與傳送帶組成的系統為研究對象，由能量轉化與守恒的方程可得W=ΔEk+ΔEp+Q

代入可知ΔEk=-3 J

物塊在整個過程中向上運動的位移x=x1+x2

代入得x=0.65 m

又因為ΔEp=mgxsin37°

代入可得ΔEp=2.6 J

摩擦力做功產生的熱量

Q=μmgcos37°(x1-L1+L2-x2)

代入數據解得Q=1.2 J

因此電動機多做的功W=0.8 J。

方法2：以傳送帶為研究對象，電機之所以會多做功是因為物塊放到傳送帶上，傳送帶受到摩擦力作用，傳送帶克服摩擦力做的功。

本題中物塊運動的第一階段：傳送帶受摩擦力與傳送帶運動方向相同，因此多做的功

【總結】方法1是對物塊與傳送帶組成的系統運用能量轉化與守恒的方程分析，這種思路最直接，原本應是最簡單的，但是學生實際計算時不理解能量轉化的具體過程，往往各個能量的符號容易出現錯誤，比如上述過程中 ΔEk<0，ΔEp>0；出現這種錯誤的部分原因可能是：認為物塊運動過程中重力做負功，因而ΔEp<0，本質原因是混淆動能定理和能量轉化與守恒定律的應用的不同，功與能的轉化過程認識模糊。在熱量Q的計算中處理相對路程時，部分學生直接運用物塊前、后階段的對地位移進行計算，還有部分學生沒有仔細分析前、后兩個階段相對運動的具體情況，比如直接考慮將(L1+L2-x1-x2)作為相對路程。

方法2是選取傳送帶為研究對象進行能量的計算，避開系統內各個能量相互轉化的分析。但值得注意的是：此處摩擦力作用在傳送帶上對傳送帶做的功對應的位移為傳送帶的對地位移，且由于摩擦力方向變化引起前、后兩個階段做功的符號不同。

在平時的學習中，我們要選取合適的研究對象，運用恰當的物理定律與定理解題能極大的簡化計算過程，節省解題時間。