重視模型建構過程，強化模型思想培養

魯家寶 魯正超

[摘要] 數學模型是數學基礎知識與數學應用之間的橋梁，建構數學模型的過程就是將數學理論知識應用于實際問題的過程。課堂教學是數學模型思想培養的主陣地，在教學設計中教師應引導學生建構模型，讓學生會學;強化數學模型思想培養，在實踐中應用數學模型解決問題，從而提升學生學科素養。

[關鍵詞] 教學研究;教法設計;數學建模;潛能開發

《義務教育數學課程標準（2011年版）》將數學的建模和用模問題上升為模型思想。為落實這一核心理念，深化課堂教學改革，發展學生核心素養，提升教學研究水平和實踐能力，以人教版三年級上冊“認識幾分之一”為例，探討在教與學的設計過程中引導學生建構數學模型，應用數學模型解決實踐問題，從而強化模型思想培養。

一、重視模型建構過程，讓學生會學

（一）創設情境，提供建模信息

師：大家最喜歡看的動畫片是哪部？現在請大家去看《熊出沒》，好嗎？（出示課件）

[設計意圖]根據教材編排和學生年齡特點，選擇小學生喜聞樂見的《熊出沒》為情境，以熊大過生日為主線，讓學生在喜愛的動畫片中激發學習興趣，為后續建構數學模型提供信息，并奠定學習感情基礎。

（二）嘗試探索，經歷建模過程

1.教學案例一

（1）認識二分之一。

師：他的好兄弟熊二送上了自己親手做的生日蛋糕。（課件出示熊二及配音：把這個蛋糕分給我們兄弟倆，怎樣分最公平）

學生觀察后獨立思考。教師則根據學生回答講解：每份分得同樣多，數學上叫“平均分”;最后提出問題：把一個蛋糕平均分成兩份，每人分得多少？如何表示呢？學生思考后反饋，明白“一半”即整個蛋糕的1/2。

[設計意圖]通過“怎樣分最公平”奠定最原始的分數產生的依據——平均分，學生自主思考建立從“一半”即“二分之一”的數學模型1/2（數學概念），這樣設計既符合新課程理念的要求又體現了學生的主體地位。

學生小組合作、交流：誰能根據分蛋糕的過程相互說說二分之一是怎樣產生的？教師根據學生反饋，板書二分之一的意義，經過剖析，再引導學生讀、寫1/2。

[設計意圖]讓學生在小組合作交流中重新認識二分之一是怎樣產生的，在完善概念的同時培養了學生的數學思考能力和表達能力。

（2）認識四分之一。

師：將同樣的蛋糕分給四個小伙伴（多媒體播放并配音），該怎么樣分才公平？大家能按照我們認識1/2的過程說說各自的結果嗎？

學生小組交流，然后進行展示。最后，拓展延伸。（教師在點撥的基礎上舉例延伸：把一個蛋糕平均分成6份，每份是它的幾分之一？若是10份、50份呢）

（3）自學1/3、1/5。

師：我們認識了1/2、1/4，那么能否依據圖形來認識1/3、1/5呢？

學生自主學習，并展示學習成果。

（4）教師講解。介紹分數概念、各部分名稱及讀法。

[設計意圖]有了認識二分之一的基礎，在認識四分之一時給予學生充分的信任，放手讓學生通過小組間的討論與合作得出結論，不僅達到強調“平均分”的目的，而且在思考過程中，充分尊重和發揮學生在數學建模過程的主體作用，促進自主學習，使學生學會通過實踐尋找例證的學習方法，并通過拓展延伸強化學生對分數的理解。在此基礎上，放手讓學生自主學習，建構起1/3、1/5的模型，掌握數學學習方法。

2.教學案例二

（1）出示自學提綱：折一折，把一張正方形紙折出它的1/4;涂一涂，用你喜歡的方法涂出其中的一份;比一比，看大家的折法是否相同。現在就請大家動手折一折，看看能有什么有趣的發現。

（2）學生動手折、畫，教師要求學生上臺展示作品，并說明折的過程，然后相互評價。

（3）小結：不管怎么折，只要把正方形平均分成四份，每份就是它的1/4。

[設計意圖]基于導學，實際操作，促進內化，呈現活動中“放”的過程。由于操作實踐目的明確、方法清楚，把學生的認識推向深入，不同的學生有不同的折法，每種折法各請一位學生上臺演示和說明，并將學生作品展示在黑板上。教師不失時機地引導學生進行相互評價，既能激發學生學習的情感，又突出分數概念中的“平均分”“每份”等重要屬性。

3.教學案例三

師：同學們折紙折得興高采烈，熊二卻有點兒悶悶不樂。這是什么原因呢？我們一起看看吧！（出示課件，引導學生觀察、比較分數的大小）

學生分小組觀察、交流討論，隨后教師提出質疑：在比較分數大小時你發現了什么？

[設計意圖]在大量感知材料基礎上，學生能輕而易舉地發現，對同樣大的物體進行比較時，平均分的份數越多，其中一份的數反而越小。經過試講，發現學生由圖與數的結合確實一眼就能看出兩個分數的大小，但卻不能很好利用數學語言進行說明，所以教師可以引導學生盡量運用數學的語言來進行說明，但不作統一要求。另外，此環節尤其注重生生互評，讓學生在評價中提升自己的學好數學能力。

4.小結

師：我們通過平均分認識了像1/2、1/3、1/4、1/5這樣的分數，還知道了分數各部分名稱，會比較分數的大小。現在大家能否用所學知識解決問題呢？

（三）解決問題，應用數學模型

1.教材第91頁“做一做”（出示課件）

第1題是配合例1和例2的練習，讓學生用分數表示圖形中涂色部分，可以幫助學生進一步理解幾分之一的含義，使學生直觀看到：不論一個圖形形狀如何，只要是把它平均分，其中的一份就是它的幾分之一。

第2題安排了兩組幾分之一的分數進行比較，分數對應的直觀圖比較抽象，分數對應的線段圖呈上下排列，便于學生觀察比較。

2.教材第94頁第1、2、3題（出示課件）

這三道題以“闖關”形式串聯出現，目的是讓學生在學習數學上得到個性發展，受到恰當的數學教育。

3.拓展作業

讓學生用圓形折出自己喜歡的分數，并將其中的一份或幾份涂上自己喜歡的顏色，說說這個分數是多少。

[設計意圖]作業的內容包羅了整節課所學知識，或許在學生的創作中還會出現后面學習的幾分之幾的知識，既鞏固了新知，又拓展了知識，為后續學習分數奠定了基礎，達到了“課雖盡而趣無窮”的效果。

（四）總結收獲，積累數學經驗

師：同學們通過“學”認識了1/2，通過“想”知道了1/4、1/3、1/5等分數，通過“折”理解了分數的基本含義，通過“比”知道了分數的大小。大家對自己在這節課的表現滿意嗎？

[設計意圖]引導學生梳理知識，反思自己數學建模的過程，領悟學習方法，獲得數學學習的經驗和愉悅的情感體驗。

二、強化模型思想培養，提升學生數學素養

建模思想是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。這些內容的學習有助于學生形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識。在本節課設計過程中，教師以《熊出沒》熊大過生日的生活情境為線索，從數學的角度思考，抓住了生活數學化、數學生活化的有機聯系，充分體現了從“講”（教師講解）到“學”（自主學習）到“動”（動手操作）到“評價”（多元評價）再到“撥”（教師點撥）的循環過程。讓學生經歷感悟知識、體驗過程、理解概念，形成建構分數概念的數學模型，并應用模型解決實踐問題。

（一）在體驗中經歷建構數學模型的過程

就許多小學內容來說，本身就是一種數學模型。在這個意義上，我們每堂課都在建立數學模型。本節課的教學內容是起始概念，是學生在認識整數后認識分數，從整數到分數是數的認識的一次重要擴展，也是學生認識數的概念的一次質的飛躍。“幾分之一”這節課的內容是本單元知識最為基礎的內容，教師基于三年級學生的認知特點，巧妙而靈活地設計教與學的全過程，讓學生在體驗中經歷建構數學模型（分數）的全過程。

（二）在活動中應用數學模型解決問題

數學模型是數學基礎知識與數學應用之間的橋梁，建立和處理數學模型的過程，就是將數學理論知識應用于實際問題的過程。應用數學模型解決問題是在學生的數學學習過程中所必需的。在新課程理念下，解決問題的練習設計也要注入新的內涵，在進行基本訓練的同時，努力讓不同層次的學生得到不同的發展，受到不同的數學教育。教師的練習設計分三個層次：第一個層次是面向全體練習的基本題。第二個層次是通過三道題以“闖關”形式串聯出現，目的是讓學生靈活應用數學模型解決問題。第三個層次是拓展練習，目的讓學生在活動中，愉快地理解、掌握知識，達到課雖盡而趣無窮的效果。三個層次的練習，面向全體，使學生人人品嘗到學習數學成功的快樂。

（三）在總結中積累建構數學模型的經驗

在“總結收獲，積累經驗”環節，教師借助板書內容，引導學生觀察，并進行總結提升。學生經歷感知數學模型建構表象，感悟建構數學模型過程，體驗建構模型經驗，強化了模型思想培養。這樣，學生在梳理知識、反思學習中，領會學習方法、積累建構數學模型經驗，為后續知識學習起到“導學”的作用。

數學是自然科學的基礎，數學學習與研究的核心問題是數學建模與用模問題。數學建模與數學教學有著相互制約、相互促進的關系。而數學教學是數學建模的基礎，數學建模促進了教學觀念更新、教學方法改革。所以，數學建模的本質是應用建立的數學模型來解決實際問題，它是數學學習的一種新的方式，關系到學生的終身發展。