例談基本圖形的教學策略

高曉程

摘 ? 要：基本圖形的教學要在學生理解圖形結構的基礎上，通過變式強化圖形的本質屬性，從不同層次設置練習，鞏固圖形結構，深化對圖形結構的理解，從而助力學生直觀想象的發展.

關鍵詞：教學策略;旋轉;直觀想象

基本圖形的教學目的是發展學生的直觀想象.直觀想象是借助于幾何直觀和空間想象感知事物的形態和變化，利用空間形式特別是圖形來理解和解決問題的素養[ 1 ].直觀想象能力比較強的學生當看到幾何圖形的一部分時，能將圖形的全貌補充完整，從而解決問題.但很多時候我們發現，并不是將基本圖形告訴學生，學生就能應用.故要深化學生對基本圖形的認識，讓學生充分經歷基本圖形結構的形成過程，從不同的感官和角度理解圖形的結構，助力學生從復雜圖形中識別基本圖形，或是從一般圖形中構造基本圖形.

本文以“共頂點，等線段”這個基本圖形為例，談談基本圖形教學的策略.

1 ?重視對基本圖形結構的生成過程

圖形的結構是圖形的基礎，無論是從復雜圖形中識別還是構造圖形都是基于圖形的結構進行識別和構造的.因此，基本圖形的教學不僅僅要讓學生明白基本圖形的結構，更要認識基本圖形的結構為何是這樣的.在教學過程中應注重圖形結構的生成過程，讓學生主動參與到圖形結構的發現與構建的過程，深化對圖形結構的理解.

為了讓學生參與“共頂點，等線段”這個基本圖形的結構生成，首先讓學生完成下面三個問題，通過從圖形中尋找經過旋轉可完全重合的兩個三角形，通過問題（4），找出這些圖形的共同特征，歸納圖形的基本結構.

（1）如圖1，等腰RtΔABC，∠C=90°，點D在AC的延長線上，連接DB，點F是BC邊上的一點，且CF=CD，圖中是否存在經過旋轉可完全重合的兩個三角形，并敘述旋轉的過程.

（2）如圖2，ΔABC和ΔBED均為等邊三角形，A，D，E三點共線，圖中是否存在經過旋轉可完全重合的兩個三角形，并敘述旋轉的過程.

（3）如圖3，正方形ABCD的對角線AC和BD交于點O，點E在BC上，連接OE，作OF⊥OE交CD于點F，圖中是否存在經過旋轉可完全重合的兩個三角形，并敘述旋轉的過程.

（4）上述的三個問題中都存在著經過旋轉可完全重合的兩個三角形，觀察圖1～圖3，這三組旋轉變換有何共同特征？這三幅圖形有何共同特征？

設計意圖：這是學生學完旋轉的性質之后，應用旋轉的性質解決圖形問題.通過引導學生圍繞旋轉的三要素先觀察圖1～3，找出圖形中經過旋轉可完全重合的兩個三角形，在敘述旋轉的過程中，引導學生發現三組旋轉變換的共同特征，旋轉中心都是兩個三角形公共頂點，旋轉角度都是兩條相等線段的夾角.接著讓學生關注題干條件，每個小題中都有提供等腰三角形，然后讓學生結合在圖1～3中找到的旋轉變換對比分析，等腰三角形的兩條腰就是旋轉變換中的一組對應邊，等腰三角形的頂角就是旋轉角，等腰三角形頂角的頂點就是旋轉中心.

2 ?通過變式促進對基本圖形結構的理解

通過改變外部圖形的條件，讓學生辨析圖形中是否存在經過旋轉能重合的兩個三角形，進一步明確外部圖形的結構，可以深化學生對旋轉的理解，提升對旋轉的認識，為后續能夠從圖形的結構出發構造旋轉型的全等三角形奠定基礎.

（5）如圖4，等腰三角形ABC和等腰三角形DEF的形狀相同，但大小不一樣，當這兩個等腰三角形如何放置時，可以得到兩個全等三角形，使得它們可以通過旋轉完成重合？請在空白處畫出示意圖，并確定旋轉中心和旋轉角.

（6）如果圖4中的兩個等腰三角形的頂角∠A與∠D不相等，經過旋轉還能得到可重合的兩個三角形嗎？

（7）請歸納，經過旋轉能得到兩個重合的三角形的圖形應具備什么條件？

（8）想一想，為何圖形中存在“共頂點，等線段”的結構可以構造旋轉型的全等三角形？

設計意圖：通過前面4個問題讓學生獲得如下經驗，圖形中有等腰三角形時可能存在經過旋轉可完全重合的兩個三角形，其中旋轉中心是等腰三角形頂角的頂點，旋轉角是等腰三角形的頂角.問題（5）從等線段共頂點到讓學生動手自己擺放，體驗當頂點不重合時經過旋轉能重合的兩個三角形不存在，當底角的頂點重合時，經過旋轉能重合的兩個三角形不存在，此時兩個三角形經過旋轉后位似.從而明確第一個條件兩組相等的線段要共頂點.問題（6）從兩個相似的等腰三角形到兩個等腰三角形不相似，讓學生體會從相似有旋轉，到不相似沒有旋轉的變化中，明確圖形的第二個條件，相等的線段的夾角要相等，并且這個夾角就是旋轉角.通過問題（7）讓學生歸納圖形特征：圖形中可以找到兩組等線段，且這兩組等線段滿足兩個條件，四條線段共頂點，且相等線段的夾角相等，從而獲得圖形的基本結構.最后通過問題（8）構建圖形結構與旋轉性質的聯系，從旋轉性質的角度再次認識圖形結構，讓學生明白和接受圖形的結構.

3 ?設置有層次的練習掌握圖形結構特征

學生習得一個基本圖形除了讓學生充分經歷圖形結構的形成過程之外，要讓學生會在具體的情境中應用還需要一定程度的練習.通過設置有層次的練習可以助力學生掌握基本圖形.練習可以分為三個層次：

層次一：能直接從圖形中看出“共頂點，等線段”，主動尋找或是構造旋轉型的全等三角形.該層次的練習不一定要讓學生完整解決問題，可以是根據條件或圖形添加輔助線，或是完成某個部分的求解.如圖5，AD是邊長為6的等邊ΔABC的BC邊上的高，點E是AD上一個動點，連接CE，將CE繞點C逆時針旋轉60°到CF的位置，如果要添加一條輔助線，你會如何添加？為什么？目的是鞏固圖形結構，通過練習建立“共頂點，等線段”與旋轉型的全等三角形的聯系，發展直觀想象，為學生解決后兩個層次的問題鋪墊.

層次二：能從條件或結論中推斷需要改變線段的位置但不改變線段的長度，主動尋找“共頂點，等線段”構造旋轉改變線段位置.該層次的練習要讓學生明白當需要構造旋轉型的全等三角形時要尋找圖形中“共頂點，等線段”.如圖6，正方形ABCD中，點E，F分別在邊BC，CD上，且∠EAF=45°，求證：EF=BE+DF.明確尋找或構造基本圖形的目的，

層次三：借助直觀想象，根據“共頂點，等線段”先構造旋轉型的全等三角形，通過旋轉的性質結合已知條件解決問題.練習的最終目標就是要學生能活動直觀，靈活應用圖形解決問題.如已知∠MON=60°，P為射線OM上的點，OP=1.如圖7，α=60°，A，B均為射線ON上的點，OA=1，OB>OA，ΔPBC為等邊三角形，且O，C兩點位于直線PB的異側，連接AC.判斷直線AC與OM的位置關系并加以證明.

基本圖形的教學是發展學生直觀想象的過程，教學的過程要重視圖形結構的理解，讓學生知其然，知其所以然，知其何以所以然.通過從一類圖形中歸納，抽象出基本圖形的結構，利用所學的幾何知識解釋說明基本圖形的結構，通過有層次的變式練習促進不同程度的學生對圖形結構的理解，從而掌握基本圖形的本質屬性，發展直觀想象.

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.