數形結合：換和上方式學乘法

任教鋒

【摘要】小學數學拓展課的選材問題，不僅關系到學生思維與能力的培養，也關系到學生對課內知識的理解和掌握。教師可以以人教版教材中“你知道嗎”等內容為素材，在對其進行補充、完善與整合的基礎上，開發數學拓展課，讓拓展課成為促進學生發展的重要途徑。

【關鍵詞】格子乘法;數學史;教學實踐

小學數學拓展課的選材問題，不僅關系到學生思維與能力的培養，也關系到學生對課內知識的理解和掌握。如何選擇數學拓展課的學習素材，是體現教師課程設計能力的關鍵要素之一。教師可以將人教版教材中“你知道嗎？”這個欄目中的內容作為素材，在對其進行補充、完善與整合的基礎上，開發數學拓展課。三年級拓展課《格子乘法》就是由此而來的。

【課前思考】

（一）關于學習時間的思考

人教版教材把“格子乘法”作為一種“新”方法，放在四年級上冊“你知道嗎？”這個欄目中，以課外知識補充的形式讓學生了解。但基于這一內容開發的拓展課，更適合在三年級下學期進行教學。首先，從人教版教材的編排體系來看，學生在三年級下學期學習了兩位數乘兩位數的筆算乘法，具備學習這個內容的知識基礎。其次，將“格子乘法”的學習順序前置，不僅能豐富兩位數乘兩位數的筆算方法，也為學生后續學習三位數乘兩位數提供新的思路。

（二）關于教學目標的思考

“格子乘法”是人類文明的重要遺產，可以豐富學生對數學文化的了解。同時，作為解決乘法計算問題的一種方法，其背后有乘法的意義、運算定律等算理的支撐，與常規列豎式計算方法在形式上有所不同，更有利于促進學生對算理的理解。本課的教學目標如下：

1.理解“格子乘法”的算理和算法，建立“格子乘法”模型，并能用這種方法進行兩位數乘兩位數的計算。

2.了解乘法發展史，提高學習數學的興趣，感受數學的魅力。

【教學過程】

（一）復習回顧，引入新知

1.復習回顧

教師出示47x58，并引導：我們已經學過兩位數乘兩位數的筆算乘法，請你計算“47×58”這道題目，說一說你是怎么做的。

生：47×58就是求58個47是多少，可以先算出50個47，再算出8個47，最后把它們的積相加，算式是47×58=47×50+47×8=2350+376=2726。

生：列豎式計算，先用58個位上的8去乘47，積的末尾和個位對齊，再用58的十位上的5去乘47，積的末尾和十位對齊，再把兩次乘得的積相加。

（生說過程，師出示豎式圖，如圖1）

2.引入“格子乘法”

師：老師這里有一種方法，也計算出了47×58的積（見圖2），你能看懂這是什么意思嗎？

引導學生交流體會，在學生了解了用“格子乘法”解決問題的過程以后，請學生繼續思考，列豎式與“格子乘法”之間有什么相同和不同之處。

生：計算方法不一樣、形式不一樣、樣子不一樣、寫法不一樣，計算結果一樣……

師：是不是所有的乘法都能這樣來算呢？我們需要來驗證一下。

（設計意圖：學生在學習了兩位數乘兩位數筆算乘法之后，往往對筆算乘法形成了思維定式。“格子乘法”這種學生眼中的“新”方法，會有效地激發起他們的好奇心和求知欲。學生自然地聯想到，是不是所有的乘法都能這樣來算呢？從而推動課堂教學。）

（二）閱讀嘗試，獲取新知

1.借助學習材料自學

師：到底是不是所有的乘法都可以這樣計算呢？老師這里有一份關于“格子乘法”的學習材料（見下文），請你按要求完成任務。（1）讀一讀：材料中的方法是怎么樣的？（2）試一試：用兩種方法（豎式計算和材料中的方法）計算一題。（3）說一說：你有什么發現？

學習材料

我們如果要計算47×58，根據“格子乘法”可以這樣算。

第一步：畫一個兩行兩列的格子，然后畫出每個格子中的對角線。把第一個乘數47按從左往右的順序寫在格子的上面，再把第二個乘數58按從上到下的順序寫在格子的右邊。

第二步：先算7乘5等于35，分別寫上3和5，接著算4乘5等于20，分別寫上2和0，再算7乘8等于56，分別寫上5和6，最后算4乘8等于32，分別寫上3和2。

第三步：把每條斜線中的數字相加，寫在下面，如果滿十了，就要向上一條斜線進1。

所以47乘58等于2726。

2.模仿驗證

學生依據學習材料，模仿編題計算并驗證，完成之后集中匯報。

生：我的算式是46X23，用列豎式的方法計算得出1058，用“格子乘法”算出來的也是1058。

生：我舉的例子是27X16，用兩種方法算出來的積是一樣的。

……

師：那我們能下結論了嗎？（生眾：可以）

師（小結）：材料中的這種方法可以計算出兩位數乘兩位數的積。

（設計意圖：數學活動是學生獲取數學知識和數學經驗的有效途徑之一。教學時教師首先給出學習材料，讓學生通過數學閱讀來了解“格子乘法”的計算步驟和方法，再引導學生進行舉例驗證，感受格子乘法計算結果的正確性。）

（三）理解算理，嘗試拓展

1.微課介紹算理

師：請你結合題目，想一想這種計算方法的道理在哪里。讓我們通過一個微課再來認識一下這種方法吧。（播放微課介紹算理，具體見圖3）

師：你能給這種方法取個名字嗎？

生：斜線乘法、格子乘法、方格乘法……

2.嘗試拓展

師：剛才我們計算的都是兩位數乘兩位數，那么，三位數乘兩位數、三位數乘三位數也能用這種方法算出積嗎？請同學們自己寫一道三位數乘兩位數或三位數乘三位數的題目，用這種方法試一試。

（生嘗試獨立完成）

（設計意圖：計算教學必須重視先讓學生在理解算理的基礎上掌握算法，再通過算法間的對比和溝通，加深對算理的理解。當然，學生需要掌握算法，但更需要經歷建構算法的過程，從而實現算理與算法的內在統一。）

（四）數學文化，感受體會

師：其實，乘法計算的方法還有很多，同學們熟悉的用豎式計算的方法，是經過人們長期實踐、驗證，最終在諸多方法中被“選擇”出來的一種被大家廣泛認可的方法。

介紹：古埃及有倍乘法，中國古代有籌算乘法，古印度、意大利有豎式乘法、格子乘法，現在的豎式乘法（算法見圖4，介紹過程略）

師：通過今天的學習，你是否也能創造出一種與眾不同的計算方法呢？

（設計意圖：整堂課結束之前，安排了了解數學乘法演變過程的內容，將數學文化滲入課堂、融入教學。學生不僅了解了知識結論，還了解了知識的形成過程，領悟了問題的本質。）

【教學反思】

（一）基于認知基礎，建立數學猜想

學生學習了兩位數乘兩位數筆算乘法之后，已經初步理解算理，掌握了基本算法，在之后的計算中往往都采用既定的程序性算法去計算，很少去思考還有沒有其他的方法。“格子乘法”可以拓展學生的思路，讓學生體會到計算可以有不同的方法。當然，介紹方法時不要直接告訴學生這種方法一定能計算兩位數乘兩位數，而是引導學生先提出質疑“是不是所有的乘法都能這樣來算呢”，再讓學生經歷提出數學猜想、進行數學思考的過程，符合學習數學的規律。

（二）組織數學活動，驗證數學猜想

一個數學規律或者一種計算方法是否成立，需要經得起實踐檢驗，教學中有必要安排數學活動，引導學生通過驗證，說明之前的判斷與猜想是否正確。本節課教師先給出學習材料，引導學生通過數學閱讀的方式了解“格子乘法”的計算方法，再讓學生選擇不同的算式舉例驗證。這是讓學生經歷由特殊到一股，說明規律一般性和適用性的過程。

（三）多種方法溝通，理解算法算理

判斷“格子乘法”是否可行，不僅要看其與豎式計算結果是否一致，還要理解其中的道理。比如，計算47×58，無論是豎式計算，還是格子計算，都用到了四句口訣：7乘5，實際上就是7乘50;4乘5，實際上就是40乘50;7乘8，其實是47個位上的7乘58個位上的8;4乘8，其實是40乘8。最后，如果再依據斜線的方向，將同一斜線上的所有數相加，從本質來講，就是相同數位相加，滿十進一。由此不難理解，“格子乘法”其實就是豎式的另外一種表征形式。引導學生體會到這一點，并對兩者進行結構關聯，是本節課教學中教師重點解決的問題之一。

（四）了解乘法演變，感受數學文化

數學文化的基本內容是數學史、數學家、數學思想、數學思維、數學方法等等。數學文化的根本特征是它表現了一種探索精神。在課尾，教師呈現歷史上多種不同的乘法計算方法，將數學文化融入教學之中，讓學生了解知識的形成過程，加深對所學知識的理解。

人教版教材中的“你知道嗎？”欄目中所蘊含的知識內容，為教師課程創新提供了豐富的內容素材。在拓展課開發過程中，教師要注重內容的篩選，將符合學生認知水平、能滿足學生學習心理需求的內容，進行完善與重組，讓拓展課真正成為促進學生發展的重要途徑。