火山巖油藏壓裂水平井應(yīng)力敏感產(chǎn)能模型

孔垂顯，巴忠臣，崔志松，華美瑞，劉月田，馬 晶

（1.中國石油新疆油田分公司勘探開發(fā)研究院，新疆克拉瑪依 834000；2.中國石油大學(xué)（北京）油氣資源與探測國家重點實驗室，北京 102249）

0 引言

火山巖油藏巖石物性、成藏機理與砂巖油藏大不相同，其儲層裂縫發(fā)育，具有產(chǎn)能分布復(fù)雜、產(chǎn)量遞減快、無穩(wěn)產(chǎn)期、見水特征多樣、井間干擾嚴(yán)重、衰竭式開發(fā)采收率低等開發(fā)特征［1-2］。因此，火山巖油藏產(chǎn)能分析和預(yù)測具有重要意義。

近年來大量的國內(nèi)外學(xué)者建立了眾多數(shù)學(xué)模型來描述裂縫性油藏的滲流問題。自20 世紀(jì)，Larsen等［3］和Guo 等［4］推導(dǎo)出了有限導(dǎo)流能力垂直裂縫水平井壓力模型和產(chǎn)能模型，但未考慮裂縫與裂縫之間的干擾；郎兆新等［5］推導(dǎo)出壓裂水平井產(chǎn)量計算公式，得到了產(chǎn)量和生產(chǎn)壓降與裂縫長度和裂縫條數(shù)的關(guān)系；程林松等［6］推導(dǎo)出了分支水平井流場分布和產(chǎn)能計算公式；Horne 等［7］基于Guo 的模型，考慮了裂縫之間的相互干擾，并進行了進一步推導(dǎo)；范子菲等［8］推導(dǎo)出裂縫性油藏水平井穩(wěn)態(tài)公式，且考慮到了油層的各向異性和裂縫部分穿透油層；寧正福等［9］基于文獻［6］對水平井產(chǎn)能預(yù)測公式進行了重新推導(dǎo)和修正，考慮了裂縫內(nèi)存在滲流阻力和壓力損失；Zerzar 等［10］建立了考慮射孔影響的水平井流態(tài)模型；郭肖等［11］研究了應(yīng)力敏感和啟動壓力梯度對低滲透氣藏水平井產(chǎn)能的影響；Valko 等［12］著手于壓裂水平井壓力分布模型的建立和求解，且考慮到了裂縫與裂縫之間的影響。Bello 等［13］將次生裂縫簡化成雙重介質(zhì)模型［14］，建立了雙線性流模型；Brown 等［15］建立了三線性流模型，將油藏滲流分為3 個區(qū)域，即人工裂縫區(qū)、主裂縫之間的體積壓裂區(qū)和未壓裂區(qū)；姚軍等［16］在Brown 模型的基礎(chǔ)上，建立了含有啟動壓力梯度的三線性流模型；蘇玉亮等［17］進一步推廣了三線性流模型，著重研究了壓裂縫網(wǎng)參數(shù)對產(chǎn)量的影響，但這些模型均未考慮到儲層的應(yīng)力敏感性。

火山巖產(chǎn)能預(yù)測除了解析與半解析方法，還有數(shù)值模擬和一些人工智能的方法。潘有軍等［18］采用歸一化處理和多元線性回歸法預(yù)測火山巖油藏油井壓裂后的初期產(chǎn)能，但對于產(chǎn)能影響因素的敏感性無法判斷。蘇皓等［19］基于離散裂縫模型的數(shù)值模擬方法建立了體積壓裂水平井模擬模型，但數(shù)值模擬方法很難考慮非常規(guī)儲層的滲流機理。宋宣毅等［20］通過機器學(xué)習(xí)的算法建立了產(chǎn)能預(yù)測的模型，但沒有考慮油藏滲流規(guī)律上的影響因素。

本文考慮油藏滲流的啟動壓力梯度和應(yīng)力敏感特征，建立火山巖油藏分區(qū)產(chǎn)能模型，得到拉氏空間壓裂水平井復(fù)合流動模型，并對新疆油田某區(qū)塊進行模型驗證，最后對各區(qū)主要影響因素進行敏感性分析，以期為火山巖油藏的開發(fā)提供有價值的指導(dǎo)。

1 物理模型和假設(shè)條件

設(shè)某壓裂盒狀火山巖油藏，儲層內(nèi)發(fā)育天然裂縫，水平井位于油藏中心，根據(jù)井筒的對稱性，選擇如圖1 所示的流動單元（單條裂縫控制區(qū)域）。圖1中油藏長度為LR，m；油藏寬度為WR，m；水平井長度為LH，m；裂縫間距為2ye，m。

圖1 火山巖油藏壓裂水平井縫網(wǎng)改造模型Fig.1 Modification model of fracture network of fractured horizontal well in volcanic reservoirs

如圖2 所示，本文油藏滲流模型基于Warren-Root 模型。將壓裂后的儲層劃分為5 個區(qū)域：區(qū)域1（0 ≤x≤xf，0 ≤y≤w/2）為人工裂縫區(qū)（HF 區(qū)），可近似為單重介質(zhì)線性流；區(qū)域2（0 ≤x≤xf，w/2 ≤y≤L）為縫網(wǎng)改造區(qū)（FSRV 區(qū)）；區(qū)域3（0 ≤x≤xe，w/2 ≤y≤ye）為部分縫網(wǎng)改造區(qū)（PSRV 區(qū)）；區(qū)域4（xf≤x≤xe，w/2 ≤y≤ye）和區(qū)域5（xf≤x≤xe，L≤y≤ye）均為未改造區(qū)（USRV 區(qū)），采用雙重介質(zhì)表征，其中孔隙和天然裂縫為儲集空間，人工裂縫為流動通道。

圖2 壓裂水平井縫網(wǎng)改造五區(qū)流動模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of five-zone flow model for fracture network reformation of fractured horizontal wells

模型的其他假設(shè)條件為：

（1）油藏外邊界封閉，原始地層壓力為pe，儲層厚度為h，儲層中部一口壓裂水平井，考慮2 種工作制度：定壓情況和定產(chǎn)情況；

（2）各條主裂縫等間距分布且性質(zhì)相同，主裂縫高度等于儲層厚度，相鄰2 條主裂縫間的中間位置為不滲透流動邊界；

（3）流體流動為單相非穩(wěn)態(tài)流動，不考慮重力、毛管壓力和井筒中的阻力；

（4）流體從USRV 區(qū)流入FSRV 區(qū)和PSRV 區(qū)再流入HF 區(qū)，最后流入水平井；

（5）整個區(qū)域內(nèi)由應(yīng)力敏感性導(dǎo)致的滲透率變化不可忽略；在USRV 區(qū)內(nèi)，臨界壓力梯度不可忽略。

在整個區(qū)域，裂縫滲透性隨著地層壓力的降低而降低，考慮到應(yīng)力敏感作用，遵循Kikani 和Pedrosa［21］所提出的應(yīng)力敏感規(guī)律，通常用滲透率模量γ來表征儲層滲透率隨地層壓力的變化程度：

式中：γ為滲透率模量，MPa-1；k為滲透率，mD；P為壓降，MPa。

在USRV 區(qū)，地層具有超低滲透性的微小孔喉，其非達西流動是由臨界壓力梯度引起的。因此，本文選擇擬啟動壓力梯度方法來描述非達西流，表示為

式中：v為滲流速度，m/h；λm是啟動壓力梯度，MPa/m；μ為黏度，mPa·s。

2 數(shù)學(xué)模型及其求解

2.1 無量綱參數(shù)

在物理模型和假設(shè)條件的基礎(chǔ)上，為了便于理解和推導(dǎo)，對無量綱參數(shù)進行定義，如表1所列。

表1 無量綱參數(shù)Table 1 Dimensionless parameters

2.2 分區(qū)數(shù)學(xué)模型

（1）USRV 區(qū)的數(shù)學(xué)模型

將USRV 區(qū)5 視為雙重介質(zhì)，根據(jù)質(zhì)量守恒原理，可以得到雙重介質(zhì)系統(tǒng)的連續(xù)性方程。在區(qū)域4 和5 中，假設(shè)這些區(qū)域在X方向上只有一維線性流，此外，根據(jù)等式使用啟動壓力梯度來描述非達西流，可以表示為

根據(jù)滲透率模量的定義，當(dāng)生產(chǎn)過程中地層壓力降低時，滲透率應(yīng)力敏感性不能忽略，可表示為

式中：p為目前地層壓力，MPa；ke為初始條件下的滲透率，mD。

如圖2 所示，區(qū)域5 的外邊界是不滲透的，其內(nèi)邊界是區(qū)域3 的外邊界。因此，外部邊界為非流動邊界，內(nèi)部邊界中區(qū)域3 和區(qū)域5 之間的壓力相等。結(jié)合初始條件和邊界條件，可以得到區(qū)域5 的無量綱數(shù)學(xué)模型：

由于區(qū)域4 和5 都是USRV 區(qū)，并且具有相同的屬性，因此采用與區(qū)域5 相同的方法，考慮到邊界條件和初始條件，可以得到區(qū)域4 的無量綱數(shù)學(xué)模型：

（2）PSRV 區(qū)的數(shù)學(xué)模型

在PSRV 區(qū)，流體流動遵循達西定律。假設(shè)Y方向為線性流動，并考慮應(yīng)力敏感性。外邊界是儲層的邊界，即非流動邊界。內(nèi)邊界兩側(cè)的壓力相等。結(jié)合初始條件和邊界條件，考慮從區(qū)域5 流入?yún)^(qū)域3 的流體。無量綱模型為

式中：G為重力加速度，m2/s。

（3）FSRV 區(qū)的數(shù)學(xué)模型

假設(shè)Y方向為線性流，并遵循類似的推導(dǎo)過程（如區(qū)域3），但考慮流量守恒的外部邊界除外。考慮從區(qū)域4 流入?yún)^(qū)域2 的流體，描述區(qū)域2 流動的無因次滲流模型為

式中：M32表示3 區(qū)和2 區(qū)的流度比，。

（4）HF區(qū)的數(shù)學(xué)模型

HF 區(qū)的流體流動也假設(shè)為X方向的線性流。考慮到應(yīng)力敏感性的影響，人工裂縫中的流量控制方程為

上面的模型是定產(chǎn)條件下的數(shù)學(xué)模型，當(dāng)考慮定壓條件下，只有邊界條件發(fā)生改變：

式中：代表拉普拉斯域下的單條裂縫產(chǎn)量，m3/d。

2.3 模型求解

由于應(yīng)力敏感，整個區(qū)域的方程都是強非線性的，利用Kikani 等［21］的代換和拉普拉斯變換消除非線性，可以得到拉普拉斯域的井底壓力解：

因為無因次滲透率模量較小，所以只要零階攝動解就可以滿足計算的精度要求。另外，拉普拉斯變換可以將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程。通過上述分析，可以得到變換后的解。由于定產(chǎn)和定壓2種情況的區(qū)別是區(qū)域1 的內(nèi)邊界不同，所以求解過程相似，以定產(chǎn)情況為例來描述求解過程。區(qū)域5—1 的無因次滲流模型分別為

其中：s是拉普拉斯參數(shù)。為了簡化，用fsi代替部分公式：

然后在拉普拉斯域分別求解方程（14）和方程（15）中的模型，得到如下解：

將式（20）代入式（17）得到區(qū)域2 的解，然后利用這些解導(dǎo)出區(qū)域1 的解，進一步得到拉普拉斯域的無量綱井底壓力。

考慮實際生產(chǎn)的情況，還要考慮表皮系數(shù)（S）和井筒儲存效應(yīng)（CD），根據(jù)Duhamel 原理，井底壓力為

將Sthefest 數(shù)值反演式采用攝動變換法求解實際井底壓力：

同理，可以求出定壓條件下的無量綱產(chǎn)量的拉氏解為

再根據(jù)攝動變換的逆變換和Sthefest 數(shù)值反演進行求解。

2.4 多裂縫疊加處理

如圖3 壓裂水平井的裂縫分布所示，假設(shè)主裂縫在水平井上均勻分布，定壓情況下，不同裂縫處的產(chǎn)量不盡相同；定產(chǎn)情況下，不同裂縫處的井底流壓也不同。根據(jù)裂縫的形狀參數(shù)（裂縫橫向控制長度與垂向控制長度之比），將裂縫分為端部和內(nèi)部2 種情況，假設(shè)裂縫條數(shù)為N條，則有

圖3 壓裂水平井的裂縫分布Fig.3 Fracture distribution of fractured horizontal well

內(nèi)部裂縫：

端部裂縫：

主裂縫均勻分布的壓裂井的無因次壓力和產(chǎn)量表達式為

定產(chǎn)工作制度：

定壓工作制度：

3 參數(shù)敏感性分析

（1）FSRV 區(qū)竄流系數(shù)

設(shè)計了FSRV 區(qū)的竄流系數(shù)為1.5，15.0，150.0共3 組試驗。從圖4可看出，F(xiàn)SRV 區(qū)竄流系數(shù)的大小主要影響生產(chǎn)的中期。油井前期產(chǎn)量主要依靠人工裂縫供給，無量綱產(chǎn)量曲線無變化，然后FSRV 區(qū)和PSRV 區(qū)成為主要液量供給。這是因為竄流系數(shù)越大，F(xiàn)SRV區(qū)的基質(zhì)和裂縫的流體交換更容易，即基質(zhì)向裂縫的過渡發(fā)生的越早，反之則越晚。由于補充及時使產(chǎn)量更早地出現(xiàn)平穩(wěn)階段，曲線上顯示為：FSRV 區(qū)竄流系數(shù)越大，則曲線平穩(wěn)段出現(xiàn)得越早。

圖4 FSRV 區(qū)竄流系數(shù)對無量綱產(chǎn)量的影響Fig.4 Influence of transfer coefficient of FSRV zone on non-dimensional yield

（2）FSRV 區(qū)長度

設(shè)計了FSRV 區(qū)半長分別為120 m，100 m，80 m 3 組試驗。從圖5 可看出：隨著FSRV 區(qū)長度的增大，SRV 的作用效果越晚，非縫網(wǎng)改造區(qū)越少，大大減少了流體的滲流阻力，因此在曲線圖上表現(xiàn)為：FSRV 區(qū)裂縫半長越長，則無量綱產(chǎn)量越高，產(chǎn)量曲線表現(xiàn)為上移。

圖5 FSRV 區(qū)半長對無量綱產(chǎn)量的影響Fig.5 Effect of half-length of FSRV zone on non-dimensional yield

（3）FSRV區(qū)裂縫滲透率

設(shè)計了FSRV區(qū)裂縫滲透率為500 mD，1 000 mD，1 500 mD 共3 組試驗。FSRV 區(qū)滲透率越大，證明人工裂縫與天然裂縫溝通越好，裂縫的導(dǎo)流能力越強，壓裂水平井產(chǎn)能就越大，曲線上表現(xiàn)為上移。從圖6 可以看出，隨著生產(chǎn)時間的推移，縫網(wǎng)改造區(qū)的滲透率越大，應(yīng)力敏感就越明顯，后期產(chǎn)量下降越迅速。

圖6 FSRV 區(qū)裂縫滲透率對無量綱產(chǎn)量的影響Fig.6 Influence of fracture permeability of FSRV zone on dimensionless yield

（4）FSRV 寬度

設(shè)計了FSRV 區(qū)寬度為20 m，60 m，100 m 共3組試驗。從圖7 可以看出，F(xiàn)SRV 的寬度主要影響生產(chǎn)過程的中期，前期人工裂縫對產(chǎn)量的供給起到了主要作用，曲線無變化，中期SRV 區(qū)開始供給流體，寬度越大，縫網(wǎng)改造效果越明顯，無量綱產(chǎn)量平穩(wěn)階段出現(xiàn)的越早，平穩(wěn)階段對應(yīng)產(chǎn)量也就越高。

圖7 FSRV 區(qū)寬度對無量綱產(chǎn)量的影響Fig.7 Effect of width of FSRV zone on non-dimensional yield

（5）滲透率模量

設(shè)計了FSRV 區(qū)的滲透率模量為0.02 MPa-1，0.04 MPa-1，0.06 MPa-1共3 組試驗。從圖8 可以看出，應(yīng)力敏感影響所有的生產(chǎn)時期，雖然變化的幅度不是很明顯，但隨著生產(chǎn)時間的增加，滲透率模量越大，對無量綱產(chǎn)量的降低也越明顯。

圖8 FSRV 區(qū)滲透率模量對無量綱產(chǎn)量的影響Fig.8 Influence of permeability modulus of FSRV zone on dimensionless yield

（6）啟動壓力梯度

設(shè)計了FSRV 區(qū)的啟動壓力梯度為0.01 MPa-1，0.02 MPa-1，0.03 MPa-1共3 組試驗。從圖9 可以看出，啟動壓力梯度主要影響生產(chǎn)的后期，生產(chǎn)初期產(chǎn)量由FSRV 等區(qū)域供給，所以產(chǎn)量曲線沒有變化。隨著開發(fā)的進行，當(dāng)壓力波傳到USRV 區(qū)，USRV區(qū)的啟動壓力梯度越大，則流體流動過程中所需克服的啟動壓力梯度就越大，油井產(chǎn)量下降就越快。

圖9 啟動壓力梯度對無量綱產(chǎn)量的影響Fig.9 Influence of starting pressure gradient on non-dimensional output

4 壓裂水平井復(fù)合流動模型驗證

油藏的長度為1 800 m，寬度為600 m，高度為15 m。水平井長1 400 m，水力裂縫為8 條，縫網(wǎng)改造區(qū)半長和半寬分別為100 m 和20 m，水力裂縫的孔隙度、滲透率和半寬分別為20%，10 000 mD 和0.003 m。2—5 區(qū)裂縫的滲透率分別為1 000 mD，100 mD，10 mD，10 mD，基質(zhì)滲透率分別為0.14 mD，0.14 mD，0.2 mD，0.2 mD，孔隙度分別為15%，15%，11%，11%，巖石壓縮系數(shù)為0.000 23 MPa-1，流體壓縮系數(shù)為0.005 MPa-1，原油黏度為1.5 mPa·s，地層體積系數(shù)為1.2，單裂縫產(chǎn)量為4 m3/d，啟動壓力梯度為0.02 MPa/m，滲透率模量為0.02 MPa-1。考慮表皮系數(shù)和無因次井筒儲集系數(shù)，利用上述模型和參數(shù)計算了火山巖儲集層壓力曲線（圖10）。

圖10 火山巖油藏壓裂水平井壓力動態(tài)曲線Fig.10 Pressure dynamic curve of fractured horizontal well in volcanic reservoir

如圖10 所示，可將流型劃分為8 個階段：①HF和FSRV 區(qū)的雙線性流，其中壓力曲線與壓力導(dǎo)數(shù)曲線平行，斜率為1/4，當(dāng)考慮表皮系數(shù)和井孔儲集系數(shù)時，雙線性流被掩蓋；②FSRV 區(qū)裂縫與基質(zhì)之間的竄流，在壓力導(dǎo)數(shù)曲線中存在凹槽；③PSRV 區(qū)的線性流動，其中壓力曲線平行于壓力導(dǎo)數(shù)曲線，斜率為1/4；④PSRV 區(qū)裂縫與基質(zhì)之間的竄流，壓力梯度的導(dǎo)數(shù)曲線變平緩（近似凹槽）；⑤USRV 區(qū)的線性流動；⑥USRV區(qū)裂縫與基質(zhì)之間的竄流，壓力梯度的導(dǎo)數(shù)曲線上升速度減慢（近似凹槽）；⑦整個區(qū)域的復(fù)雜線性流動（FSRV+PSRV+USRV）；⑧邊界控制流。

4.1 模型驗證與對比

將推導(dǎo)出的定產(chǎn)條件下的日產(chǎn)油量公式利用MATLAB 編程，結(jié)合新疆油田準(zhǔn)噶爾盆地火山巖油藏某井實際礦場資料，計算出解析解下的日產(chǎn)油量，并將其與實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)進行對比。從圖11 可以看出，復(fù)合流動模型的計算結(jié)果與實際產(chǎn)量吻合較好，證明了解析模型的準(zhǔn)確性。

圖11 復(fù)合流動模型驗證Fig.11 Validation of composite flow model

5 結(jié)論

（1）火山巖油藏壓裂水平井復(fù)合流動模型考慮了油藏內(nèi)部多尺度流動，將儲層細(xì)劃為5 個連續(xù)流動區(qū)域：USRV（未改造區(qū)）區(qū)域4 和5，F(xiàn)SRV（完全改造區(qū)）區(qū)域2，PSRV（部分壓裂改造區(qū)）區(qū)域3 和HF（人工裂縫區(qū)）區(qū)域1。

（2）考慮火山巖儲層中流體滲流存在啟動壓力梯度及應(yīng)力敏感性，建立了封閉邊界火山巖油藏壓裂水平井?dāng)?shù)學(xué)模型，求解了偏微分方程并應(yīng)用Laplace 變換和Stehfest 數(shù)值反演得到了定產(chǎn)和定壓情況下封閉邊界單條裂縫的井底壓力和水平井產(chǎn)量解析解。

（3）產(chǎn)能影響因素敏感性分析表明，SRV 區(qū)的參數(shù)（如寬度、長度、滲透率）主要影響中間流動階段。USRV 區(qū)的參數(shù)（如寬度、長度、滲透率）、非達西流動和應(yīng)力敏感性主要影響后期流動階段。此外，未改造區(qū)的的啟動壓力梯度、應(yīng)力敏感性以及儲滲方式對產(chǎn)量變化有重要影響。