思政角度下談高等數學中建模思想的滲透與引導
——理論聯系實際的橋梁

王 丹 郝志峰

（濟南大學數學科學學院 山東·濟南 250022）

1 研究現狀

為了發揮數學課程的育人作用，從思政的角度探討建模思想在高等數學教學過程中的滲透與引導對學生創新能力、思想道德以及科學精神等方面的影響。隨著現代科技的迅猛發展，數學的應用已經滲透到生產生活的方方面面。因此，培養學生將實際問題轉化為數學問題的能力，對其綜合素質和創新能力的提高具有非常重要的促進作用。

高等數學作為理工科專業的必修課之一，在大學新生的課程中占有舉足輕重的地位。但是實際的教學過程中因為課時、講授內容等方面的制約使得課堂上以講解為主，習題以概念、計算的練習為主。很多與實際相關的例題、習題經常被略過，這一現象使學生在遇到實際問題時，常常感到“力不從心”，不知該如何下手。因此，為了提高大學生正確認識問題、分析以及解決問題的能力，利用好高等數學的課堂，向學生滲透“建模思想”，對其未來學習以及實踐具有長遠的影響。

數學模型的建立將實際問題與理論分析有機的結合在一起，將實際的研究對象與擬達到的目的通過其內在的規律，以及適當的假設和簡化，用數學符號、關系式和定理等形式表達成實際問題中涉及的數量關系以及空間構型的一種數學語言。

2 數學建模思想引入高等數學學習的重要性

2.1 有助于激發學生學習的積極性，提高教學效果

在教學過程中，適當引入一些與實際生產生活相關的例子，可以激發學生的積極性。如在高等數學概念課講授中，因為相關知識理論性較強，相對有些枯燥，致使教學效果不太理想。因此在講授該部分內容時，可以加入一些數學發展史的內容，使學生了解其重要性。比如在講微積分時可以給學生講授其發展歷史，從最初的解決天文學中的三體問題到現在其對力學、機械制造乃至醫學中影像、CT等發展的影響；在講授導數定義時，介紹現在列車電子屏上顯示的實時速度等，可以提高學生對該部分內容學習的積極性，對真正的掌握微積分的概念奠定基礎，為相關的實際問題解決所蘊含的建模思想有一定的認識。

2.2 有利于提高學生的創新思維和創新能力

數學建模思想的建立是一個理論與實踐相結合、協同發展的具有創造性的思維過程。在具體問題的解決中，學生根據自身的知識儲備，會迸發出不同的思維火花，我們要保護學生這種創新思維的種子，引導他們最終通過自己的知識構架解決問題，從而提高學生的創新思維和能力。

2.3 提高學生正確認識問題、分析問題和解決問題等方面的綜合能力

建模思想的建立對學生解決實際問題有非常重要的作用。學生在初步體會了建模思想帶來的趣味后，會將其嘗試著用到其他相關問題的解決中。建模思想的樹立和應用將全面提高學生在認識問題、分析問題和解決問題等綜合能力。

3 “建模思想”的實施建議與策略

建模過程具有邏輯性，該思想的滲透與引導需要一定的策略來實現：

（1）利用課上寶貴時間，在新內容講授前通過案例分析，引導學生以建模的思想理解、掌握新知識；使學生建立統籌的格局觀、認識觀。向學生介紹建模思想，鼓勵學生挖掘其內部的隱含關系；以問題引導學生積極思考。在課程結束總結時，引導學生捋清建模思想涉及的整個過程，讓學生真正體會到站到不同角度看問題的好處，該種思想的逐步確立將對學生今后的學習、工作起到一定的潛移默化的作用。

（2）課下積極向學生介紹相關資料與讀物，拓展學生的知識面，讓學生認識到高等數學是看得見、摸得著、用得上的“好玩”的知識，對解決實際問題有非常重要的作用，從而激發學生學習的興趣。

（3）以教學月為單元，向學生拋出與本月學習內容相關的建模問題，設置開放性的答案，采取小組合作的方式，鼓勵學生開展小組內的溝通與交流，并記錄下其中遇到的問題以及解決方法，最后總結不同的建模方法。

4 具體案例的剖析

高等數學中微積分、函數的最值問題、常微分方程的求解等內容都滲透著豐富的哲學、數學思想。思政背景下，引導學生發掘其內在的建模思想對培養學生的創新思想、大國工匠精神具有非常重要的作用。

4.1 一元定積分積分問題

定積分思想中蘊含了豐富的哲學思想，即“化零為整”的由局部到整體，由量變（近似、求和）達到質變（取極限）的辯證法思想，且與我國古代數學家劉徽的“割圓術”的思想切合。讓學生認識到積分是為了解決從變力做的功和求曲邊梯形的面積等實際問題中抽象出來的。在遇到實際問題時，可以采取“分割、近似、求和、取極限”的建模思想對其進行研究。

例1：每天用到的手機、電腦都會顯示實時的網速，如何確定在時間段t=[0,1]內消耗的總流量。設網速與時刻t的關系滿足，如圖曲線所圍成的面積即為該時間段內消耗的流量。引出求曲邊梯形的面積問題，如圖1所示，同時介紹以直代曲、近似、求和、取極限的模型思想，引導學生思考圖形的劃分問題。將區間[0,1]進行n等分，并用小矩形左側點的函數值近似代替矩形的高度，則有如下的近似關系：

圖1：曲邊梯形的分割

在此基礎上，給出定積分的定義，更有利于學生理解。同樣的在講授多重積分時，會采用同樣的建模思想，便于學生理解掌握。

4.2 微分方程思想在證明題中的應用

4.3 一元與多元函數的最值問題

5 結論

因此，在實際教學活動中，要重視建模思想的滲透與引入，將會激發學生的學習興趣，提高教學效果，此外對提高學生的抽象思維、邏輯推理能力以及解決實際問題的能力都有非常重要的影響。從思政的角度，也培養了學生的綜合能力，為其未來發展打下良好的基礎。