淺談《理論力學》習題的多變性和靈活性

李云濤

（中國石油大學（北京） 北京 102249）

1 研究背景與意義

《理論力學》是機械類等工科專業的基礎課程，為學生學習后續課程如《材料力學》《機械設計基礎》等奠定了必要的基礎。《理論力學》具有科學嚴密性和應用靈活性，可以很好地培養學生邏輯思維能力、抽象簡化能力、實踐應用能力。

《理論力學》的學習需通過一定量的習題訓練才能熟練掌握。目前國內高校普遍采用的教材大多較為經典，市面上已出版多本針對各類教材的課后習題解答。學生極易在文庫等網絡資源中找到課后習題答案，致使作業抄襲的現象較為普遍。但是，《理論力學》的習題一般具有多變性和靈活性的特點，基于此，教師可以對一些經典習題做出些許變化，或對解題方法做出必要的要求，并以“雨課堂”等網絡輔助教學手段推送給學生，在一定程度上可以避免學生不加思考而抄襲作業的現象。

2 習題的多變性和靈活性

《理論力學》習題的多變性體現在，對于同一道題目，可以通過些許的變化，使題目的求解過程和答案發生較大變化，即“一題多變”。例如，對于一些機構，可以增加約束使其成為靜力學問題；或是對于一些結構，可以解除部分約束使其成為運動學/動力學問題。當然，也可以改變主動力的作用位置等，對題目做出修改。這樣做的好處是在有限題目的基礎上，通過對課后習題的變形，將其轉化為一道獨特的題目，學生很難在網絡上搜索到答案。即使搜到原來的題目，也需要加以思考，在充分理解的基礎上，對變化后的題目做出解答。當然，如果學生直接抄襲原題解答，在批改作業時也能一眼識別。這就在一定程度上避免了抄襲作業的現象。

《理論力學》習題的靈活性則體現在，同一道題往往有不同的解題方法，即“一題多解”。以動力學題目為例，通常可以采用“動能定理”，或是“動量定理+動量矩定理”，又或者是“達朗貝爾原理”等多種不同的方法作答。而在對動力學題目做運動學分析時，又可以通過點的合成運動，或是對全局運動方程求導等多種方式進行求解。在使用動量矩定理時，也可以對定點取矩，或是對質心取矩，又或者是對瞬心取矩（當瞬心與質心的距離始終不變時）。這樣組合起來，每道題就會呈現出更多的解法。而網絡上搜到的題目答案，往往只是一種方法，若要求學生采用多種方法求解，那么也能在一定程度上避免抄襲作業的現象。

以下通過一道非常簡單的例題加以體現。

3 典型示例

如圖1（a）所示，將一個長度L，質量m的均質直桿AB（梯子）置于墻角。現在，我們增加一些條件，使該題目分別變為靜力學問題和動力學問題，并通過多種不同方式對其中的動力學問題進行求解。

圖1：題目示意圖（a）原題（b）受力分析圖（靜力學問題）（c）受力分析圖及速度分析（動力學問題）（d）質心速度（功率方程）

3.1 題目的多變性示例

如果AB桿處于靜止狀態，則該題為考慮摩擦的靜力學問題。此時，該題目設置為：假設墻面光滑，地面粗糙，并已知梯子與地面的靜滑動摩擦因數為f，求梯子與水平面夾角 的最小值。

對于該問題，分析時首先繪出受力圖，如圖1（b）所示，包括重力P，A點的法向力FAN，摩擦力FS，B點處的法向力FB。將庫倫摩擦定律作為補充方程，建立FS和FAN的關系，進而建立力系平衡方程求解。當然，一種簡便的方法是對FB和FAN的交點C取矩，可一步求解出摩擦力FS，此處不再贅述。

還是圖1（a）所示的梯子，若假設墻面和地面均光滑，則AB桿將做平面運動，當AB桿與水平面夾角 時，由靜止釋放，求釋放瞬時AB的角加速度。

如此簡單的變化，該題由靜力學問題轉變為動力學問題，求解過程變得完全不同。分析該問題時，首先仍是繪出受力圖。由于地面光滑，如圖1（b）所示的受力圖中應刪去FS，如圖1（c）所示。此類動力學問題的求解，可采用動能定理、“動量定理+動量矩定理”等多種求解方式，具體求解思路在3.2中進行闡述。

圖1（a）所示的場景，不僅僅能變化成上述的兩種題目。例如，同樣是靜力學問題，可以假設墻面與壁面均粗糙，并已知兩處的靜滑動摩擦因數，求梯子與水平面夾角的最小值。這樣就變成了存在兩處摩擦的平衡問題。又例如，對于動力學問題，可以假設AB桿在下落的過程始終與墻面相接觸，求即將落地瞬間AB桿的角速度，以及A點的受力。這樣不僅考察了動能定理，同時還考察了動量定理和動量矩定理，以及平面運動中求一點加速度的基點法，題目變得更加綜合。

3.2 題目的靈活性示例

若墻面和地面均光滑，要求解AB桿由靜止釋放時的角加速度，則可通過多種方法實現。

方法一：動能定理。假設下降任意時間后，AB與水平面夾角為 ，如圖1（d）所示。對于做平面運動的剛體AB，動能一般表示為隨質心平動的動能和繞質心轉動的定能之和。此時需要表示出質心的速度。而事實上，平面運動剛體動能的表達式，是由繞瞬心做定軸轉動剛體的動能推導而來，因此，動能可表示為T=0.5Jc2，其中 是角速度，Jc是AB桿對瞬心的轉動慣量，通過平行軸定理可求得為1/3 mL2。由動能定理可知，動能的增加量等于重力做的功即T=0.5mgL(sin-sin)。因此，對等式0.5mgL(sin-sin)=0.5 Jc2的等號兩邊同時求導，并令 = ，即可求出AB桿在釋放瞬時的角加速度。

方法二：功率方程。同樣假設下降任意時間后，AB與水平面夾角為 ，此時重力做功的功率為mg·v。其中，v是AB桿質心的速度矢量，其大小為0.5 L。由幾何關系知速度v和重力mg的夾角為 ，如圖1（d）所示。由功率方程，功率mg·v=0.5mg Lcos等于動能T=0.5 Jc2對時間的導數，題目得解。

方法三：動量矩定理（對質心取矩）。采用該思路的一般解題方法，都是建立質心運動定理和對質心的動量矩定理來求解，同時還需根據已知的A點和B點加速度方向，通過基點法建立AB桿角加速度與質心加速度的關系。對于該題而言，此種解題方法較為繁瑣，此處不再贅述。

方法四：動量矩定理（對瞬心取矩）。在剛體平面運動的過程中，若瞬心與質心的距離始終保持不變，則可對瞬心使用動量矩定理。該題目中，瞬心與質心的距離始終為0.5L，滿足定理的使用條件。由于A、B兩點受力均通過瞬心C，其矩為零，通過對瞬心的動量矩定理可直接列出角加速度與重力之間的關系。相對其他方法而言，該方法僅通過一個方程求解，最為簡單。

當然，該題目還可采用達朗貝爾原理（動靜法）求解。可見，《理論力學》習題的解題思路較為靈活，在教學過程中可以引導學生嘗試不同的解題技巧，加深學生對于知識點的理解和掌握，同時也能更好地培養其邏輯思維能力。

4 結論

《理論力學》習題具有多變性和靈活性。多變性體現在，對于同一道題目，可以對受力情況做些許變化，使題目的求解發生較大變化。靈活性體現在同一道題往往可以有不同的解題思路。本文通過一道簡單的例題對這種多變性和靈活性進行了說明。該題目做出些許變化，即可由靜力學問題轉化為動力學問題。針對該簡例的求解方法，可以覆蓋平面任意力系平衡方程、考慮摩擦的平衡問題、平面運動、動量定理、動量矩定理、動能定理以及達朗貝爾原理等多個知識點，具有很強的綜合性。在日常教學中，將題目加以變化或是要求學生采用多種解題方法求解，可以有效避免學生通過網絡搜索答案并不加思考直接抄襲的現象。