巧構基本圖形，關注核心素養
——2019 年南京市數學中考題第22 題解法賞析

江蘇省南京市溧水區東廬初級中學 王 靜

一、試題的呈現

二、特色解讀

（一）圖形簡約，內涵豐富

本題呈現方式簡約，主要由圓和兩條相等的弦（兩條弦相交于點P）組成。雖然圖形簡潔，但考查的內容很豐富，如可用到的知識點：“等角對等邊”“全等三角形的判定”“全等三角形對應邊（對應角）相等”“在同圓或等圓中，同弧（等弧）所對的圓周角相等”“圓心角、弧、弦三者之間的關系”“垂徑定理”“勾股定理”“圓的內接四邊形對角互補”“相似的性質與判定”“平行線的性質”“等式的性質”“同角（等角）的補角相等”“三角形內角和定理”“外角的性質”等。考查的能力也很多，如邏輯推理能力、識圖能力、構圖能力、轉化能力、直觀想象能力、遷移能力、數學建模能力等。

（二）巧妙構圖，關注素養

由于圖形本身簡約，在解題時需要聯想到一些基本圖形，如可構造三角形、貓耳朵模型、飛鏢模型、“8”字形、“A”字形、圓的內接四邊形等，要用到這些基本圖形，首先要思考，如何構造這些基本圖形，再用構造出來的基本圖形解答題目，這正體現了數學的直觀想象素養。每一種構圖方法，需要嚴謹的邏輯推理，這也體現了邏輯推理素養。本題圖形之所以簡潔，是因為其本身是不完整的基本圖形，是由基本圖形抽出部分元素形成，所以在解答的過程中，需要填補上相應的元素，命題者此種出題方式正是逆用數學抽象的核心素養。添加元素構造基本圖形解決問題，更是體現了數學建模素養。由于版面關系，本文只呈現了部分結題思路。

三、解法賞析

（一）利用等角對等邊證明線段相等

解法1：構造三角形

如圖2，聯結BD，因為AB ＝CD，所以＝AB=CD，

圖2

所 以AB+BD ＝CD+CB， 即AD＝CB，

所以∠C ＝∠A，所以PA ＝PC。

解法:2：構造半徑和三角形

如 圖3， 聯 結AC、OA、OB、OC、OD，因為在⊙O 中，所以OA ＝OB=OC=OD，所以∠OAC=∠OCA。

圖3

因 為∠OAB+ ∠OBA+ ∠AOB=180°，所以∠OCD+∠ODC+∠COD=180°。

所以2 ∠OAB+∠AOB=180°，2 ∠ OCD+ ∠ COD=1 8 0 °，所 以 ∠OAB= ∠OCD， 所 以∠OAC+∠OAB=∠OCA +∠OCD，所 以∠PAC= ∠PCA， 所 以PA ＝

PC。

解法3：構造同弧（等弧）所對的圓周角

如圖4，聯結AC、BC、AD，因為BD ＝BD，所以∠PAD ＝ PCB。

圖4

因為AB ＝CD，所以AB ＝CD，所以∠BCA ＝∠DAC。

因為∠PAD ＝∠PCB，∠BCA＝∠DAC， 所 以∠PAD+∠DAC ＝∠PCB+ ∠BCA， 所 以 ∠PAC ＝∠PCA，所以PA=PC。

（二）利用三角形全等證明線段相等

解法4：構造貓耳朵模型

如 圖4，聯結AC、BC、AD，因為AC ＝AC，所以∠ABC ＝∠CDA。因為AB ＝CD，所以AB ＝CD，所以∠BCA ＝∠DAC，因為在△ABC 與△CDA 中，

∠ABC ＝∠CDA，

∠BCA ＝∠DAC，

AC=CA

所 以△ABC ≌△CDA（AAS），所以∠BAC ＝∠DCA，所以PA=PC。

（三）利用對應線段成比例證明線段相等

解法5:構造橫向“A”字形和“8”字形

圖5

四、教學啟示

（一）注重探究過程，積累構圖經驗

本文的多種不同的解法，涉及到構造“貓耳朵”模型、“飛鏢”模型、“8”字形、“A”字形、三角形、圓內接四邊形等，這些構造法都很常見。在平時的教學中，課本的例題或是定理的探究過程中，有許多需要“構圖”才能解決，如在證明勾股定理逆定理時，需要另外構造一個直角三角形，而有很多教師在講解勾股定理逆定理時，直接告訴結論，導致很多學生對這種構造法毫不知曉。從本文所探究的中考題，可看出試題重在考查識圖、構圖能力，這些能力的培養，教師應在日常教學中，一以貫之地落實知識的探究過程，積累一些數學方法、數學模型，才能讓這些方法成為解決新題的構圖經驗。如果教師在平時教學中，注重知識的探究過程，那么這種思維過程，也將成為一種構圖經驗，成為學生解題時的一種靈感頓悟。

（二）立足基本圖形，注重構圖過程

基本圖形在學業考試考查中主要圍繞基本圖形的疊加、隱藏的綜合應用，解決這類問題的關鍵是平時要做好基本圖形的積累，加強分離、補形、構造的相關訓練，掌握解決這類問題的基本策略。“構造”即“構圖”，指構造出基本圖形，構圖過程其實包括四個環節：儲圖、想圖、構圖、用圖。四個環節相輔相成，缺少任一環節都不能順利地解決相關習題，但想圖、構圖的過程是整個構圖過程的關鍵環節。在實際教學中，教師為了節省時間，對于一些必須構圖才能解答的習題，沒有給學生想圖、構圖的時間，直接給出構圖方法。以致學生碰到類似題型時，仍然不會構圖。因此，教師應給學生充足的探究時間，這樣經過思考后，即使沒有構出圖形，等到教師講解時，也能加深對此題的印象，再遇到同類型的題目時，便能調用頭腦中的知識儲備，找到解題的突破口。同時在教學中，教師應該向學生介紹為何這樣構圖。如何想到的，這其實就是要引導學生知道構圖的依據是原有的基本圖形。每一種構圖方法，其實都源于一種基本圖形。因此解題教學中，教師應注重構圖過程，并啟發學生思考這樣構圖的依據是什么，才能達到“解一題，同一類，會一片”的效果。

（三）注重一圖多“構”，關注核心素養

在數學解題過程中，一題多“構”不僅能培養學生的發散思維，而且能培養學生的直觀想象能力。《義務教育數學課程標準》（2011 年版）指出：教學活動必須建立在學生認知發展水平和已有經驗基礎上。由于每個學生的最近發展區不一樣，所以不同的構圖方法可能適合不同的學生。因此，教師應注重對一道習題采取多種構圖方法，不僅有利于調動學生的知識內存，提升學生的綜合解題能力，更能促進了學生知識系統結構化。需要構圖才能解決的習題，說明原圖被抽出了部分元素，這正逆向訓練了學生的數學抽象素養。有些構圖法在解決某些習題時可能比較煩瑣，但是對別的題目，可能是簡單的方法。因此，平時教學中注意“一題多構”能加強知識的縱橫聯系，幫助學生構建合理的知識結構與知識系統，提升學生在新問題情境下準確把握核心知識、形成解題決策的能力。因此，構造多種基本圖形解決問題，建立幾何模型，實際上更是一種數學建模素養。