火眼金睛找模型，水到渠成解圖形

馬正芳 何章鳴

◆摘? 要：相似三角形是數學的核心內容，經常出現在壓軸題，考查學生綜合應用知識解決問題的能力，而這些問題的解決總是以一些基本模型為基礎的.如果能掌握這些基本模型，并把它們從復雜的圖形中挖掘出來，往往可將復雜問題簡單化，問題的解決也就水到渠成.本文主要介紹相似三角形的四種基本模型。

◆關鍵詞：相似三角形;數學模型;模型應用

相似三角形是數學的重要組成部分，是幾何知識中的核心，容易出現在壓軸題，并且經常與函數等知識相結合，圖形相對復雜.但不管多么復雜的幾何圖形，都是由基本模型組成的.《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確要求，學生能從較復雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關系，利用直觀圖形來進行思考.因此掌握相似三角形的基本模型，并能把它們從復雜的圖形中挖掘出來，問題的解決也就水到渠成.本文由2020年長沙市中考第23題引出，主要介紹4種常見的基本模型，供同學們參考.

一、問題引入

（2020 長沙）如圖，在矩形ABCD中，E為DC邊上一點，把△ADE沿AE翻折，使點D恰好落在BC邊上的點F.（1）求證：△ABF[?]△FCE;（2）若AB=2[3]，AD=4，求EC的長;（3）若AE-DE=2EC，記∠BAF=α，∠FAE=β，求tanα+tanβ的值.

此題是對相似三角形中的三垂直模型的證明及應用，尤其是第（3）問，模型提供了解題的思路，有利于問題的解決.下面我們就相似三角形中的基本模型做一個歸納和總結.

二、模型歸納

模型一：“A”字型在圖2-1-1中，已知DE∥BC，則△ADE∽△ABC，這就是最常見的“A”字型.變形1：如圖2-1-2，已知∠1=∠B，則△AED∽△ABC，稱為反A共角型.變形2：如圖2-1-3，當點E與點C重合時，則△ACD∽△ABC，稱為反A共角共邊型，也稱為子母型.變形3：如圖2-1-4，當AC⊥BC，CD⊥AB時，則△ACD∽△CBD∽△ABC，稱為雙垂直模型.

模型二：“X”字型在圖2-2-1中，已知DE∥BC，則△ADE∽△ABC，這就是最常見的“X”字型.變形1：如圖2-2-2，已知∠E=∠B，則△AED∽△ABC，稱為反X型或斜X型.變形2：如圖2-2-3，當ED和BC相交時，若∠E=∠B，則△AEC∽△ABC，△DOE∽△COB，有時也被稱為燕尾型.

模型三：旋轉型當“A”字型（圖2-1-1）和“X”字型（圖2-2-1）繞點A旋轉時，就得到了下面的圖2-3-1、圖2-3-2和圖2-3-3，稱為旋轉型.以圖2-3-1為例，已知∠D=∠B，∠E=∠C，連接BD和CE（圖2-3-4），則△ABD∽△ACE.圖2-3-2和2-3-3中也有同樣的結論.

模型四：一線三等角常見的模型還有一線三等角模型，經常與等腰三角形、函數圖象等內容相結合，綜合性較強.如圖2-4-1所示，若∠B=∠C=∠EDF，則△BDE∽△CFD.特別地，當點D是BC的中點時，△BDE∽△DFE∽△CFD，并且ED平分∠BEF，FD平分∠EFC.有時也稱為“K”字型.在特殊情形下，即相等的這三個角都是直角時，如圖2-4-2所示，上述結論也成立，常常被稱為三垂直模型或者“M”字型.

三、結論

在題目中快速找到模型，有利于發現問題的突破口，從而提高解題效率.這對絕大多數的幾何問題也是適用的，基本模型是分析幾何問題時觀察的起點和目的，只有從復雜的圖形中數量識別基本模型，才能正確得出與之對應的結論.值得注意的是當所給圖形中不存在基本模型時，往往還需要添加輔助線進行構造.類似的基本模型，教材中還有很多，應予以重視，以更好地提高學生的綜合分析和解題能力。

參考文獻

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作者簡介

馬正芳（1986.02—），女，山東泰安人，碩士，研究方向：數學教育，湖南省長沙市岳麓區南雅湘江中學。

何章鳴（1985.10—），男，廣東樂昌人，博士，研究方向：數學教育、數據處理。

資助基金：湖南省學位與研究生教育教學改革研究課題（JG2017B008）;湖南省普通高等學校教學改革研究項目之“五位一體”本科全程導師制培養模式研究與實踐（U2019003）;國防科大教育教學研究課題（U2017008;yjsy2017019）.