一道“八省聯(lián)考”解幾題的多解、推廣及通法總結(jié)

劉海濤

(安徽省蕪湖市第一中學(xué) 241000)

一、試題呈現(xiàn)與分析

(2021年1月23日全國(guó)高三“八省聯(lián)考”數(shù)學(xué)第7題)已知拋物線(xiàn)y2=2px上三點(diǎn)A(2,2)，B，C，直線(xiàn)AB,AC是⊙I：(x-2)2+y2=1的兩條切線(xiàn)，則直線(xiàn)BC的方程為( ).

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

分析該題綜合性強(qiáng)、解法靈活，考查了拋物線(xiàn)與圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，方程的思想，直線(xiàn)與圓、拋物線(xiàn)的位置關(guān)系等知識(shí)，考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀(guān)想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).試題看似簡(jiǎn)單、明了，但內(nèi)涵豐富，本文嘗試對(duì)該題從不同的角度予以思考，給出不同的解法，并揭示出問(wèn)題的命題背景，最后總結(jié)出該類(lèi)問(wèn)題的通解通法，以發(fā)揮該題的最大價(jià)值.

二、解法探究

評(píng)注考慮到直線(xiàn)BC的方程受到直線(xiàn)AB,AC的制約，于是考慮將AB,AC兩條直線(xiàn)的方程同時(shí)和拋物線(xiàn)聯(lián)立，得到三個(gè)公共點(diǎn)A,B,C縱坐標(biāo)同時(shí)滿(mǎn)足的方程，通過(guò)提取公因式舍去點(diǎn)A，得到關(guān)于B,C的方程3y2+12y+8=0，結(jié)合y2=2x，得到直線(xiàn)BC的方程.該法過(guò)程簡(jiǎn)潔，運(yùn)算量小，不失為一種巧妙解法.

三、變式推廣，深入探究

數(shù)學(xué)家波利亞曾說(shuō)：“解題就像采蘑菇一樣，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)蘑菇時(shí)，它的周?chē)赡苡幸粋€(gè)蘑菇圈.”解答完本題后，筆者有如下變式探究：

探究1 已知⊙I：(x-2p)2+y2=r2(r>0)與拋物線(xiàn)y2=2px無(wú)公共點(diǎn)，拋物線(xiàn)上三點(diǎn)A(2p,2p)，B，C，滿(mǎn)足直線(xiàn)AB,AC是⊙I的兩條切線(xiàn)，求證直線(xiàn)BC的斜率為定值.

既然圓的半徑可以一般化，條件可簡(jiǎn)化為kAB+kAC=0，由此，得到如下結(jié)論：

若點(diǎn)A為拋物線(xiàn)y2=2px任意一點(diǎn)(異于坐標(biāo)原點(diǎn)O)，結(jié)論變不變呢？

由此，得到如下結(jié)論：

說(shuō)明特別地，結(jié)論2中的y0=2p，即為結(jié)論1.

橢圓、雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)統(tǒng)稱(chēng)為圓錐曲線(xiàn)，三者之間有很多可類(lèi)比的性質(zhì)，體現(xiàn)了圓錐曲線(xiàn)的內(nèi)在統(tǒng)一，于是筆者對(duì)橢圓與雙曲線(xiàn)進(jìn)行了探究.

證明設(shè)B(x1,y1)，C(x2,y2)，則lAB：y-y0=k(x-x0)，lAC：y-y0=-k(x-x0).

由此，得到如下結(jié)論：

類(lèi)比可得雙曲線(xiàn)中的如下結(jié)論：

由于橢圓經(jīng)過(guò)伸縮變換，可以得到以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓，類(lèi)比可得如下結(jié)論：

說(shuō)明限于篇幅，結(jié)論4,5的證明可參照結(jié)論3的證明.

考慮平移變換，對(duì)于圓心不為坐標(biāo)原點(diǎn)的圓，容易得到如下結(jié)論：

基于上述討論，筆者猜想：若直線(xiàn)AB與AC無(wú)限靠近直至重合，則B,C兩點(diǎn)可以視做點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，此時(shí)直線(xiàn)BC的斜率與曲線(xiàn)在點(diǎn)A處切線(xiàn)斜率互為相反數(shù).筆者利用幾何畫(huà)板分別在圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)上探究，發(fā)現(xiàn)猜想正確，考慮將圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)統(tǒng)一為二次曲線(xiàn)方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，得到如下結(jié)論：

說(shuō)明限于篇幅，結(jié)論7的證明留給讀者思考.

四、總結(jié)通解通法，掌握模式化解題策略

通過(guò)上述研究發(fā)現(xiàn)，我們可以將問(wèn)題概括為斜率和為定值的相交弦問(wèn)題，解法3(雙直線(xiàn)方程法)為我們提供了一種解決該類(lèi)問(wèn)題的新思路，下面我們通過(guò)一道高考真題及其變式來(lái)理解這種解題方法.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線(xiàn)l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)，且與橢圓C相交于A(yíng),B兩點(diǎn)，若直線(xiàn)P2A與直線(xiàn)P2B的斜率和為-1，證明：直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

變式將(2)中的“若直線(xiàn)P2A與直線(xiàn)P2B的斜率和為-1”改為“若直線(xiàn)P2A與直線(xiàn)P2B的斜率積為-1”.

評(píng)注例1及其變式，沒(méi)有采用傳統(tǒng)的聯(lián)立直線(xiàn)l與橢圓方程，消元得到一元二次方程后利用韋達(dá)定理解題，而是利用直線(xiàn)P2A與P2B的雙直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于P2,A,B三點(diǎn)的曲線(xiàn)系方程，利用分解因式的辦法舍去點(diǎn)P2，得到直線(xiàn)l的方程，相較于傳統(tǒng)法，解答過(guò)程過(guò)程簡(jiǎn)潔，運(yùn)算量小.

通過(guò)上述討論，不難發(fā)現(xiàn)，若題中條件符合兩條相交弦所在直線(xiàn)的斜率和(或積)為定值，則利用雙直線(xiàn)方程與曲線(xiàn)方程聯(lián)立，利用斜率和(或積)的定值，可以巧妙解題，具體步驟總結(jié)如下：

雙直線(xiàn)方程法步驟：

(1)寫(xiě)出兩相交弦所在直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程y-y0=k1(x-x0)，y-y0=k2(x-x0)(其中(x0,y0)為相交弦的交點(diǎn)坐標(biāo)，k1,k2為兩相交弦所在直線(xiàn)的斜率)；

(2)寫(xiě)出雙直線(xiàn)方程[y-y0-k1(x-x0)][y-y0-k2(x-x0)]=0，利用斜率k1,k2的定值關(guān)系將其化簡(jiǎn)；

(3)將(2)中所得雙直線(xiàn)方程與曲線(xiàn)方程聯(lián)立，得到兩相交弦的端點(diǎn)(共三點(diǎn))坐標(biāo)滿(mǎn)足的曲線(xiàn)系方程，通過(guò)因式分解舍去點(diǎn)(x0,y0)，得到含有參數(shù)k1,k2的直線(xiàn)方程.

五、拓展應(yīng)用，深化理解

例2(2019年北京卷·第18題)已知拋物線(xiàn)C：x2=-2py經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，-1)．

(1)求拋物線(xiàn)C的方程及其準(zhǔn)線(xiàn)方程；

(2)設(shè)O為原點(diǎn)，過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于兩點(diǎn)M,N，直線(xiàn)y=-1分別交直線(xiàn)OM,ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn).

解析(1)C：x2=-4y，準(zhǔn)線(xiàn)：y=1(過(guò)程略)；

評(píng)注注意到直線(xiàn)OM與ON為相交弦，考慮直線(xiàn)OM與ON的雙直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)聯(lián)立，通過(guò)因式分解舍去點(diǎn)O，得到直線(xiàn)MN的方程，利用直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，得到斜率積為定值，接著將斜率積轉(zhuǎn)化為A,B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)系，接下來(lái)問(wèn)題迎刃而解.

(1)求E的方程；

(2)證明：直線(xiàn)CD過(guò)定點(diǎn).

六、反思總結(jié)

1.一題多解，提高解題能力

數(shù)學(xué)離不開(kāi)解題，數(shù)學(xué)研究的過(guò)程就是解決問(wèn)題的過(guò)程，掌握數(shù)學(xué)的一個(gè)重要標(biāo)志就是善于解題.可見(jiàn)，解題是一名教者的必備技能，技能的形成并非一朝一夕，而在于日積月累.數(shù)學(xué)解題是鞏固基礎(chǔ)知識(shí)、落實(shí)基本技能、感悟思想方法、提升思維敏銳度的系統(tǒng)活動(dòng)，所以對(duì)一道典型問(wèn)題進(jìn)行多角度的分析與解答是非常必要的.筆者從三個(gè)角度分析“八省聯(lián)考”的解幾小題，得到三種不同解法，第一種解法屬于最常用解法，先設(shè)線(xiàn)再求點(diǎn)，計(jì)算量大，過(guò)程復(fù)雜，第二種方法根據(jù)題目特點(diǎn)，先設(shè)點(diǎn)再求線(xiàn)，優(yōu)化了解題過(guò)程，簡(jiǎn)化了計(jì)算，第三種解法抓住題目斜率和為定值的兩條相交弦的命題背景，采用雙直線(xiàn)法，巧妙自然，富有創(chuàng)意.

2.變式推廣，尋求多解歸一

“八省聯(lián)考”的數(shù)學(xué)試卷由教育部組織命制，每一道試題凝聚著命題人的心血與智慧，是命題者反復(fù)考量與打磨才成型的，對(duì)新高考的教學(xué)具有導(dǎo)向性與啟示性.對(duì)典型試題進(jìn)行逆向探究、引申探究、類(lèi)比探究等，往往可以得到很多有價(jià)值的東西，筆者將試題一般化處理，得到結(jié)論1和2，運(yùn)用類(lèi)比的思想方法，探究橢圓、雙曲線(xiàn)、圓，依次得到結(jié)論3、4、5和6，最后將四種曲線(xiàn)統(tǒng)一為二次曲線(xiàn)，得到結(jié)論7，體現(xiàn)了二次曲線(xiàn)內(nèi)在統(tǒng)一.教學(xué)中，教師若能合理運(yùn)用上述方式，定能教會(huì)學(xué)生處理同類(lèi)問(wèn)題的通解通法，避免題海戰(zhàn)術(shù)，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，提高學(xué)習(xí)效率，達(dá)到多解歸一的目的.

3.總結(jié)通法，形成模式化解題策略

通過(guò)分析、對(duì)比、歸納，概括出一類(lèi)問(wèn)題的公同特點(diǎn)，依此特點(diǎn)制定規(guī)范的解題步驟，形成模式化解題策略，這樣就可以教會(huì)學(xué)生處理同類(lèi)問(wèn)題的通解通法，避免題海戰(zhàn)術(shù)，減輕學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，提高學(xué)習(xí)效率.這樣，我們?cè)趯W(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)，掌握基本技能的同時(shí)，就可以有效鍛煉思維的深刻性、廣闊性、靈活性和創(chuàng)新性，達(dá)到舉一反三、融會(huì)貫通的解題水平和能力，提高自身的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).