關于函數切線問題的解題思考

武 強

(江蘇省海頭高級中學 222000)

函數切線問題是函數板塊問題中的重點，也是難點，涉及到的知識點繁多，考核的考點也比較復雜，此類試題注重考驗學生們整合數學知識，融合數學思想的能力.下面將重點針對3道實例進行分析.

一、導數的幾何意義

已知函數解析式f(x)求函數圖像在某一點(a,b)的切線方程，這一類題型是常規導數幾何意義的求解問題，通常解題思路可以對f(x)求導得f′(x)，然后得f′(a)

分析題目當中給出的函數方程要先求導，然后將題目中問到的所在點處的橫坐標x0代入到導數方程中，此處求解的f′(x)是切線方程的斜率.將此橫坐標x0代入到原函數f(x)中求解函數的值，接下來運用點斜式方程y-y0=k(x-x0)代入數值求解.

所以f′(x)=x2-3x+2，

由題可知x=3,則f′(3)=2，

即4x-2y+1=0.

二、求一點處的切線方程

在一點處的切線方程問題主要的出題方式是題目當中給出了一個已知函數和一些與函數有關的性質條件，然后給出一點坐標讓同學們嘗試著求解這個函數在該點處的切線方程.同學們需要做的就是把握這一點的橫坐標并且帶入到原函數方程和導數方程中求解縱坐標，通過代入和化簡即可求出最后的答案.由于函數當中存在未知數，所以同學們首先要做的是確定函數的解析式的形式.

例題2設存在函數f(x)=x3+(a-1)x2+ax，若該函數f(x)為奇函數，則曲線y=f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為____.

分析題目當中給出的條件是該函數為奇函數，多項式函數當中的奇函數并不存在偶次項，偶函數并不存在奇次項，這是解題的關鍵，能夠求出相對應的參數值a-1=0.得出函數的清晰形式f(x)=x3+x.接下來求導f′(x)并代入橫坐標x=0即可使用點斜式方程y-y0=k(x-x0)代入數值求解.

解由題可知函數f(x)為奇函數,因此滿足a-1=0,解得a=1.

因此f(x)=x3+(a-1)x2+ax=x3+x,

則f′(x)=3x2+1.

將x=0代入得f′(0)=1,

將x=0代入f(x)得f(0)=1,

因此曲線y=f(x)在點(0，0)處的切線方程為y-f(0)=f′(0)x,

化簡可得y=x+1.

三、求曲線的切線交匯問題

求解曲線的切線交匯問題需要同學們對函數進行正確的求導，求導的法則以及求導的計算原則的考察會更加明確一些，同學們必須要掌握導數計算的相關性質和原則，最終可以將導數的問題轉化為數列的最值問題進行求解.

分析題目當中給出了兩條切線和兩個切點，所以同學們可以先將其看成是一個切點的問題，然后同理得出兩個切點的共同情況并轉化為一元二次方程的求解問題.接下來可以運用韋達定理求解方程的兩個解的和x1+x2與積x1x2，然后用簡便的數值代入計算求解即可.

解設M(x1、y1)、N(x2、y2),

一是外交公關與抹黑。自2017年下半年以來，特朗普政府在諸多雙邊及多邊國際場合，公開或私下抹黑中國“一帶一路”倡議。其中“債務陷阱”“掠奪性經濟活動”“國家驅動投資模式”乃至“新殖民主義”等標簽，逐漸成為特朗普政府抹黑中國“一帶一路”倡議的“標配”，企圖把中國的“一帶一路”倡議說成是別有用心、侵害他國主權、服務于中國地緣政治和地緣經濟戰略目標的特洛伊木馬。[45]特朗普政府甚至派出國務卿等政府高官到東南亞、南亞等地區游說，要求當地謹防中國的“一帶一路”陷阱。[46]

由題知l1過點P(1，0)可得：

因此x1、x2是方程x2+2tx-t=0的兩個根,

又因為m是正整數,

所以m≤6,即m的最大值為6.

利用導數的幾何意義求函數的切線方程,以及利用切線方程解決函數相關問題,是高考中的熱點問題.如何高效地解決相關問題,并達到事半功倍的效果,就要求我們掌握相關的解題技巧.函數切線問題在高考中占據著十分重要的比重，同學們在日常的練習中應該多多總結方法，打下堅實的基礎，才能在高考中面對這些問題時不慌不忙，得心應手.