淺談分析法和綜合法在解三角形題目中的應(yīng)用

李 蕾

(云南省昆明市云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 650500)

解三角形在高考中常與三角函數(shù)、三角恒等變換或平面幾何等結(jié)合考察，分值為5到14分不等.對近幾年相關(guān)高考題的統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)該模塊內(nèi)容年年必考且解答題出題頻率有所增加.通過某市期末聯(lián)考數(shù)據(jù)統(tǒng)計可知學(xué)生該模塊的得分較低，不少研究者也指出學(xué)生在該模塊的高考題中得分并不佳，說明學(xué)生該模塊解題方面存在問題.

解題的首要步驟就是審題，這需要學(xué)生掌握一定的審題技巧，能夠充分挖掘已知條件并在問題與已知之間搭建橋梁.解題教學(xué)不僅要注重題目解答知識層面的講解，同樣應(yīng)該注重教會學(xué)生如何思維，做到知識與方法層面的統(tǒng)一，培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力.分析法與綜合法作為常見的思維方法，解題時有效運用可為學(xué)生指明解題方向.下面將簡要進(jìn)行介紹.

一、分析法與綜合法概述

如果從題設(shè)的已知條件出發(fā)，運用一系列有關(guān)已確定的命題作為推理的依據(jù)，逐步推演而得到要證明的結(jié)論，這種證明方法叫綜合法；如果推理方向中由命題判斷向題設(shè)方向，論證中步步尋求使其成立的充分條件或已經(jīng)成立的事實，這種證明方法叫分析法.

實際應(yīng)用中常將二者結(jié)合使用.綜合法往往可以導(dǎo)出較多命題，但具體哪個可得出結(jié)論有時不易看出，此時結(jié)合分析法可快速鎖定解題方向，與問題之間搭建橋梁.在一些證明中常用分析法尋找思路，用綜合法寫出具體的過程，二者相互聯(lián)系，不可分割.兩種方法的結(jié)合使用有利于學(xué)生解題能力及邏輯推理素養(yǎng)的提升.

二、分析法與綜合法在解三角形高考題中的應(yīng)用

分析這道題看起來不難，解法也不唯一.但如果方法選取不當(dāng)，可能導(dǎo)致運算量太大，學(xué)生算不出來.不少學(xué)生解題時看到對邊及對角的余弦值時認(rèn)為選用余弦定理求解邊b，基于該思路先結(jié)合已知求出角A、C的正弦值，然后利用正弦定理求出邊c,之后選取相應(yīng)的余弦定理公式，結(jié)果得到了一個計算量很大的一元二次方程，導(dǎo)致無法計算.這種解題過程顯然沒有錯誤，但實際計算中卻遇到了阻礙，這時又沒想著更換策略.筆者認(rèn)為在實際教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生運用分析法與綜合法分析題目可幫助打開學(xué)生思維，突破解題困境.為此，我們可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下分析：

1.知道△ABC的內(nèi)角A,B,C，則可以知道A+B+C=π.

2.知道cosA，便可以知道sinA；如果知道cosC，便可以知道sinC等.(一級推導(dǎo))

3.知道了cosA、sinA、cosC、sinC，可以知道sin(A±C)或cos(A±C)等.(二級推導(dǎo))

4.知道了A+B+C=π及sin(A±C)等，結(jié)合誘導(dǎo)公式可知道sinB等

具體解答步驟如下

例2(2020全國Ⅰ文數(shù))△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知B=150°，

分析這道高考題對于剛學(xué)習(xí)過解三角形內(nèi)容的學(xué)生還是有難度的，學(xué)生常常不知如何思考.解題中可引導(dǎo)學(xué)生用綜合法及分析法分析更有利于掌握其中的轉(zhuǎn)化思想.

1.綜合法：題設(shè)已知角B，從角B自身可以知道sinB、cosB等(一級推導(dǎo))；知道了sinB，題設(shè)中給的是在三角形中，那么知道角B，可以知道A+C(二級推導(dǎo))；就可以知道sin(A+C)等.

4.分析法：對于(2)僅知道一個關(guān)于角A與角C的關(guān)系式及角B，要求角C.不能求出角A就將其轉(zhuǎn)化.

具體解答步驟如下

例3(2014安徽卷)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b=3，c=1，A=2B.

分析這道高考題看著很簡練，但學(xué)生很容易卡在第(1)問.學(xué)生可能會經(jīng)歷直接應(yīng)用正弦或余弦定理的試錯過程，發(fā)現(xiàn)無法求解后不知所措.此時學(xué)生若能靈活運用分析法思考，第(1)問就比較容易解決.學(xué)生可以想到需要知道的是邊a，但不管是直接運用正弦定理還是余弦定理都會有新的未知量，無法解決.要運用正余弦定理必須要知道角A的正余弦值,那么題目中與邊a密切相關(guān)的是角A,題目中只是角A的一個關(guān)系式無法直接知道其正弦值等，要想用需要出現(xiàn)正弦或余弦，所以想著構(gòu)造出sinA=sin2B，接下來通過邊角互化進(jìn)一步化簡變形，題目思路就明確了.

具體解答步驟如下

利用綜合法推導(dǎo)時不僅要注意每個條件可直接推出的結(jié)論，還要將條件組合看能否進(jìn)行二級推導(dǎo).推導(dǎo)出的信息越全面越有利于快速理清思路.可行路徑多樣時將二者結(jié)合使用可快速鎖定方向減少盲目嘗試,同時可培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.分析題目作為解題的第一步，教師在解題教學(xué)時應(yīng)特別重視教會學(xué)生分析的方法，做到授之以“漁”.