已知函數的最值求參數的值或范圍問題的求解策略

李文東

(廣東省中山市中山紀念中學 528454)

已知函數f(x)在區間[a,b]上的最值，求參數的值或取值范圍，這類問題高考常考的問題，其一般解法是對參數進行分類討論得到函數f(x)的單調性，解法較為復雜.根據函數最值的定義(以最大值為例)：函數f(x)在區間[a,b]的最大值為M，即對任意的x∈[a,b]，f(x)≤M，且存在x0∈[a,b]，使得f(x0)=M.因此函數的最值問題其本質是一個函數恒成立問題，我們可以按照函數恒成立問題的思路對函數的最值問題進行求解.經筆者研究發現，此類問題有如下求解策略.

一、分類討論函數的單調性

(1)若x=2是f(x)的極值點，求a的值；

(2)若f(x)在[0,+∞)上的最大值是0，求a的取值范圍.

①當a≤0時，f(x)在(0,+∞)上單調遞增，由f(0)=0，知不合題意.

當0

當a=1時，f(x)的單調減區間是(-1,+∞).

當a>1時，-1

當a≥1時，f(x)在(0,+∞)單調遞減，可得f(x)在[0,+∞)上的最大值是f(0)=0，符合題意.

所以f(x)在[0,+∞)上的最大值是0時，a的取值范圍是[1,+∞).

點評分類討論是解決已知最值求參數或參數范圍問題的基本方法，但是這種解法相對比較繁瑣.

二、利用必要條件縮小參數范圍，減少分類討論

例2設函數f(x)=2lnx+x2-2ax，若f(x)在區間[1,2]上的最小值為0，求實數a的值.

點評當x∈[a,b]時，fmin(x)=m，我們可以取特殊值x0∈[a,b]，則f(x0)≥m，充分利用這一必要條件來縮小參數a的取值范圍，從而可以減少討論的情況，當然這種解法極大的依賴參數a的取值范圍能縮小到什么程度.

點評已知函數f(x)在區間[a,b]上的最小值(最大值)為m(M)，若通過觀察發現x0∈[a,b]，使得f(x0)=m(f(x0)=M)成立，則必有f′(x0)=0，然后驗證充分性即可.

解注意到f(0)=1，從而x=0應為f(x)的極值點，由于f′(x)=ex-kx-1，可知f′(0)=0顯然成立.要使當x≥0時f(x)的最小值為1，則必存在x0>0，當x∈(0,x0)時，f(x)單調遞增，也即當x∈(0,x0)時有：f′(x)≥0，由于f′(0)=0，同理必存在x1>0，當x∈(0,x1)時，f′(x)單調遞增，也即當x∈(0,x1)時有：f″(x)≥0，從而f″(0)=1-k≥0，得k≤1,而當k≤1時，f′(x)=ex-kx-1≥ex-x-1≥0，即f(x)在[0,+∞)上遞增，故fmin(x)=f(0)=1.

點評對于?x∈[a,b],f(x)≥m，若f(a)=m，利用端點處導數值滿足f′(m)≥0這一必要條件得出參數的范圍，然后說明這一范圍的充分性.這是端點效應.

三、分離參數

例5已知函數f(x)=lnx+ax2+bx(a≠0)在x=1處取得極值.

(1)當a=1時，求f(x)的單調區間；

(2)若f(x)在(0,e]上的最大值為1，求a的值.

解(1)略

點評已知函數f(x)在區間[a,b]上的最小值(最大值)為m(M)，即對于任意的x∈[a,b]，有f(x)≥m(f(x)≤M)成立，且存在x0∈[a,b]，使得f(x0)=m(f(x0)=M)成立.將不等式f(x)≥m(f(x)≤M)分離參數得a≤g(x)(≥g(x))，則a=gmin(x)(gmax(x))，這樣可以完全避免分類討論，這是解決這類問題的一個很好的辦法.

具體解題中對于以上方法的選擇，我們可以先通過觀察函數f(x)的結構特點，看看是否滿足策略2中的一些條件，如果不滿足，則我們可以嘗試采用策略3的方法，當然如果策略3中不容易分離參數或者分離后得到的函數很復雜，則我們也可以考慮直接求導分類討論來求解.