同構式解題舉隅

蔣滿林

(福建省古田縣第一中學 352200)

一、預備知識

指對混雜恒等式：xex=lnex·ex=tlnt(t=ex);xlnx=elnx·lnx=tet(t=lnt).

這兩個恒等式就是通常所說的指對混雜同構式，簡稱同構式，它在解決某些指、對函數混雜問題往往能收到時事半功倍的效果，下面結合例子說說同構式的具體應用.

二、同構式解題

1.利用同構式求參數范圍

例1(2020山東21，海南22題)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)略；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

評注構造同構式ex-1+lna+x-1+lna≥x+lnx=elnx+lnx，再利用函數g(t)=et+t的單調性進行解題，避免了遇字母就討論的基本思路，創新思維視角、簡化過程計算，提高解決問題的能力.

2.利用同構式求參數最值

3.利用同構式證明不等式

例3 已知函數f(x)=2x-lnx.

(1)求函數f(x)的單調區間；

4.利用同構式計算函數值

例4 已知x0是函數f(x)=x2ex-2+lnx-2的零點，計算e2-x0+lnx0的值.

三、變式練習

2.已知函數f(x)=2ae2x-lnx+lna，若f(x)≥0恒成立，求實數a的最小值.

附參考解答