素養立意下高中數學問題導學的策略

周日橋 李 偉 黃偉洪 董海燕

(1.廣東省廣州市番禺區石碁教育指導中心 511400；2.廣東省廣州市番禺區象賢中學 511400； 3.廣東省廣州市番禺區南村中學 511400)

數學教育承載著落實立德樹人根本任務的功能，高考數學命題堅持“立德樹人、服務選拔、引導教學”為核心，考查“必備知識、關鍵能力、學科素養、核心價值”，注重“基礎性、綜合性、應用性、創新性”，高考試題已逐漸由能力立意轉向素養立意.

一、素養立意的高考評價體系

面向未來的新高考考什么？如何考？其價值取向是什么？《中國高考評價體系》給出了全面的回答，通過解決“為什么考、 考什么、怎么考”的問題，從高考層面對“培養什么人、怎樣培養人、為誰培養人”這一教育根本問題給出了回答.作為數學學科，就是考數學學科素養！也就是考理性思維、考數學應用、考數學探究、考數學文化！理性思維在數學素養中起著最本質、最核心的作用，其核心就是思維品質的培養.如何提升學生的數學學科素養，筆者以為問題導學策略是一個很好的選擇.

二、問題導學策略的教學實踐

問題導學策略的核心是將課堂教學的“教”轉變為“導”.通過情境問題的設置，課堂活動圍繞問題展開，引導學生發現問題、提出問題、分析問題及解決問題，并在此過程中提升數學核心素養，提升思維品質.思維品質反映了每個個體智力或思維水平的差異，主要包括深刻性、靈活性、創造性、批判性等方面.

1.對比分析，培養深刻思維

深刻性是指思維活動的抽象程度和邏輯水平，涉及思維活動的廣度、深度和難度.思維的深刻性集中表現為在智力活動中深入思考問題，善于概括歸類，邏輯抽象性強，善于抓住事物的本質和規律，開展系統的理解活動，善于預見事物的發展進程.

例1(2020全國Ⅰ理6)函數f(x)=x4-2x3的圖像在點(1,f(1))處的切線方程為( ).

A.y=-2x-1 B.y=-2x+1

C.y=2x-3 D.y=2x+1

問題1 若函數f(x)=ax3+x+1的圖象在點(1,f(1))處的切線與直線y=2x-3平行，求a.

意圖：通過含參對比是否知道斜率k，初步理解導數的幾何意義.

問題2若把“在(1,f(1))處”的切線與某直線平行改為“過”某點呢？如：

(2015全國)函數f(x)=ax3+x+1在(1,f(1))處的切線方程過點(2，7)，則a=____.

意圖：通過對比問題條件不同，進一步理解切線的本質在于切點.

例2已知函數f(x)=ax3+x+1在x=1處有極值，求a.

問題1函數f(x)=ax3+x+1有極值的充分而不必要條件是( ).

A.a<0 B.a>0 C.a<-1 D.a>1.

意圖：對比有極值的四種情況，讓學生深刻理解極值與導數為0的聯系與區別.

問題2函數f(x)=ax3+x+1恰有三個單調區間，試確定a的取值范圍，并求出這三個單調區間.

意圖：通過極值點與單調區間的聯系，設置三個單調區間與單個單調區間對比的異同.

問題3函數f(x)=ax3+x+1在(0,1)內有極大值，求a的取值范圍.

問題4函數f(x)=ax3+x+1在R上單調遞增，求a的取值范圍.

問題5若把“單調遞增”改為“不單調”，求a的取值范圍.

意圖：通過對比分析條件“有極大值”“單調遞增”和“不單調”等三種情況，由肯定變否定，轉化為存在極值點，問題導學層層深入、有梯度，體現思維的深刻性.

二、拓寬思路，培養靈活思維

靈活性是指思維活動的靈活程度.它的特點包括：一是思維起點靈活，能多種方法解題；二是思維過程靈活，全面作“綜合的分析”；三是概括—遷移能力強，自覺性高；四是善于組合分析，伸縮性大；五是結果是多種合理而靈活的結論，有量的區別，也有質的區別.

例3已知函數f(x)=ax3+x+1，若f(x)≤0對任意x∈[0,1]恒成立，求a的取值范圍.

問題1若函數f(x)=ax3+x+1在R上只有一個零點，求a的取值范圍.

問題2函數f(x)=ax3+bx-x(a,b∈R)，且當x=1和x=2時，函數f(x)取得極值.(1)求a,b；

(2)若y=f(x)與g(x)=-3x-m(-2≤x≤0)有兩個不同的交點，求實數m的取值范圍.

意圖：此例題是高考熱點之一，難度加大不容易得分，題目考查了數形結合、分類討論、函數極值或最值等思想方法，對學生思維的靈活性要求較高，是近年來高考常考的壓軸題.若能在這個題目的基礎上，再設置以上兩個問題，從無零點到有零點、無極值到有極值、一個交點到兩個、多個交點等角度，從思維起點、思維過程、能力遷移等層面去拓寬解題思路，對于培養學生的思維靈活性是大有裨益的.

三、豐富體驗，培養創新思維

《2019年普通高等學校招生全國統一考試大綱》指出：“對創新意識的考查是對高層次理性思維的考查”，創新性即思維活動的創造性.創新性源于主體對知識經驗或思維材料高度概括后集中而系統的遷移，進行新穎的組合分析，找出新異的層次和交結點.

例4(2018全國Ⅰ理10)下圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC，△ABC的三邊所圍成的區域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ，在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1,p2,p3，則( )

A．p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3

意圖：創造性將勾股定理融入幾何概型中，給予了學生不一樣的感知體驗、理解體驗和感悟體驗，凸顯了對學生創新能力和創新意識的考查要求，較好地詮釋了“服務選拔、導向教學”的思想指引.

四、善于反思，培養批判思維

批判性是思維活動中獨立發現和批判的程度.是循規蹈矩、人云亦云，還是獨立思考、善于發問，這是思維過程中一個很重要的品質.思維的批判性品質，來自于對思維活動各個環節、各個方面進行調整、校正的自我意識.高中數學教學要善于引導學生反思，鼓勵學生對解題過程、解題結論和解題方法多加質疑，并善于總結和提煉，通過精心設“疑”、循循導“疑”、辯證析“疑”等方式培養學生的批判思維.

例6(2020全國Ⅰ理12)若2a+log2a=4b+2log4b，則( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

意圖：本題不僅考查學生運用知識分析、解決問題的能力，同時也考查學生的觀察能力、運算能力、推理判斷能力與靈活運用知識的綜合能力，很好地考查了學生的批判性思維.

例7(2017全國I卷19)(題目略)

意圖：本題考查正態分布(尤其是正態分布的3σ原則)，隨機變量的期望和方差.通過有關數據判斷是培養學生決策能力、批判性思維能力的有效題型.問題由假設出發，通過對思維活動各個環節、各個方面進行自我意識的校正，培養學生善于總結、反思的綜合解題能力.

五、教學后續思考

基于問題導學的探究式、體驗式的數學活動，教師引導學生如何思考，學生通過對研究問題一般方法的感知、理解、體驗與參與，有效地促進了學生思考，教會了學生對一般問題的探究方法和思考方式，從而使學生在積累數學思維和實踐經驗的基礎上，形成和發展數學核心素養，達到育人的目的.