泰勒公式在高等數學解題中的應用舉例

陸華勇

(江蘇省鹽城生物工程高等職業技術學校 224000)

對于高等數學的各種解題公式而言，泰勒公式屬于利用率較高的數學基礎公式.然而在解答數學題目的各個環節中，由于某些學生沒有正確選擇以及正確運用數學解題公式，導致了解答錯誤的產生.并且，很多學生對于數學泰勒公式習慣于進行套用，那么將會忽視數學題目的特殊性，無法達到順利解答數學題目的效果.因此，學生只有正確利用泰勒公式來嘗試自主進行數學解題的實踐操作，才能逐步鍛煉學生獨立完成高等數學解題操作的實踐能力.

一、泰勒公式的基本定理內容

泰勒公式包含如下的基本定理內容：首先設計x0的函數點，確定該點經過f(x)的函數曲線，進而引出n+1作為特定范圍的導函數.在此基礎上，再次設計x的另一個函數點，并且確定x與x0之間的某個特殊函數區域，因此引出f(x)=1/2*(x-x0)2*f(x0)+(x-x0)2*f(x0)+(x-x0)n*f(x0)(n)/n!的泰勒公式主體內容.并且，麥克勞林公式屬于泰勒公式中的子公式，該公式的成立前提為x0值是零.

泰勒公式對于學生探索高等數學的基礎知識具有重要作用，并且泰勒公式可以用來解答高等數學中很多類型的題目.學生在合理運用泰勒公式的前提下，對于函數級別進行降級處理，運用冪級數來代替題干中原有的函數.通過上述的數學解題轉換，即可保證解題操作環節達到難度明顯降低的效果，又能夠增強學生運用泰勒公式來靈活解答高等數學題的綜合應用能力.例如對于近似值在進行求解的環節中，泰勒公式的正確運用將會起到明顯簡化解題流程的目標，增強了學生獨立解答高等數學難題的信心.

在高等數學的實踐領域中，麥克勞林公式與泰勒公式都可以用于求解函數極限，學生應當善于分辨母公式與子公式存在的差異，正確選擇解題公式的類型.為了保證高效解答高等數學題，那么在高等數學科目的日常解題訓練中必須做到充分利用上述兩個高等數學公式，對于高階導數以及其他的高等數學函數題目展開深入的題干剖析.并且，學生需要做到在教師的解題引導下，靈活結合數學函數題的隱含內容來實施正確的公式選擇.學生在學習泰勒公式時，需要做到整體把握泰勒公式的內涵，將其運用于解答多種不同類型的函數題目.

二、在高等數學解題中運用泰勒公式的具體實例

函數題目在高等數學題目中占有較高的比例，并且函數題目普遍具有繁瑣的解答步驟.通常情況下，學生對于函數題目的題干基本內容必須進行逐層的分析，按照由淺入深的順序來剖析函數題目，然后選擇適合解答函數題目的數學公式.在解答高等數學題中，正確運用泰勒公式主要包含如下幾點：

1.解答高階導數的高等數學題目

與高階導數有關的數學函數題目呈現多種不同的題干表述形式，學生對于題干在進行全面分析時，必須善于結合高階導數的基本數學定理加以詳細的題干分析.在解答高階導數類型的數學題目時，學生對于泰勒公式應當嘗試結合運用，充分利用高階導數與泰勒公式之間的關聯性來解決高等數學難題.反之，學生如果局限于利用通項公式的解題視角，那么很難給出高階導數的正確解題思路.在某些情況下，學生還會出現混淆非正極數與正極數的現象，造成同學們給出錯誤的高等數學題答案.因此可以判斷出，高階導數類的高等數學題主要適用泰勒公式來進行解答.

例如，給出如下的高等數學題：已知AB的兩個數值，并且與之有關的函數式為Ax+1/Bx+1=ex，x是趨向于零的.并且，題干給出的函數式具有三階無窮小的特征(相對于未知數x而言).在此基礎上，要求同學們利用所學的泰勒公式來判斷AB的數值.學生對于此類數學題目應當首先聯想泰勒公式相關的基礎數學定理，然后嘗試展開題干中的函數式，并且分析歸納AB的數值.

具體在利用泰勒公式展開函數式的過程中，應當給出如下的正確函數式：Bx+x+A+1/2!*x2+1/3!*x2=ex.并且經過泰勒公式的變換處理后，對于變換后的函數式還可以寫成1-Bx+Bx2=ex的新函數式.據此可以歸納出，B-A+1的數值為零，而且AB-B*B+1/2的數值也是零.學生通過運用以上的題目題干轉換方式，將會給出AB同為1/2的正確題目答案.

2.解答函數極限與函數極值類型的題目

函數極值與函數極限都屬于數學函數題目中的側重點，同時也具有很大的解答難度.學生在解答函數極限以及函數極值類型的數學題時，對于現有的數學解題技巧必須做到靈活利用，據此判斷出函數極限類型題目的正確解答方法.泰勒公式可以用于輔助進行函數極值類的題目解答，幫助學生準確判斷某些函數的極值，避免出現判斷失誤的情況.學生在進入題干分析的環節后，應當聯想所學的泰勒公式基礎原理，靈活解答各類的函數極限題目.

例如，給出函數極限類的如下數學題目：x的數值趨向于零，并且將其設定為函數極限的前提條件，進而要求學生給出cosx-ex/x2的數值.經過分析能夠判斷出，以上的函數式帶有明顯的函數極限性質，而x趨向于零就是題目設定的lim極值條件.對于帶有極值特征的函數式在進行轉換時，應當結合泰勒公式將其轉換成為1/4!*x2+1/2!*x2=ex的函數式，然后判斷出limx趨向于零的函數式數值為-1/10.

除此以外，對于無窮小的函數階數特征在進行表達時，一般來講也可利用泰勒公式作為解題的輔助.某些函數階數在特定區域中可以達到無窮小的狀態，那么運用泰勒公式能夠進行正確的表述，增強了學生對于函數階數性質類題目的解題實踐水平.在平時的解題訓練中，學生有必要多接觸泰勒公式有關的數學函數題目，逐步加深學生利用泰勒公式來思考題目以及解答題目的印象.

3.解答函數斂散性類型的題目

廣義積分類型的高等數學題目呈現較大的解答難度，但是在引入泰勒公式的基礎上，函數的斂散性將會得到充分的呈現，有效保證了函數題目解答思路的正確性.在多數情況下，函數表達式在特定的組合方式基礎上，將會形成通項公式，并且代表特定的函數級數.因此為了達到正確理解函數斂散性的目的，則不能缺少泰勒公式在實踐中的靈活運用.函數斂散性的高等數學定理主要涉及到判斷廣義積分的性質，在此過程中，泰勒公式具有不可忽視的解題利用價值.

此外，學生對于解答斂散性有關的高等數學題目還要充分利用函數二次開方的相關定理與公式.在二次開方的前提下，1/n的函數斂散性將會得以充分的呈現，進而體現了函數斂散性運用于解答廣義積分類型題目的重要作用.因此在確定函數斂散性的過程中，泰勒公式能夠達到較好的數學公式運用效果.

三、泰勒公式運用于高等數學解題的實踐要點

1.緊密結合高等數學的解題過程以及公式運用過程

高等數學包含比較繁瑣的審題環節與題目解答步驟，體現了獨立解題能力在解答題目中的作用.目前看來，很多學生雖然能夠準確記憶泰勒公式，但是仍然沒能達到靈活選擇泰勒公式及其子公式的數學學習目標，那將會造成高等數學的審題過程與數學解題過程存在很大的操作難度，并且造成學生厭倦高等數學的情緒.因此，對于泰勒公式學生不僅需要能夠準確表述其內涵，更應當不斷嘗試靈活運用泰勒公式，緊密結合解題過程以及公式選擇過程.

泰勒公式較多運用在求解函數極限的實踐中，但是，一般來講求解函數極限有關的數學問題，題干具有很大的理解難度.學生在審題時一旦陷入了判斷誤區中，那么無法達到精確掌握泰勒公式運用要點的目的，還可能會混淆泰勒公式與相似的數學函數公式.為此，學生在初步學習泰勒公式時，就要做到緊密結合函數題目的詳細解題過程，保證泰勒公式被充分運用于各個解題環節中.

2.透徹理解泰勒公式內涵

泰勒公式并不局限于單獨的數學函數公式，而是包含了主體公式與子公式的兩個重要部分.因此在理解泰勒公式時，前提是學生已經具備了函數基礎知識、導數知識與冪級數知識等關鍵的高等數學科目基礎知識.學生只有充分掌握以上的數學基礎知識部分，才能對泰勒公式形成深刻的理解，進而對于泰勒公式做到正確利用.對于高等數學科目的日常教學來講，學生應當在數學教師的課堂引導下，首先掌握泰勒公式及其基本原理，然后調用同學們目前所學的其他數學基礎定理內容來理解泰勒公式，如此才能保證泰勒公式的學習達到最佳的效果.

在學習子公式的過程中，學生必須嚴格區分子公式以及母公式，明確限定運用以上兩個數學公式的條件.這是由于，子公式與母公式的特征具有相似性，客觀上將會造成較大的公式混淆的可能性.為了嚴格區分兩個不同數學公式，學生應當增強對于公式成立前提要素的理解.在設定已知的公式成立條件時，應當充分結合不同數學公式之間的差異性，杜絕產生混淆相似數學公式的情況.

3.正確選擇泰勒公式及其子公式

泰勒公式的正確利用以及靈活利用構成了解答數學題的關鍵前提.因此，正確運用泰勒公式可以促進學生深入挖掘函數題目隱藏條件，對于審題難度也能全面的簡化.在解題訓練的環節中，學生不僅要做到正確區分數學公式，同時還要有效利用解答函數題的技巧，逐步鍛煉學生選擇公式與利用公式的實踐能力.

從表面上來看，泰勒公式的學習過程以及解題運用過程都存在較大難度.但是學生一旦做到了透徹理解泰勒公式的基礎內容，就可以不斷嘗試泰勒公式在日常解題中的有效運用.為了達到數學解題質量明顯提升的目標，學生對于泰勒公式在進行學習時，應當正確辨析泰勒公式與其他的數學解題公式，不能局限在泰勒公式的簡單解題套用過程.實際上，學生如果要達到熟練選擇公式以及運用公式的水準，唯有經過反復的函數題目解題訓練才能真正實現.

在高等數學題目的日常解題訓練中，數學教師有必要引導學生全面剖析數學題目的題干，對于隱藏的數學題干條件做到充分挖掘.學生若能做到深入挖掘隱藏的數學題干表述內容，則可以做到充分簡化數學解題的思路，避免高等數學解題誤區的產生.學生應當正確運用泰勒公式于解答數學題目中，增強靈活運用泰勒公式來進行解題操作的能力.