拓展思維空間 培養發散思維
——以一物理競賽試題為例

黃國超

(浙江省杭州第二中學錢江學校 311200)

一題多解對于培養學生從不同角度、不同側面去分析問題、解決問題，有利于調動學生思維的積極性，鍛煉學生思維的靈活性，培養學生思維的創造性.掌握“一題多解”的最終目的是為了“拓展思維空間、發散解題思路，激發學生學習興趣”.

例如圖1所示，在擲鉛球時,鉛球出手時距地面高度為h,出手時的速度為v0,若忽略空氣阻力.問鉛球以何角度擲球時,水平射程最遠?最遠射程為多少?

解法一構造二次函數求最值.

將鉛球的運動分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的豎直上拋運動.設鉛球初速度方向與水平成θ角，建立如圖2所示的直角坐標系，則速度可分解為：

vx=v0cosθ(1)vy=v0sinθ

(2)

設水平射程為S，則水平、豎直位移可分別表示為：

x=S=vx·t

(3)

(4)

將(1)式代入(3)式，將(2)式代入(4)式；可得：

S=v0tcosθ

(5)

(6)

運用數學方法求解最值過程中，我們可以采取以下兩種方式處理.

(7)

將(7)式代入(6)式，得：

(8)

(9)

整理成關于tanθ的二次方程：

(10)

方程有解，要求：Δ≥0

(11)

(12)

(13)

將(12)、(13)式代入(5)式，可得：

(14)

(15)

(16)

將(16)式代入(15)式，整理得：

(17)

(18)

(19)

解法二運用矢量關系求最值.

將鉛球的拋體運動分解為初速度方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，用矢量合成法則求解.筆者也有兩種數學處理方式：

處理方式(三)：通過位移矢量合成，各位移矢量如圖3所示，根據勾股定理，水平射程S可表示為：

(20)

(21)

(22)

由圖3知：

(23)

處理方式(四)：通過速度矢量合成，如圖4所示，線段OA代表初速度v0，與水平方向成θ角；AB代表vy=gt方向豎直向下；OB表示著地速度v.

(24)

(25)

三角形OAB的面積S△可表示為：

(26)

(27)

而水平射程可以表示為：S=v0tcosθ代入(27)式得：

(28)

由(28)、(26)兩式可得：

(29)

由上式可知，當sin∠AOB=1時，即v與v0垂直時，射程S最大 .將(25)式代入(29)式即得：

(30)

(31)

對一復雜運動總是分解為幾個簡單的運動來研究；而拋體運動無論是在高考還是競賽中都是一個重要的運動模型.解法一是分解拋體運動的一種常規方法：水平的勻速運動和豎直的勻變速運動，構造二次函數的方法求最值，這是一種最普遍的方式；解法二是將拋體運動分解為初速度方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，這種通過幾何關系求解最值，使處理問題簡潔、快捷.本題中解法二明顯勝于解法一，數學處理方式(四)優于處理方式(三).

總之，在習題教學中，教師要了解學生的現有認知結構、知能水平和學習心理，精選習題，掌握難度，通過對問題、情景、思路的發散，注重知識的遷移作用.通過一題多解、一題多聯拓展思維空間，突破思維壁壘.