行進中發現 反思中優化
——以四道解三角形試題為例

鄭 良

(安徽省合肥市第四中學 230000)

學習數學離不開解題，解題只是學習數學的有效手段而不是最終目的.解題需要且行且思，但離不開必要的基礎知識、基本技能、解題經驗，通過解題可以促進學生的觀察能力、分析能力、表達能力的全面提高.解題的切入角度反映出學生思維的敏感性，預設方向取決于學生的解題經驗，遇到困難時的思維轉換體現出學生思維的深度，方法的選擇與優化反映出學生思維的廣度、深度與高度.解題的效率是學生數學綜合素養的體現.下面以四道解三角形試題為例，談談解題過程的關鍵點，以期能對大家有所幫助.

一、分類與整合中優化

這四個結論中一定成立的個數是( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

結合題意可知，②③④一定成立，答案為C.

二、不同視角中優化

點評本題為2018年高考數學北京卷文科第14題，從以上解題過程可以看出，∠B的確定不受條件“∠C為鈍角”的約束.解法1以問題為引領構建目標關于自變量∠C(題設隱性給出了∠C的范圍)的函數，轉化為函數的值域問題；解法2采用迂回戰術構建目標關于自變量∠A(可間接求出∠A的范圍)的函數，使分式函數的分母更簡潔；解法3(類比：在△ABC中，已知邊b，c和角∠B，判定三角形的解的個數)以靜制動、數形結合，讓結論更加清楚直觀.

三、從邏輯關系中優化

例3 在△ABC中，a,b,c分別為內角A,B,C的對邊，若a+c=4，2sinB=sinA+sinC，則△ABC的面積的最大值為( ).

解法1 由2sinB=sinA+sinC，根據正弦定理，可得2b=a+c，所以b=2.

點評解法1先利用對勾函數的性質確定角B的取值范圍，再構建S△ABC關于角B的函數(求解取值范圍的通性通法)，轉化為求函數的最大值問題；解法2基于最值的概念與問題的特殊性(正數構成的積函數，當各部分均取最大(小)值時，函數取得最大(小)值，反之未必成立).本題將ac與sinB作為S△ABC的兩個部分，它們同時取最大值的條件成立.

四、從問題結構中優化

A.①③ B.①② C.①②③ D.①②③④

解析由題意，得2b2=a2+c2.

以上每道試題均涉及到問題的多個方面，例題只提到反思優化的幾個方面，權當拋磚引玉，敬請批評指正.