探索圓錐曲線中的存在性問(wèn)題

韓 俊

(江蘇省溧陽(yáng)中學(xué) 213300)

探索性問(wèn)題一直是解析幾何中常見(jiàn)的一類考題，該類問(wèn)題一般假設(shè)存在，若能夠推出所要結(jié)論，則可知假設(shè)正確，否則假設(shè)錯(cuò)誤.

一、是否存在點(diǎn)

(1)求E的方程；

(2)設(shè)PA與E的另一交點(diǎn)為D，PB與E的另一交點(diǎn)為C，問(wèn)：是否存在點(diǎn)P，使得四邊形ABCD為梯形，若存在，求點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

①

②

由①-②,得λ(λ-1)(3-2t)=0，且λ∈(0，1).

法2假設(shè)存在點(diǎn)P滿足題設(shè)，則t>0，設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2).

點(diǎn)評(píng)是否存在點(diǎn)的問(wèn)題，一般假設(shè)存在，再采用“肯定順推法”，將不確定性問(wèn)題明朗化.通過(guò)題目中的已知條件，建立關(guān)系，最終求解.

二、是否存在直線

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)M(0，3)的直線l與圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，以O(shè)A，OB為鄰邊作OADB(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).是否存在這樣的直線l，使得直線OD與MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

又S=πR2<13，所以a=1，R=2.

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=4.

(2)當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l為x=0，不滿足題意.

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又l與圓C相交于不同的兩點(diǎn)，聯(lián)立,得

消去y,得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0.

所以Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-20>0.

點(diǎn)撥利用向量解決圓錐曲線問(wèn)題能夠有效簡(jiǎn)化運(yùn)算，在處理圓的綜合問(wèn)題時(shí)，首先要考慮使用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題，這樣能夠讓問(wèn)題變得非常直觀化.

三、是否存在參數(shù)

(3+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-12=0.

|MA|2+|MB|2=(1+k2)[(x1-m)2+(x2-m)2]

=(1+k2)[(x1+x2)2-2x1x2-2m(x1+x2)+2m2]

此時(shí)|MA|2+|MB|2=7與m無(wú)關(guān),符合題意.

點(diǎn)評(píng)解決圓錐曲線的參數(shù)存在性問(wèn)題，關(guān)鍵要在理解圓錐曲線的定義和性質(zhì)下，根據(jù)題意，設(shè)出未知點(diǎn)和未知方程，通過(guò)聯(lián)系韋達(dá)定理和題干要求，建立等式方程，進(jìn)而可求得參數(shù)的值或范圍.