不等式證明的幾種解題方法

湯曉玲

(江蘇省海門中學 226100)

一、通過作差來比較

要想證明a0，即等價于a>b，a-b<0，即等價于a

例1 給定一個集合，M∈{x|-1

證明(a+b)2-(1+ab)2=a2+2ab+b2-(1+2ab+a2b2)=a2-1+b2(1-a2)=(a2-1)(1-b2).

由題可知，a的取值范圍是-10，借此就可以得到(a+b)2<(1+ab)2，也就是所求的|a+b|<|1+ab|，此時a，b∈M.

評析此題將平方作差法和因式分解法相結合，進一步確定在a，b∈M這個范圍內，a2-1和1-b2的符號，借此來證明|a+b|<|1+ab|這個不等式是成立的.

二、利用作商來比較

小結作差比較法和作商比較法可以歸納為一類：比較法.比較法常用于處理多項式的大小的比較等相關問題，作差比較和作商比較是比較法中使用頻率最高的兩者方法.使用作差比較法時一般是求被證明的不等式的兩端是分式、多項式和對數式；而使用作商比較法時，一般是求被證明的不等式的兩邊含有指數式、冪式或乘積式.

三、基本不等式及其變式法

類似a2+b2≥2ab等題型,可以利用均值不等式進行分析.

例3若a,b滿足條件a>0，b>0，且有a3+b3=2.證明a+b≤2.

所以(a+b)3≤8.

所以a+b≤2.

四、均值不等式法

例4 已知有三個數x,y,z，且x>0，y>0，z>0，xyz=1，求證：x3+y3+z3≥xy+yz+xz.

證明由題意可以得到：x>0，y>0，z>0，

因此有：x3+y3+z3≥3xyz，

x3+y3+1≥3xy，

y3+z3+1≥3yz，

x3+z3+1≥3xz.

把上述各個式子相加可以得到：

3x3+3y3+3z3+3≥3xyz+3xy+3yz+3xz.

又已知xyz=1，所以x3+y3+z3≥xy+yz+xz.

五、柯西不等式求解

證明根據柯西不等式可以得到：

根據題目中的條件可以知道：4a2+b2+2c2=4.

因此我們可以進一步求得(2a+b+c)2≤10.

不等式兩邊同時開方，得

評析將原不等式轉化成符合柯西不等式的結構以及要學會適宜的變形是使用柯西不等式證明的關鍵所在，要想使用柯西不等式對一個式子進行放大或者縮小就要求這個式子的左右任意一邊要與柯西不等式具有相類似的形式，進而使得需要求證的問題得到證明.

小結通過分析可以發現，也可以將方法3、方法4、方法5進行一個歸納總結，將這三個方法歸納為綜合法.證明不等式的最根本的方法之一就是綜合法，綜合法主要通過利用不等式的相關性質、實數的相關性質、已知的不等式等來進行證明.這幾個相關性質是使用綜合法的核心.根據“據因得果”的方法，利用已知的條件進行綜合推理就能得出題目要求證明的不等式.其中最常使用的是不等式的相關性質和基本不等式，在運用這些性質進行解題時，要時刻關注這些性質成立的前提要求.

本篇文章主要對不等式證明的方法進行了探究和分析，在實際運用中，應該根據實際情況和解題的實際需要選擇恰當的方法.關于不等式的證明方法是多種多樣的，上述方法只是其中的幾種，當題目表述簡單明了，有較為清晰的條理時，就可以嘗試用綜合法求證，給定的代數式中存在有“和式”或者存在有“積式”時，那么此代數式的“題眼”就已知了，便可利用基本不等式求證.不等式的證明方法靈活，形式多樣，需要同學們更多地拓展思維，靈活使用學習的知識去解題.