解析圓錐曲線中點弦問題的幾種策略

李 蕊

(甘肅省青海油田第一中學 736202)

一、策略分析

基于圓錐曲線中點弦問題的特點以及高中學生現有的圖形思維能力的分析，本文主要分析了以下幾種解題策略：

策略1方程聯消法，即聯立兩方程并加以相消的方法.首先將圓錐曲線方程與直線方程聯立，再借助一元二次方程的相關特性，將二者相消的方法.

策略2兩點作差法，即設點A(x1,y1)，B(x2,y2)為圓錐曲線與直線的交點，再將此二點代入圓錐曲線的方程式，加以作差，便可得出關于弦AB斜率及中點的方程式，用此種方法解題有助于提高解題效率.

二、應用舉例

類型1 弦中心為固定一點時，求弦的直線方程.

解析令橢圓與直線交點為A(x1,y1)，B(x2,y2).

所以直線方程為x+2y-4=0.

類型2已知弦所過定點的坐標，以及平行弦的中點坐標，解中點的軌跡方程

由題可見，弦的中點坐標涉及在內，而弦AB的斜率與MP的斜率相同，所以此題宜用兩點作差解題策略.

解析令A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x,y),得

所以3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.

所以3x(x-1)+4y(y-1)=0.

又因為橢圓與直線l一定交于兩點，點P又位于橢圓中，所以3x(x-1)+4y(y-1)=0即為點M的軌跡方程.

類型3 圓錐曲線上存在兩點，并和其它直線對稱的相關問題.

所以3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.

所以弦P1P2的中點P的軌跡方程即為y=3x,它滿足于直線y=4x+m必然相交于橢圓內這一條件.

無一例外的是，在上述三種情況下，入住公辦的養護院是照料者的一致首選。尤其是對于照料者去世后的情形，高達四成多的照料者選擇入住公辦的養護院。在最理想的情境下，入住公辦的養護院也依然最受照料者的青睞。值得一提的是，在第三種情況下，照料者表露出對心智障礙成員社會融入的渴求——近三分之一的照料者希望這些成員能主要依靠助殘日托照料(綜合照料體系)來實現未來安置，而不是進入公辦的養護院簡單了事。在三種情形中，心智障礙成員由親朋負責照料是入住公辦的養護院與還沒有計劃后的主要選擇。

類型4 圓錐曲線中的相關定值問題.

證明令A(x1y1),B(x2y2),且x1≠x2，得

類型5參數值的范圍問題.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設M(x1y1),N(x2y2)，H(x0，y0),直線l斜率為k(k≠0).

在有關圓錐曲線的點弦問題的教學中，除了上述幾種解題策略外，還有許多可用的技巧.高中數學老師在加以運用的過程中要善于對其巧妙加工、綜合運用，以加強學生對圓錐曲線相關問題的掌握程度.